Программный комплекс для моделирования систем тепло- и электроэнергетики[1]

С.В. Солодуша,
в. н. с., к. ф.-м. н., доц., solodusha@isem.irk.ru
ИСЭМ СО РАН, г. Иркутск

В данной работе представлен программный комплекс «Динамика», предназначенный для идентификации и моделирования нелинейных динамических систем типа «вход-выход» в тепло- и электроэнергетике на базе полиномов Вольтерра. Расчетные модули включают блоки идентификации, моделирования и адаптивного управления. Алгоритмы идентификации базируются на применении откликов эталонных систем на физически реализуемые обучающие входные сигналы.

 

This paper presents the software complex “Dinamics”, designed for the identification and modeling of nonlinear dynamic systems such as “input-output” in heat and electric power engineering. The software complex is developed on the basis of Volterra polynomials. Calculation modules include block of identification, modeling block and adaptive control interface. Identification algorithms are based on the use of reference systems responses to physically realizable training inputs.

Введение

Программный комплекс «Динамика» предназначен для моделирования нелинейной динамики систем при отсутствии априорных данных о структуре исследуемого объекта. Для решения проблем описания функционирования динамических систем разработано довольно много методов [1-6]. Данный программный комплекс основан на применении конечного отрезка интегро-степенного ряда Вольтерра [7]

, ,         (1)

который может взаимодействовать с широким классом технических систем типа «вход-выход». Для построения интегральной модели (1), дающей представление отклика  на векторное входное возмущение , требуется восстановить многомерные характеристики нелинейной динамической системы . Ядра Вольтерра  в (1), называемые многомерными передаточными функциями [3], симметричны лишь по переменным , которые соответствуют совпадающим индексам.

Практическое применение аппарата рядов Вольтерра пока не получило широкого распространения. Во многом это объясняется сложностью задачи идентификации ядер . Однако, пристальное внимание многих авторов к проблеме идентификации (см., например, [8-11]) объясняется универсальностью этого аппарата. Для решения данной проблемы применяются различные подходы, в том числе рекурсивный метод наименьших квадратов [12] и нейронные сети [13].

В программном комплексе «Динамика» (1) используется в наиболее распространенном случае, когда . При этом алгоритмы построения интегральных моделей вида (1) базируются на методике [14], основанной на задании физически реализуемых тестовых сигналов в виде комбинаций функций Хевисайда с амплитудами . Это позволяет свести задачу идентификации к решению уравнений Вольтерра I рода, допускающих явные формулы обращения. Основной недостаток данной методики заключается в том, что соответствующие многомерные интегральные уравнения Вольтерра I рода имеют решения в нужных классах функций при обременительных условиях разрешимости. В частности, в работах [15-17] эти условия выписаны в терминах амплитуд  тестовых сигналов. В то же время, для целей прогнозирования реакции системы на то или иное внешнее воздействие знание самих ядер, вообще говоря, избыточно – достаточно уметь вычислять соответствующие интегралы от ядер [18, 19]. Один из удобных способов реализации этой идеи основан на product integration method [20].

Построение и тестирование интегральных моделей на основе (1) апробировано для некоторых эталонных динамических систем тепло- и электроэнергетики [17, 21, 22]. Данный комплекс разрабатывается в течение нескольких лет [23-25]. Он реализован в среде Borland C++ Builder и имеет единый интерфейс для настройки входных данных, вызова и визуализации результатов расчетных модулей по следующим группам:

-     блок идентификации: построение интегральных моделей в случае скалярных и векторных входных сигналов для соответствующих эталонных моделей;

-     блок моделирования: вычисление откликов интегральных моделей при произвольных возмущениях и формирование управляемого входного сигнала, обеспечивающего желаемый (заданный) отклик интегральной модели.

В данной статье указаны эталонные динамические системы, которые использовались в качестве приложения для программного комплекса «Динамика», приведено краткое описание схемы моделирования откликов эталонных объектов. Также рассмотрен новый алгоритм идентификации одномерного ядра Вольтерра на основе входных сигналов, наиболее приближенных к реальным возмущениям.

