Моделирование напряжённого состояния твёрдого тела функционально-воксельным методом (ФВМ)

С.А. Пушкарев,
sapushkarev@gmail.com,

А.В. Толок,

зав. каф. ИГ, зав. лаб.№18, д.т.н., проф., a.tolok@stankin.ru,

МГТУ «СТАНКИН», ИПУ РАН, г. Москва

Введение

Развитие компьютерно-графического моделирования позволяет ставить вопрос о применении графических данных для решения задач, формулируемых геометрической постановкой, в частности, к исследованию деформируемых твердых тел. Сегодня активно ведутся исследования над разработкой алгоритмов решения задач математического моделирования компьютерно-графическим способом [1, 2, 3]. В основу этих изысканий ложатся принципы воксельного графического моделирования (ВГМ), которые в последнее время вызывают повышенный интерес у разработчиков графических систем, твердотельных САПР и многих других специалистов, занятых не только в области компьютерной графики.

Принципы воксельно-графического моделирования позволяют говорить о воксельном представлении геометрии объекта и моделирования его физических свойств. Несмотря на распространенное мнение, вексельная структура объекта – это самостоятельная система, которая позволяет исследовать объект с позиции пространственных изменений в нем, получая таким образом данные о каждой точке объекта.

Современные методы исследования твердых тел, построенные на применении математических методов в сочетании с технологиями полигональной графики, в частности широко применяемый метод конечных элементов (МКЭ), реализованный в большинстве графических САПР во всем мире, не позволяют рассматривать каждую самостоятельную точку объекта, так как это противоречит фундаментальным принципам на которых строятся такие методы. К примеру, идеология метода конечных элементов опирается на рассмотрение выбранного минимального объема тела (конечного элемента), который имея заданную геометрическую форму, зачастую тетраэдра или куба формирует сетку конечных элементов. Такая сетка служит для создания виртуальной сетчатой модели исследуемого объекта, которая позволяет путем применения сложных дифференциальных вычислений исследовать объект на предмет различных физических явлений, протекающий в нем под воздействием внешних или внутренних сил, если мы говорим об исследовании деформируемых твёрдых тел. При этом данные мы можем получаем только из узловых точек сетчатой модели.

Рис. 1 Несовпадение сетки конечных элементов. Эффект «трещины» - образование мёртвой зоны внутри исследуемого объекта

Вышеописанные особенности метода конечных элементов порождают ряд следующих недостатков:

Разбиение области тела на конечные элементы не является единственно возможным.

1. Каждому разбиению отвечает свой набор базисных функций и, соответственно свое решение (свои поля перемещений, деформаций и напряжений).

2. Зависимость результатов расчёта от выполняемого пользователем выбора (построения) сетки конечных элементов и последующая трудность оценки точности получаемых результатов.

Погрешности метода связаны с:

· Ошибками дискретизации, являющимися результатом геометрических различий границы рассматриваемой области (детали) и ее КЭ-модели;

· Ошибками базисной функции, обусловленными разностью между точным решением и его представлением в виде комбинации базисных функций заданного вида;

· Ошибками округления, связанными с конечной длиной разрядной сетки компьютера и большим числом операций, выполняемых при решении задачи методом конечных элементов.

· Ошибки дискретизации можно уменьшить путем уменьшения размера КЭ, а ошибки базисной функции и ошибки округления не всегда.

· Также отсутствует общий (универсальный и теоретически обоснованный) метод оценки погрешности МКЭ, а точное решение в реальных задачах обычно неизвестно.

Вышеописанные недостатки не являются открытием, они общеизвестны и более того современные САПР в той или иной степени стремятся минимизировать их, однако избавиться полностью от этих проблем невозможно, так как они являются следствием заложенных в фундамент метода математических принципов.

В противовес традиционным методам, в частности методу конечных элементов) воксельное моделирование позволяет изменить подход к моделированию деформируемых твердых тел целиком рассматривая задачу от общей физической постановки к построению напряженного воксельного пространства и позволяет говорить о следующих преимуществах такого подхода:

1. Увеличивается точность полученных данных, так как исследование проводится в каждой точке компьютерной модели, а не в элементарном объеме (конечном элемента);

2. Снижается вероятность появления «мертвых зон» (рис.1) в структуре исследуемого объекта, которые приводят к некорректности полученных данных или невозможности проведения исследования.

3. Воксельная модель, по сравнению с полигональной дает возможность передавать информацию о структуре материала, упругих свойствах тела, а также о смещении под действием внешних сил каждой точки исследуемого тела в пространстве.

В попытке приблизиться к вышеописанным тезисам рассмотрим твердое тело с приложенной к нему в точке внешней силой.

