Особенности определения основных геометрических характеристик

c помощью метода  функционально-воксельного моделирования

М.А. Локтев,
ст. инж., лаб. №18, Loktevrus@gmail.com,

ИПУ РАН, г. Москва

Введение

Форма и размеры исследуемого объекта оказывают непосредственное влияние на определение его напряженно-деформируемого состояние в процессе нагружения. Для решения подобного рода задач были введены, так называемые геометрические характеристики поперечного сечения[1].Традиционно такие характеристики рассчитываются вручную, разбивая сложную фигуру на несколько простых. Отсутствие пространственных связей между сечениями делает затруднительным процесс расчета особо сложных фигур. Использование аналитического подхода к описанию графических данных позволяет получать компьютерные геометрические модели с наиболее точным представлением геометрических характеристик для методов инженерного расчёта. Одним их таких подходов является функционально-воксельное моделирование (ФВМ) [2], использование которого позволит расширить ряд решаемых задач, в том числе вычисление геометрических характеристик для сложных поперечных сечений.

Рис.1. Воксельное отображение функции треугольника        Рис. 2. Порождённый графический образ

 

Само по себе функционально-воксельное моделирование относится к аналитическому способу описания моделей, которое зачастую является основной для получения компьютерного дискретного представления. Наиболее информативно отображать свойства геометрии таких функциональных моделей способна лишь растровая графика (либо воксельная для трехмерного пространства)[3]. На рисунке 1 представлено R-функциональное отображение треугольника в воксельном виде, являющиеся функцией пересечения трех прямых. Данное представление можно разложить на некоторые базовые графические образы,, каждое из которых отображает некоторое единственное свойство функции – углы поворота нормали в каждой точке поверхности[4]. Базовые графические образы могут порождать новые графические образ-модели, так двухкомпонентный образ имеет ярко выраженный «пик», отображающий положение экстремума функции (Рис.2.) Именно порожденные графические образы и представляют наибольший интерес при исследовании геометрических характеристик модели.

Для подсчета простейшей геометрической характеристики площади сечения, нам необходимо просуммировать площадь всех пикселей функциональной модели, умножив на размерность элементарной площадки (вокселя, дискретизации):

                                                                 ;                                                                  (1)


Рис. 3. Определение центра тяжести компьютерно-графическим способом

Для удобства расчетов расположим одну из осей на стороне треугольника, а центр координат в вершине этой стороны (Рис. 3). Тогда появляется возможность определения координат центра тяжести. Под статическим моментом площади относительно некоторой оси понимается сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояния от их центра тяжести до соответствующей оси. Поскольку статические моментs сечения  и  , относительно осей проходящих через центр тяжести равны нулю, поэтому их используют для определения координат центров тяжести сечения:

                                ;;                                                          (2)

Аналогичным образом можно подсчитать моменты инерции относительно осей, которые представляют собой сумму произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до этой оси :

                            ;                                                       (3)

Остальные геометрические характеристики, такие как полярный момент инерции, моменты сопротивления и  радиусы инерции высчитываются из уже описанных выше геометрических характеристик, и не будут рассмотрены в этой работе. Стоит особо обратить внимания, что рассчитанные с помощью компьютерно-графического метода координаты центра тяжести совпадают с экстремумом локального графического образа, что подтверждает важность информации, хранящаяся в графическом образе.

Рис. 4. Рассматриваемое треугольное сечение

Для подтверждения данных, полученных из анализа локального графического образа, рассчитаем такое же треугольное сечение, классическими формулами из области сопротивления материалов (Рис.4.):

              ;                                                  (4)

;                                      (5)

; .                      (6)

Полученные теоретические расчеты близки к результатам интегрирования функциональной модели, что свидетельствует о важности содержащейся в графическом образе информации.

Наибольшие трудности при определении основных геометрических характеристик, представляют собой сечения сложной формы. Как правило, такие фигуры представляют в виде отдельных простых фигур, для которых известны положения центров тяжести (Рис. 5.)

Рис. 5. Сечение сложной формы

Таким образом, площадь всей фигуры будет высчитываться из площадей отдельных частей: А = А1 + А2 =72 см2. А координаты центра тяжести из суммы статических моментов  для отдельных фигур:

                                         (7)

                                           (8)

Рис. 6. Графический образ контура сложной формы

Функциональное описание такого контура представлено на рисунке 6. Полученные компьютерно-графическим способом расчеты геометрических характеристик, также близки к теоретическим:  А =71.92см2,, ;

                        

            а)                                                                                                         б)

Рис. 7. Определение центра тяжести сложных сечений

Наибольший интерес такой подход представляет для контуров более сложной формы (Рис.7.), для которых разбиение на простые фигуры является затруднительным.  Отдельное внимание при анализе функциональных моделей таких контура, следует уделять способу построения логического уравнения фигуры, для получения наиболее правильного поведения функции внутри контура [5].

Заключение

В работе рассматривался компьютерно-графический способ определения геометрических характеристик объектов сложной формы с применением метода функционально-воксельного моделирования. Полученные расчеты доказывают, что функционально-воксельные модели способны точно представляют информацию о геометрических свойствах модели. Наибольший интерес представляют исследование в области теории упругости и определения геометрических характеристик для многомерных функционально-воксельных моделей.

Литература

1.  Сопротивление материалов: методические указания к выполнению расчетно-проектировочной работы «Геометрические характеристики сечений» /   Куриленко Е.Ю. Огороднова Ю.В.– Тюмень: РИО ГОУ ВПО ТюмГАСУ, 2010.—35с.

2.  Ковалёв С.П., Толок А.В. Применение модельно-ориентированного подхода в управлении жизненным циклом технических изделий // /Информационные технологии в проектировании и производстве. 2015. №2(158). С.3-9.

3.  Лоторевич Е.А., Толок А.В., Разработка геометрических принципов воксельного моделирования // XII Всероссийское совещание по проблемам управления: сб. тр. науч. практич. конф. – Москва: ВСПУ-2014.

4.  Толок А.В. Графические образы-модели в информационных технологиях // Прикладная информатика. 2009. № 4 (22). С. 31-40.

5.  Григорьев С.Н., Локтев М.А., Толок А.В., Построение воксельных моделей геометрических объектов // Прикладная информатика. - 2013. - №4. с. 50-56,ISNSN 1993-8314