Особенности преобразования пространства в методе функционально-воксельного моделирования

Е.А. Лоторевич,
ealotorevich@gmail.com,
МГТУ «СТАНКИН», г. Москва

Работа посвящена применению воксельных геометрических моделей (ВГМ) для решения задач визуальной компоновки функционального пространства. В статье отражена тройственность вычислительного подхода к задачам преобразования пространства для визуальной компоновки воксельных геометрических моделей, представленных локальными геометрическими характеристиками (ЛГХ).

Article is devoted of using the voksel geometrical models (VGM) for problem solving of visual linking of the composite function space. In the work is reflected three approach types of computing to problems of transformation of space for visual configuration the voksel geometrical models, presented by the local geometrical characteristics (LGC).

Введение

Создание архитектуры вычислений, основанной на применении воксельной графической информации, позволяет разрабатывать альтернативные способы решения задач геометрического моделирования. Метод функционально-воксельного моделирования (ФВМ) [1] реализует один из таких компьютерно-графических подходов к решению класса задач математического моделирования, приводимых к геометрической постановке. Однородность структуры воксельных геометрических моделей, основанных на описании локальными геометрическими характеристиками, закладывает основу для создания альтернативных алгоритмов пространственных преобразований. Согласованность ВГМ и исходной функции позволяет оценить правильность выполненных преобразований. Предлагаемые в работе [1] операторы перехода {G, C, N, X}, формируют матричный аппарат, устанавливающий согласованность исходной аналитической функции с её воксельным представлением (F- и V-представления соответственно).

Тройственность вычислительного подхода к преобразованию пространства подразумевает получение одного и того же результата преобразования пространства функционально-воксельной модели тремя способами: функциональным (традиционным аналитическим способом), функционально-воксельным и воксельным.

1. Тройственность вычислительного подхода к преобразованиям пространства в методе ФВМ

Функциональный подход представляет собой преобразование значений функции, заданной аналитическим способом, с помощью формул преобразования координат, когда в соответствие координатам в -мерном пространстве после преобразования, соответствует набор координат .

В конечном итоге преобразованное функциональное пространство из исходного является переходом путем преобразования координатного пространства , в котором − матрица, сконструированных преобразований. На следующем этапе по вновь полученной аналитической модели создается ВГМ [2].

Функционально-воксельный подход к преобразованиям подразумевает использование ВГМ в качестве операнды. Инструментом, используемым при преобразовании, выступают те же матричные преобразования координат. Для реализации данного подхода, необходимо, используя ВГМ, выразить в явном виде координату из уравнения касательной, найдя, таким образом, значение функции в точке. Все дальнейшие пространственные преобразования выполняются над полученными значениями на поверхности функции.

После выполнения преобразований по вновь полученным значениям функции формируется ВГМ.

При воксельном подходе к преобразованиям так же, как и при функционально-воксельном подразумевается использование ВГМ с той лишь разницей, что для выполнения преобразования нет необходимости определять значение функции в явном виде и, как следствие, вновь выполнять аппроксимацию поверхности исходной функции. Для реализации данного подхода необходимо использовать специальные геометрические модели [3] [4], которые отображают взаимосвязи между компонентами нормали – локальными геометрическими характеристиками.

В отличие от традиционного координатного представления пространства функции, где приведение этой функции к явному виду заключается в выражении одной из координат через остальные, в ВГМ каждой точке пространства соответствует множество компонентов нормали, определяющие пространственное положение касательной в данной точке. Данная особенность накладывает условие на пространственные преобразования: преобразование ВГМ должно учитывать изменение структуры индексного массива значений в зависимости от типа преобразования.

Преобразование пространства ВГМ сводится к матричному преобразованию системы координат для смещения, где вместо привычных координат пространства , используются индексы массива, представляющего воксельное пространство , при повороте – использованию специального алгоритма последовательного заполнения индексного массива значений с учетом величины угла поворота и пропорциональному изменению количества элементов массива значения при масштабировании.

Алгоритм последовательного заполнения (см. Рис. 1) построен по следующему принципу:

- Заполнение ячеек получаемого массива происходит последовательно;

- В качестве информации, заносимой в получаемый массив значений, выступает информация из ячейки, отстоящей от текущей ячейки на угол поворота вокруг центра вращения.

Рис.1 Последовательное заполнение индексного массива значений с учётом угла поворота

Данный алгоритм позволяет получать однородные геометрические модели, лишенные понятия муар.

При масштабном увеличении вдоль оси для сохранения целостности ВГМ, появившиеся дополнительные элементы массива необходимо заполнить промежуточными значениями. В качестве способа заполнения при увеличении используется способ одиночной связи (ближайшего соседа), дополненный билинейной интерполяцией для определения промежуточных значений. При уменьшении ближайшее известное значение функции заносится в определенную масштабом ячейку с одновременной корректировкой направления вектора нормали.

