Декомпозиционные расчёты технических систем на основе методов диакоптики
Ю.Н. Сохор,
доц., к.т.н., доц., diel2004@list.ru
ПсковГУ, г.Псков
Рассматриваются результаты
разработки и применения математического и программного обеспечения для мультифизических расчётов технических систем. Дан краткий
обзор работ по методу электроаналогий, применяемых
для расчёта тепловых, гидравлических, механических, и т.д. цепей и полей.
Представлены математические соотношения, отражающих связи подсхем в методе диакоптики.
Приводятся структура программного обеспечения, результаты тестовых расчётов
параллельной версии программного обеспечения.
Results of development and application of
software for multiphysical calculations of technical systems are considered. The short review of works on a method of the electroanalogies which is applied to calculation thermal,
hydraulic, mechanical, etc. of circuits and fields is given. The mathematical ratio, reflecting connection of subcircuits in a method diakoptics
are presented. The software
structure, results of test calculations of the parallel
version of the software are resulted.
Введение
На рубеже 20-х годов для решения дифференциальных
уравнений Лапласа был предложен метод электрических сеток. Решение получалось в
виде измеренных напряжений и токов на элементах цепи, составленных из физически
реализованных сопротивлений, емкостей и т.д. [1],[2],[3]. С появлением цифровой
вычислительной техники, метод стал применяться в численных расчётах [4]. В середине
50-х годов Г.Кроном была предложена диакоптика - декомпозиционный
метод расчёта электрических цепей [5]. Тензорный характер применяемых уравнений
позволил говорить об обобщенном, системном подходе к решению инженерных задач. Применение
метода электрических аналогий при мультифизических
расчётах дает возможность составлять уравнения для различных подсистем в виде
электрических схем замещения. Интерес к диакоптике усиливается появлением
доступных компьютеров с многопроцессорными архитектурами.
К настоящему времени накоплена обширная база знаний
в разных областях. Можно отметить работы в области механики [7],[8],[9],
теплотехники [9], [10], [11], гидравлики [12], [13], [14], в области решения оптимизационных
задач [15], задач математического программирования [16] и т.д. В большинстве
работ применяется терминология, принятая в электротехнике и той области, для
которой устанавливается аналогия. Имеется опыт изложения диакоптики Г.Крона с
применением тензорного [17] и категорно-тензорного
аппарата [18]. В дальнейшем будем использовать терминологию, принятую в работах
Г.Крона.
При декомпозиционных расчётах
большое значение имеет организация связей отдельных частей схемы. Приведем основные
математические соотношения, отражающие
эти связи в методах диакоптики Г.Крона.
1. Основные
математические соотношения
Уравнения схем составляются на основе уравнения
напряжений обобщенной ветви (рис.1).
Рис. 1. Обобщенная ветвь
Уравнение напряжений
обобщенной ветви:
U + e = z ( i + J )
В результате разностной аппроксимации
дифференциальных уравнений строятся алгебраические уравнения, которым ставится
в соответствие уравнение обобщенной ветви в скалярной или векторной форме. Совокупность
обобщенных ветвей представляет собой элементарную схему. Вектор токов i трактуется как вектор, задающий систему координат
пространства отдельных ветвей элементарной схемы. Связь между ветвями
элементарной схемы может быть задана только бесконтактным способом, в общем
случае с помощью функторов. Частными случаями будут линейные управляемые
источники и взаимные индуктивности. При соединении ветвей в схему в расчётную схему
вводится матрица соединений С, которая вводит новое
пространство с контурными и узловыми координатами. Вектор тока i' в новом пространстве задает систему координат,
связанную с координатами элементарной схемы:
i = C · i', где С – матрица
преобразований пространств или матрица соединений. В данном случае матрица
является топологической, в ее столбцах записывается информация о ветвях,
входящих в контуры. В тензорном анализе сетей за счет введения открытых
контуров, может быть вычислена обратная контурная матрица С,
которая оказывается равной узловой транспонированной матрице А,
т.е.: А= (Сt)-1 или Сt ∙ А = 1.
Уравнения напряжений собранной схемы можно
сформировать автоматически, если известна матрица преобразований С и компоненты уравнения элементарной схемы. Форма
уравнений напряжений схемы остается
инвариантной по отношению к любым преобразованиям элементарной схемы и
имеет вид:
U' + e' = z' ( i' +
J'),
где z' = Сt ∙ z ∙С – матрица сопротивлений
схемы в узловых и контурных координатах,
e' = Сt ∙ е – вектор источников
напряжений в координатах соединенной схемы,
J' = Аt ∙ J – вектор источников тока в
узловых и контурных координатах соединенной схемы.