1. Эталонные динамические системы

Обеспечение критериев надежности и безопасности эксплуатации энергетического оборудования, разработка и применение эффективных методов прогнозирования динамических нагрузок во время нештатных ситуаций - одни из ключевых задач перспективных энергетических технологий. В связи с этим актуальны исследования в области математического описания динамики энергетических систем. В этом разделе приведены динамические системы тепло- и электроэнергетики, на которых исследовалась возможность применения теории интегро-степенного ряда Вольтерра.

1.1. Эталонная математическая модель теплообменной установки

Для моделирования динамических процессов в теплосиловых установках обычно используют дифференциальные уравнения в частных производных с большим числом замыкающих соотношений. В работе [26], в предположении линейности изменения пространственной переменной, модель элемента теплообменной установки представлена в виде объекта с сосредоточенными параметрами, который описывает система

,               (2)

             (3)

с начальными условиями , .

В (2), (3) приняты обозначения

, , , ,

, ,

,

где  - время (с);  - расход вещества (кг/с);  - полная тепловая нагрузка (кВт);  - полная масса (кг);  - полная поверхность теплообмена (м2);  - длина рассматриваемого участка (м);  - энтальпия (кДж/кг); ,  - температура потока вещества и стенки (К);  - удельная теплоемкость (кДж/кг×К);  - давление (Н/м2);  - константа, связанная с коэффициентом теплоотдачи ;  - приращение, например, ; индексами «0» обозначены начальные параметры ( (кг/с),  (кВт),  (кДж/кг)), «вх» - значение на входе, «В» - вещество потока, «М» - материал стенки.

Эталонная модель (2), (3) позволяет рассмотреть изменение энтальпии  при произвольных законах возмущений , , , . В программном комплексе «Динамика» реализованы процедуры построения квадратичного и кубичного полиномов Вольтерра для моделирования отклика  динамической системы в случае, когда вектор входных сигналов состоит из двух компонент:

1.    ,  (в предположении, что , ). Тогда эталонным откликом  является

.    (4)

2.    ,  (в предположении, что , ). В этом случае  описывается зависимостью

    . (5)

Здесь ,  - константы; ,  - корни характеристического уравнения для системы (2), (3).

Построение откликов интегральных моделей выполняется на равномерной сетке с шагом  (с). Такой выбор шага связан с реальными данными, полученными в ходе эксперимента на высокотемпературном контуре Института систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН. Формулы (4), (5) применяются для получения необходимого набора откликов объекта на обучающие сигналы.

1.2. Эталонная математическая модель ветроэнергетической установки

Согласно [27-29], математическая модель ветроэнергетической установки с горизонтальной осью вращения представима в следующем виде:

, ,           (6)

, ,            (7)

где  (рад/с) – угловая скорость вращения элементов ветроустановки,  (рад/с) – начальное значение угловой скорости вращения,  (Н×м) – момент сопротивления нагрузки,  (кг×м2) – момент инерции движущихся частей ветровой турбины,  (кг/ м2) – плотность воздуха,  (м2) – ометаемая площадь,  (м) – радиус ветроколеса,  (град) – угол наклона лопастей по нормали от направления ветра,  (м/с) – скорость ветра; безразмерные величины:  - коэффициент использования энергии ветра,  - быстроходность.

Разностная аппроксимация отклика  системы (6), (7) на входные воздействия  и  реализована с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка в среде MatLab [30]. На рис. 1 представлена конструктивная схема объекта и пример обучающих входных сигналов, используемых для построения квадратичного полинома Вольтерра.

1 2

Рис. 1  Эмуляция эталонной модели (6), (7) в среде MatLab

2. Этапы моделирования отклика объекта

Механизм вывода отклика  на входной сигнал  для моделирования реакции  эталонных динамических систем подробно описан в [31] на примере квадратичного полинома Вольтерра. Условно его можно разделить на несколько этапов:

-     Этап I. Вычисляем значения отклика эталонного объекта на обучающие входные воздействия. Используем наборы входных сигналов в виде комбинаций функций Хевисайда;

-     Этап II. Проводим процедуру декомпозиции отклика объекта на составляющие, обусловленные влиянием каждого из компонент входного сигнала , ;

-     Этап III. Находим разностные аппроксимации ядер Вольтерра (либо соответствующих интегралов от них);

-     Этап IV. С помощью метода средних прямоугольников (либо product integration method) вычисляем для произвольных входных возмущений итоговое значение ;

-     Этап V. Формируем управляющий сигнал  для стабилизации желаемого значения  при возмущающем воздействии .

