Особенности применения статистических методов при управлении качеством процессов

В.Л. Чечулин,
вед. прогр., chechulinvl@mail.ru,
Е.М. Ощепкова,
студ.,
ПГНИУ, г. Пермь

Описаны особенности статистических методов применяемых в методе пространства состояний управления качеством химико-технологических процессов. При применении указанного метода управления процессами, ввиду наличия шумов и ошибок измерения, имеются определённые требования к используемым статистическим методам. Во-первых, необходимо применять устойчивый метод главных компонент, позволяющий фильтровать выбросы и шумы измерений. Во-вторых, при определении доверительного интервала (квантиля 2-й главной компоненты), также использовать аналогичный метод устойчивого оценивания, основанный на неравенстве Чебышёва.

Features of statistical methods of the conditions of quality management of chemical and technological processes applied in a method of space are described. At application of the specified method of management of processes, in view of existence of noise and errors of measurement, there are certain requirements to the used statistical methods. First, it is necessary to apply a steady method main the component allowing to filter emissions and noise of measurements. Secondly, when determining a confidential interval (a quantile of the 2nd main components), also to use the similar method of steady estimation based on Chebyshyov's inequality.

В статье описаны особенности статистических методов применяемых в методе пространства состояний управления качеством химико-технологических процессов [1]. В постановка задачи управления выделяемо пространство трёх параметров: 1) параметр качества процесса, 2) параметр управления 3) экономический параметр,— сумма избыточных затрат и упущенной выгоды, см. пример на рис. 1. При применении указанного метода управления процессами, ввиду наличия шумов и ошибок измерения, имеются определённые требования к используемым статистическим методам.

рис. 1. Пример статистической диаграммы управления процессом сушки [1], без экономического параметра

Во-первых, необходимо применять устойчивый метод главных компонент [2], позволяющий фильтровать выбросы и шумы измерений.

Во-вторых, при определении доверительного интервала (квантиля 2-й главной компоненты, см. рис. 1) также использовать аналогичный метод устойчивого оценивания, основанный на неравенстве Чебышёва.

Рассмотрим эти особенности подробнее.

Устойчивый метод главных компонент описан подробно в [2], отличие его от стандартного заключается в использовании корреляционной матрицы, для которой парные корреляции — устойчивы, т. е. используют для вычисления корреляций весов наблюдений, определяемых посредством неравенства Чебышёва. В [3] указано следующее.

Теорема 1 (О взвешенной дисперсии). Без использования параметра среднего устойчивая дисперсия вычисляется по формуле

Теорема 2. (О взвешенной корреляции). Без использования параметра среднего устойчивые ковариация и корреляция вычисляются по формулам

, .

Здесь p_i — это веса наблюдений, . Подробно алгоритм взвешивания описан в [2], [4].

На рис. 2, показаны результаты тестирования устойчивого метода главных компонент, по сравнению со стандартным,— видно что допускается фильтрация одностороннего шума с размахом многократно превышающим матожидание незашумлённой выборки. Это позволяет использовать указанный алгоритм в промышленных информационно-измерительных системах, содержащих помехи и ошибки измерений. Аналогичны результаты для устойчивой регресии.

Относительно доверительного интервала (см. рис. 1) подход ко взвешиванию наблюдений аналогичен (шумы получают малые веса и не влияют на итоговую оценку).

а) б)

рис. 2. Сравнение собственного вектора первой главной компоненты при различном проценте шума в пределах выборки с собственным вектором первой главной компоненты на незашумлённой выборке (по хи-квадрат критерию): а) стандартный метод, б) устойчивый метод

Стандартным образом квантиль вычисляется так [5], см. рис. 3. Для заданной вероятности qквантиль u_q — это решение уравнения , а именно . В практическом смысле, когда близко к 1 (см. рис. 1) удобно интегрировать по "меньшему" промежутку, решая относительно u_q уравнение или .

$Описание: Описание: C:\Users\Лена\Desktop\Снимок.PNG$

рис. 2. К вычислению квантили

В случае устойчивого оценивания доверительного интервала в качестве интегрируемой функции берётся функция веса дополнительного наблюдения, пробегающего "всю" выборку от 3∙x_min до 3∙x_max,— w(x), причём , и решается относительно u_q уравнение .

Примеры тестирования алгоритма на модельных данных приведены на рис. 3, при этом вычислялась квантиль при q=0,95 для выборки стандартного нормального распределения N(0, 1), зашумляемого определённой долей равномерного шума R(0,10).

рис. 2. К устойчивому вычислению квантили, по вертикали оценка u0,95, по горизонтали — процент шума в выборке

Как видно из результатов тестирования при малой доле шумов (до 10%) устойчивое оценивание доверительного интервала сравнимо по устойчивости с персентилем. Преимуществом указанного метода является возможность его использования для малых выборок ,— при непрерывном изменении параметра вероятности q — u_q изменяется также непрерывно (в отличие от персентиля), что необходимо для обеспечения возможности технологических расчетов.

Таким образом, указанные способы устойчивого оценивания обеспечивают работоспособность метода управления химико-технологическими процессами в реальных условиях (при наличии шумов и помех, а также единичных грубых ошибок измерений).

Литература

1. Чечулин В. Л. Метод пространства состояний управления качеством сложных химико-технологических процессов / монография, Перм. гос. нац. исслед. ун-т.– Пермь, 2011.– 114 с.

2. Чечулин В. Л., Грацилёв В. И. Устойчивый метод главных компонент // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2013. №3. с. 81–84.

3. Чечулин В. Л. О взвешенной оценке масштаба (дисперсии) выборки, не использующей оценку положения (среднего) // Чечулин В. Л. Статьи в журнале "Университетские исследования": сборник, Пермь, ПГНИУ, сдано в печать.

4. Чечулин В. Л., Грацилёв В. И. Пример тестирования алгоритма с итеративным определением весов // Вестник Мининского университета. 2015. №3(11), с. 28.

5. Леман Э., Теория точечного оценивания: Пер. с англ. – М.: Наука., 1991.