Так как вид уравнения соединенной схемы такой же,
как и вид уравнения элементарной схемы, то в тензорном анализе сетей переход на
следующий уровень иерархии выполняется по тем же правилам преобразований координат,
которые были использованы при формировании уравнений схем из элементарных
ветвей. Блочно-иерархический принцип описания технического устройства
реализуется правилами преобразований тензорной теории сетей. В общем случае
матрица преобразований С не обязательно должна
быть топологической матрицей соединений. Характер преобразований координат
может быть связан с преобразованиями вращения, масштабирующими преобразованиями
и т.д., как это имеет место в теории обобщенной электрической машины:
, 
Как было отмечено, элементарные ветви могут быть
связаны функторами. На рис.2 приведена схема функторной связи ветвей.
Рис. 2. Функторная связь
между ветвями
При декомпозиционном расчёте
функторная связь может задавать влияние одной ветвей
на другую не только внутри подсхемы, но и
между подсхемами. Функтор состоит из функции, аргументов и модификатора
ветвей подсхем.
2.
Основные компоненты программного обеспечения
Для исследований алгоритмов мультифизических
расчётов иерархических схем методами тензорного анализа сетей и диакоптики, а
также для учебных целей разработано программного обеспечение Diel, реализованное на Фортране. Основные компоненты Diel и их взаимодействие приведены
на рис.3.
Рис. 3. Основные компоненты
программного обеспечения Diel
База данных с описанием отдельных подсхем готовится
с помощью схемного редактора KiCAD. Для подсхем, используемых
при решении полевых задач, применяется генератор сетки, формирующий файлы с
геометрическими координатами ветвей и библиотечный файл с изображением многополюсников
для схемного редактора. Одновременно генератор сетки формирует файлы подсхем с
описанием топологии, функторных связей и параметрах ветвей. Для
многополюсников, не относящихся к полевой части база данных формируется только
с помощью схемного редактора. Так как KiCAD позволяет получать
описание схемы в виде списка соединений, принятого в Spice-программах, то для перевода в формат Diel предусмотрена возможность автоматического запуска из KiCAD конвертера данных.
Описание расчётной схемы так же готовится в схемном
редакторе с использованием Spice-подобного языка для ввода параметров, задания на расчёт, вывода
данных и т.д. Если в схеме используются компоненты для участков поля, то
геометрия расположения участков приводится в отдельном текстовом файле.
Для учета функторных связей применен встроенный в Diel интерпретатор формул. Для учёта сложных функциональных
связей имеется возможность создавать на Фортране динамические библиотечные
модули, автоматически подключаемые в ходе расчёта.
Результаты расчёта записываются в текстовые файлы.
Имеется возможность графического отображения результатов в ходе расчёта или
сразу после его завершения. Для отображения результатов расчёта поля могут использоваться сторонние программы paraview, scienplot и др.
3. Результаты
расчётных исследований
Приведём результаты расчётных исследований схемы, содержащей
электрические, механические компоненты, а также участки с электромагнитным
полем. Для тестовых расчётов был выбран расчёт пускового переходного процесса
линейного двигателя SL-5-270 [19]. В двумерной
постановке области с электромагнитным полем (рис.4а) состоят из простых
прямоугольных участков, описываемых уравнениями для векторного потенциала:
, 
, 
,
где µ - магнитная
проницаемость материала, σ - удельная проводимость
материала,V - скорость перемещения проводящей части поля.
Разностная аппроксимация уравнений, например, для участка
с движущейся проводящей частью, дает схему замещения, приведенную на рис.4б.
Подобные схемы составляются для разных участков поля и затем объединяются в блоки.
б) а)
Рис.
4. а) - области с электромагнитным полем
б) расчётная схема узла
резистивной сетки для движущейся проводящей области, q=∆y/∆x
На рис. 5а приведена расчётная схема, составленная
в схемном редакторе. Участки поля представлены блоками, с однородной структурой
в рамках одного блока.
а) область электромагнитного
поля б)
Рис.
5. а) расчётная схема
результаты
расчёта электромагнитной силы и скорости движения проводящей части:
б) приведённые в [20] в) рассчитанные в Diel
На рис 5б и 5в приведены результаты расчёта электромагнитной
силы и скорости движения проводящей части, полученные
в работе [20] и рассчитанные в Diel. Достаточно хорошее
совпадение графиков говорит о правильности работы алгоритма.
4. Расчёты
на многопроцессорных архитектурах
Для оценки результативности расчётов на многопроцессорной
архитектуре была разработана параллельная версия Diel, основанная на технологии распараллеливания coarray Fortran [21]. В качестве многопроцессорной
машины был использован 40-ядерный компьютер лаборатории Intel (R) Manycore Testing Lab (MTL).
Общая структура организации расчётов приведена на рис.6.
Рис.6.
Организация расчётов в системе Intel (R) Manycore Testing Lab
В ходе расчётов фиксировалось время расчёта и основные
показатели распараллеливания: ускорение А и эффективность Е.