Этапы I-III решают задачу идентификации и выполняются для настройки переходных характеристик на заданные параметры режима работы объекта.

1     2

Рис. 2  Задание входных сигналов ,  и вывод результатов моделирования

Пример выполнения этапа IV для эталонной модели (4) приведен на рис. 2: графики входных возмущений расхода жидкости  и теплоподвода , а также результаты моделирования энтальпии  по эталонной модели (I) и интегральным моделям (II, III) на заданные входные сигналы.

Задача, описанная на этапе V, применительно к (1) приводит к необходимости решения полиномиального уравнения Вольтерра I рода относительно . Основная специфика таких уравнений связана с локальностью области существования вещественных непрерывных решений [32]. Разработка и реализация алгоритмов численного решения полиномиальных уравнений Вольтерра I рода для объектов теплоэнергетики выполнена в работах [21, 33]. На рис. 3 представлен пример выполнения V этапа моделирования. Видно, что в конце переходного процесса  (с) расчетное значение , которое определяется соответствующими входными сигналами  и , равно нулю.

3      4

Рис. 3  Задание возмущающего воздействия  и вывод управляющего сигнала

3. Алгоритм идентификации при сглаженном входном сигнале

Обычно входные сигналы физических объектов имеют фронт нарастания и фронт угасания. В связи с этим разработан алгоритм идентификации одномерной передаточной функции на основе сигналов, наиболее приближенных к реальным возмущениям. Предполагая, что переходные характеристики динамической системы не зависят явно от времени, выпишем (1) для  случая скалярного входного сигнала  при :

, . (8)

Задача идентификации  в случае сглаженного сигнала

  (9)

корректна на паре . Отклик системы  на входной сигнал (8) примет вид:

Нетрудно увидеть, что решение  интегрального уравнения (8) имеет рекуррентную форму записи:

           (10)

где ,  (знак  означает антье).

Сигналы, подобные (9), характерны для ряда физических систем, в том числе рассматриваемых в данной работе. В дальнейшем предполагается развитие программного комплекса «Динамика», включающее реализацию алгоритма численной аппроксимации (10) для эталонной модели (6), (7).

Литература

1.  Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. Москва: Наука. 1977. 560 с.

2.  Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского / Москва: Наука. 1987. 712 с.

3.  Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. Москва: Наука. 1976. 448 с.

4.  Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Москва: Мир. 1975. 682 с.

5.  Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. Москва: Энергия. 1979. 240 с.

6.  Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Теория нестационарных, нелинейных и самонастраивающихся систем автоматического регулирования / под ред. В.В. Солодовникова / Москва: Машиностроение. 1969. 368 с.

7.  Volterra V. A Theory of Functionals, Integral and Integro-Differential Equations. New York: Dover Publ. 1959.

8.  Дейч А.М. Некоторые вопросы представления динамических свойств нелинейных объектов рядом Вольтерра // Экспериментально-статистические методы исследования многофакторных процессов. Труды МЭИ. 1966. вып. 67.

9.  Пупков К.А., Цибизова Т.Ю. Реализация фильтра Вольтерра второго порядка для идентификации нелинейных систем управления // Наука и образование. 2006. № 6. URL http://technomag.edu.ru/doc/58741.html.

10.  Волков Н.В., Колесников А.С. Об особенностях применения многомерных ядер Вольтерра для исследования динамики нелинейных систем // Территория науки. № 5(6). 2007. С. 608-611.

11.  Павленко С.В., Положаенко С.А. Оптимизация вычислительных алгоритмов аппроксимационного метода идентификации нелинейных систем в виде моделей Вольтерра // Информатика и математические методы в моделировании. 2013. Т. 3. № 2. С. 103–112.

12.  Govind G., Ramamoorthy P.A. Multilayered Neural Networks and Volterra Series: The Missing Link // IEEE International Conference on Systems Engineering. Vol. 1. 1990. P. 633-636.