2. Воксельный подход к преобразованию пространства в методе ФВМ

Рассмотрим отдельно изменения внутри ВГМ при воксельном подходе к преобразованиям сдвига, поворота и масштабирования в трехмерном случае. Напомним, ВГМ содержит значение ЛГХ, суммарный учет которых определяет наклон касательной в каждой точке на поверхности исходной функции.

2.1. Смещение пространства воксельным подходом в методе ФВМ

Изменение внутри ВГМ при воксельном подходе к смещению плоскости будет определяться через пространство увеличенной на единицу размерности. Значения ЛГХ после смещения будут определяться по следующим зависимостям:

, , , ;

.

, , , – ЛГХ, выражающиеся из численного значения цвета пикселя исходной ВГМ [5].

На рисунке 2 представлена исходная форма модульной функции в виде контура квадрата. Результат смещения пространства ВГМ содержащего данную «функцию квадрата» тремя возможными подходами соответствует базовым графическим образам на рисунке 3.

Рис. 2 Исходная форма «функции квадрата»

Рис. 3 Результат смещения «функции квадрата» вдоль оси

2.2. Поворот пространства воксельным подходом в методе ФВМ

Воксельный поворот плоскости будет выполняться последовательно вокруг осей координат (в плоскостях проекции). Компоненты нормали при повороте вокруг оси будут вычисляться следующим образом:

, ;

_;

, , , .

На рисунке 4 представлена исходная форма функции в виде контура квадрата. На рисунке 5 представлен результат поворота пространства ВГМ содержащего данную «функцию квадрата» вокруг оси .

Рис. 4 Исходная форма «функции квадрата»

Рис. 5 Поворот «функции квадрата» вокруг оси

2.3. Масштабирование пространства воксельным подходом в методе ФВМ

Воксельное масштабирование положения плоскости необходимо выполнить с учетом наличия угла наклона, характеризующего отклонение плоскости от оси и коэффициентов масштабирования , и вдоль каждой оси пространства. Значения ЛГХ нормали будут находиться как:

;

;

.

На рисунке 6 представлена исходная форма функции смещённой относительно начала координат окружности. На рисунке 7 представлен результат масштабирования пространства ВГМ вдоль оси , содержащего данную функцию.

Рис. 6 Исходная форма функции смещенной относительно начала координат окружности

Рис. 7 Результат масштабирования пространства ВГМ вдоль оси функции окружности, смещенной относительно начала координат

3. Воксельный подход к преобразованию многомерного пространства в методе ФВМ

Представленные алгоритмы определения ЛГХ при пространственных преобразованиях ВГМ можно обобщить до преобразования многомерного пространства.

При сдвиге пространства ВГМ локальные геометрические характеристики будут определяться по аналогии с трехмерным случаем:

,

, ,

где коэффициенты – выражаются из базовых графических образов воксельной геометрической модели.

Поворот вокруг третьей оси -мерного пространства на угол представим в виде матричного преобразования компонентного пространства:

, , ;

.

При масштабировании многомерного пространства ВГМ компоненты многомерной единичной нормали определяются как:

;

, ; В.В. Мухин.

, ,

где и выражаются из ВГМ.

Заключение

Приведенные к матричному представлению преобразования пространства в методе функционально-воксельного моделирования, на основе использования локальных геометрических характеристик позволяют строить любые сложные преобразования на основе традиционных подходов в компьютерной графике. Представленный тройственный вычислительный подход к построению алгоритмов преобразования пространства в ФВМ, позволяет расширить инструментальные средства обработки модели в рамках данного метода.

Литература

1. Толок, А.В. Функционально-воксельный метод в компьютерном моделировании / А.В. Толок. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. – 112 с

2. Лоторевич, Е.А. Принципы пространственной визуальной компоновки аналитических моделей, отображенных в воксельном графическом пространстве / Е.А. Лоторевич // Технология машиностроения. – М., 2013. – № 11. – С. 59-63.

3. Лоторевич Е.А. Применение воксельных геометрических моделей для решения задач компоновки функции / Е.А. лоторевич, А.В. Толок // В сборнике: Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (СAD/CAM/PDM - 2015) Труды междунар. конф. 2015. С. 47-51.

4. Лоторевич, Е.А. Тройственность подхода к задачам преобразования пространства функционально-воксельной модели/ Е.А. Лоторевич, А.В. Толок // GraphiCon2016: тр. 26-й Междунар. конф. по компьютерной графике и зрению. – Н. Новгород, 2016. – С. 81-84.

5. Толок А.В. Исследование функции одной переменной с помощью графических образов / А.В. Толок, В.В. Мухин. // Вестник Запорожского государственного университета. 1999. С. 108-112.