Ускорение рассчитывалось по формуле:
A = (N · Tp + Ts)/(Tp +Ts),
где Ts
время расчёта последовательной части программы, Tp – время расчёта параллельной
части программы и N – число ядер (подсхем) .
Эффективность вычислялась по формуле:
Е=А/N.
Алгоритм был составлен
таким образом, чтобы на один процессор приходилась одна
подсхема и еще один процессор отводился для расчёта цепи пересечений [22].
Для тестовых расчётов запускались схемы с наращиванием числа одинаковых
подсхем: от 4 до 40. Каждая подсхема
представляла собой резистивную сетку с 2047 сопротивлениями. Таким образом,
максимальный размер схемы составил 81880 сопротивлений. На рис.7 приведены
результаты расчётов.
Рис. 7. Результаты оценки
эффективности распараллеливания расчётов
Как видно из рис.7 при наращивании размера схемы от 4 подсхем до 12,
время расчёта почти не менялось. Показатель эффективности близок к единице (теоретическому
максимуму). Затем эффективность примерно линейно снижалась до 50% из-за роста
количества связей между подсхемами и соответствующего роста машинного времени, затрачиваемого на расчёт
цепи пересечений.
Литература
1.
Гершгорин С.А. Об электрических сетках для приближенного решения
дифференциального уравнения Лапласа // Журнал прикладной физики. 1929г. т.6, вып.3-4.
стр.3-29.
2.
Гутенмахер
Л.И. Электрическое моделирование
физических явлений для решения краевых задач математической физики //
Электричество, №5,1940. - с.24-32.
3.
Белаш П. М. Электрические модели для
приближенного решения игральных и интегродифференциальных уравнений// Электричество, №11,1945.
- с.23-25.
4. Kron G. Numerical solution of ordinary and partial differential
equations by means of equivalent circuits. // Journal Appl. Mech., v.16, 1945,
pp. 172-186.
5. Kron G. Diakoptics - a gateway into universal engineering. The Electrical
Journal. v.156. Dec. 28, 1956.
6.
Керопян К.К., Чеголин П.М.
Электрическое моделирование в строительной механике. Гос.
изд-во лит. по строительству,
архитектуре и строительным материалам. М. 1963. - 392 с.
7.
Керопян К.К., Карандаков Г.В., Музыченко Ю.Н. Электрическое моделирование и численные
методы в теории упругости. М., Стройиздат, 1973. -
384 с.
8.
Дружинский И.А. Механические цепи. Л.,"Машиностроение"
(Ленингр. отд-ние), 1977. - 240 с.
9.
Коздоба Л.А. Электрическое моделирование явлений тепло-
и массопереноса. М., "Энергия", 1972. - 296с.
10. Мадера
А.Г. Моделирование теплообмена в технических системах.– М.: НО Научный Фонд
"первая исследовательская лаборатория имени академика В.А.Мельникова",
2005. - 208 с.
11. Кузьмин М. П. Электрическое
моделирование нестационарных процессов теплообмена. М., «Энергия», 1974. - 416 с.
12. Меренков А.П., Хасилев
В.Я. Теория гидравлических цепей. М.: Наука. 1985. - 278 с.
13. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим
сопротивлениям / Под ред. М.О. Штейнберrа.
3-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1992.
- 672с.
14. Баясанов Д.Б., Быкова З.Я. Расчёт и
проектирование городских газовых сетей среднего и высокого давления. М., Стройиздат, 1972. - 206 с.
15. Васильев В.В., Баранов В.Л.
Моделирование задач оптимизации и дифференциальных игр. / Отв.ред.
Пухов Г.Е., Киев: Наук. думка,
1989. - 296 с.
16. Деннис Д. Б. Математическое
программирование и электрические цепи. М., Изд. иностр.
лит., 1961. - 215с..
17. Кутергин В.А. Искусственные
объекты и конструктивные процессы. Ижевск: Изд-во ИПМ УрО
РАН, 2007. - 551с.
18. Сметанин Е.В. Категорно-тензорный подход к моделированию систем. Иваново:
Иван. гос.
ун-т, 1995. - 264 с.
19.
S.Wiszniewski, A.Dylak. Mechatronics
and selected issues of the linear servo motors. // Challenges of Modern Technology,
T.3,№1, 2012. p33-37.
20. Сарапулов Ф.Н., Сарапулов
С.Ф., Шымчак П. Математические модели линейных
индукционных машин на основе схем замещения: Учебное пособие. Екатеринбург:
Изд-во УГТУ-УПИ, 2001. 236с.
21.
Numrich R.W. Parallel Numerical Algorithms Based on Tensor Notation and
Co-Array Fortran Syntax.// Parallel Computing, 2005, 31, p.588.
22.
Сохор Ю.Н. Вычислительные модели и алгоритмы тензорного анализа сетей.
Псков: Изд-во ППИ,2008. - 162с.