13.  Stegmayer G., Pirola M., Orengo G. and Chiotti O. Towards a Volterra series representation from a Neural Network model // WSEAS Transactions on Systems. Vol.3. 2004. P.432-437.

14.  Apartsyn A.S. Nonclassical linear Volterra equations of the first kind. Boston: VSP Utrecht. 2003. 193 p.

15.  Апарцин А.С., Солодуша С.В. Об оптимизации амплитуд тестовых сигналов при идентификации ядер Вольтерра // Автоматика и телемеханика. 2004. № 3. С. 116–124.

16.  Apartsyn A.S., Solodusha S.V., Spiryaev V.A. Modeling of nonlinear dynamic systems with Volterra polynomials: elements of theory and applications // International Journal of Energy Optimization and Engineering. 2013. Vol. 2. Is. 4. P. 16-43.

17.  Солодуша С.В. Численное моделирование динамики теплообмена модифицированным квадратичным полиномом Вольтерры // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18. № 2. С.84–94.

18.  Солодуша С.В., Спиряев В.А., Щербинин М.С. Применение кубичного полинома Вольтерра к моделированию динамики теплообмена // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2006. Т. 3. № 2(26). С. 150-155.

19.  Солодуша С.В. Программное обеспечение и алгоритмы для моделирования нелинейной динамики полиномами Вольтерра // Программные продукты и системы. 2012. № 4. С.156-160.

20.  Linz P. Product Integration Method for Volterra Integral Equations of the First Kind // BIT. 1971. Vol. 11. P. 314-421.

21.  Солодуша С.В. Приложение нелинейных уравнений Вольтерра I рода к задаче управления динамикой теплообмена // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6. С. 133–140.

22.  Герасимов Д.О., Солодуша С.В., Суслов К.В. Разработка алгоритма функционирования системы управления ветроэнергетическими установками // Известия РАН. Энергетика. 2016. № 4. (в печати).

23.  Солодуша С.В. Программно-вычислительный комплекс для моделирования нелинейной динамики теплообмена на базе квадратичных полиномов Вольтерра // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2012614246. – 12. 05. 2012.

24.  Солодуша С.В., Спиряев В.А. Программное средство для моделирования нелинейных динамических систем с помощью кубичных полиномов Вольтерра (скалярный случай) // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2013618929. – 23. 09. 2013.

25.  Солодуша С.В. Программное средство для моделирования динамических процессов с нестационарными свойствами на основе кубичных полиномов Вольтерра (векторный случай) // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2015660174. – 23. 09. 2015.

26.  Таиров Э.А. Нелинейное моделирование динамики теплообмена в канале с однофазным теплоносителем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1989. №1. С. 150-156.

27.  Пронин Н.В., Мартьянов А.С. Модель ветрогенератора ВЭУ-3 в пакете MATLAB // Вестник ЮУрГУ. Энергетика. 2012. №37(296). С. 143–145.

28.  Perdana A., Carlson O. and Persson J. Dynamic Response of Grid-Connected Wind Turbine with Doubly Fed Induction Generator during Disturbances // Proc. 2004 IEEE Nordic Workshop on Power and Industrial Electronics.

29.  Sedaghat A., Mirhosseini M. Aerodynamic design of a 300 kW horizontal axis wind turbine for province of Semnan // Energy Conversion and Management. 2012. Vol. 63. P. 87-94.

30.  Герасимов Д.О., Суслов К.В., Солодуша С.В. Программа определения параметров ветроэнергетической установки // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2016617137. – 28. 06. 2016.

31.  Solodusha S.V., Suslov K.V., Gerasimov D.O. Applicability of Volterra integral polynomials in the control systems of electric power facilities // Proc. 2016 International Conference Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conference).

32.  Апарцин А.С. Полилинейные уравнения Вольтерра I рода и некоторые задачи управления // Автоматика и телемеханика. 2008. № 4. С. 3-16.

33.  Солодуша С.В. К задаче моделирования динамики теплообменников квадратичными полиномами Вольтерра // Автоматика и телемеханика. 2014. №1. С. 105-114.

 

 

 

 

 

 

 


[1] Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-01-01425а).