Рис. 2 Твёрдое тело с приложенной к нему в точке внешней силой

Концепция синтеза графического образа деформируемого твердого тела состоит в следующем:

1.Разделение процесса нагружения твердого тела на две составляющие:

а) Распространение силы в теле – слагаемый графический образ 1.

б) Уменьшение значения силы в ходе распространения – слагаемый графический образ 2.

2. Суммирование двух полученных слагаемых графических образов в основной графический образ, демонстрирующий воздействие внешней силы на исследуемое тело.

Рассмотрим эти процессы более подробно.

Согласно теории упругости тело может быть представлено в виде совокупности множества точек T_n (по аналогии с молекулярным строением твердых тел) [4]. Каждая такая точка характеризуется площадкой напряжения ∆S и нормалью N к ней (рис.2).

Внешняя сила , приложенная в точке распределяется в теле, проходя при этом через множество формирующих это тело точек. В каждой точке вектор силы отклоняется от исходной траектории в зависимости от угла наклона площадки напряжения по следующему закону:

Данное алгебраическое выражение в сочетании с принципами воксельного моделирования дает нам возможность получить первый из двух слагаемых графических образов.

В ходе распределения силы ее значение уменьшается. Очевидно, что проходя через точки тела и удаляясь от точки приложения, сила будет принимать значения тем меньше, чем дальше она распространилась. Согласно теории упругости [4] данное явление имеет квадратичную природу.

Опираясь на это утверждение подберём соответствующие алгебраическое выражение, позволяющее реализовать данное явление в воксельном пространстве.

Здесь P₂ - значение величины силы в соответствующей точке тела, - поправочный коэффициент, d- расстояние от точки приложения силы до соответствующей точки тела.

Следует отметить, что во всех перечисленных и последующих описаниях = C, где C – максимальное значение цветовой палитры, например, С=255.

По аналогии с первым случаем получаем плоское сечение графического образа уменьшения значения силы в ходе распределения (рис. 4).

Объединив обе зависимости получим графический образ, изображающий градацией цвета воксельное напряженное состояние приложенной точечной силы для твердого упругого тела.

Рис.5. Плоское сечение графического образа твердого тела с приложенной к нему в точке внешней силой

Суммарная зависимость при этом приобретает вид

Здесь G - значение величины силы в соответствующей точке тела c учетом траектории распределения, - поправочный коэффициент, d- расстояние от точки приложения силы до соответствующей точки тела.

Сравним полученные значения с решением аналогичной задачи, выполненной в САПР SolidWorks методом конечных элементов.

Рис.8. Воздействие на тело внешней силы распределённой нагрузки; сверху – МКЭ; внизу – ВГМ

Конечно, невозможно обойти стороной и возможности функционально-воксельного метода для трехмерного моделирования твердого тела под нагрузкой. Функционально-воксельный подход в сочетании с Р-функциональным моделированием открывает широкие возможности для изысканий.

На рис.9 представлен пример функционально-воксельной пластики твердого тела (пластины). Данная пластина была создана Р-функциональным способом с учетом найденного в каждой точке пластины значения напряжения по трем координатам (,,). Оно позволяет нам находить и моделировать смещение каждой точки также по трем координатам. Данный пример не отражает всех влияний на значение напряжения в теле, калибровку этих значений с учетом структуры материала, внешних реакция и т.д. еще только предстоит провести. Однако, полученная геометрическая форма тензорного поля возникающего в результате воздействия на пластины внешних сил в множестве точек дает нам уверенность в правильности направления проводимых исследований.

Рис.9. ФВ-пластика напряжённого состояния сложной формы на пластине

Полученные результаты показывают, что методы воксельного моделирования могут быть использованы при исследовании твердых тел под нагрузкой, однако требуют дальнейшего изучения и совершенствования. Со временем эти методы могут составить конкуренцию традиционным и распространенным на сегодняшний день методам, таким как метод конечных элементов и дать специалистам альтернативный инструмент для решения различных инженерных задач.

Более подробное описание моделирования напряженного состояния твердого тела будет представлено в следующих статьях автора.

Литература

1. Толок А.В. Применение воксельных моделей в процессе автоматизации математического моделирования // Автоматика и телемеханика, №6, 2009. С. 167-180.

2. Силантьев Д.А., Лоторевич Е.А., Пушкарёв С.А., Толок А.В. Воксельно-математическое моделирование при решении задач определения площади для поверхностей детали // Информационные технологии в проектировании т проиводстве №3, 2013, С 29-33.

3. Григорьев С.Н., Силантьев Д.А., Лоторевич Е.А., Пушкарёв С.А., Толок А.В. Автоматизация графического способоа решения некоторых математических задач // Прикладная информатика № 5 (41) 2012 – С.44-50.

4. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. – Рипол Классик, 1959..