Применение воксельных геометрических моделей для решения задач компоновки функции

Е.А. Лоторевич,

ealotorevich@gmail.com,

А.В. Толок,

зав. каф. ИГ, зав. лаб., д.т.н., проф., a.tolok@stankin.ru,

МГТУ «СТАНКИН», ИПУ РАН, г. Москва

Работа посвящена применению  воксельных геометрических моделей для решения задач компоновки функции. Приведены различные подходы к вопросу компоновки функции. Данная тема освещается со стороны функционального (F), функционально-воксельного (FV) и воксельного (V) преобразования.

 

В работе рассматриваются три вида преобразований: параллельный перенос, поворот и масштабирование, как неотъемлемые составляющие операции при компоновке функции в пространстве.

Реализация каждого из преобразований рассматривается со стороны функциональной, функционально-воксельной и воксельной реализации.

Функциональный подход представляет собой преобразование функций, заданных аналитическим способом, с помощью формул преобразования координат, когда в соответствие координатам в -мерном пространстве после преобразования, соответствует набор координат

В конечном виде модель предстает в виде аналитического выражения, в котором учтены все соответствующие изменения. На следующем этапе по вновь полученной аналитической модели происходит аппроксимация поверхности функции касательными и формирование набора базовых графических образов, описывающих поведение функции в каждой точке пространства. Подробно процесс создания воксельной геометрической модели (ВГМ) расписан в работе [1].

Функционально-воксельный способ преобразования подразумевает использование ВГМ в качестве операнды. В качестве инструмента, используемого при преобразовании, выступают формулы преобразования координат. Для реализации данного подхода, необходимо, используя ВГМ, выразить в явном виде одну из координат  уравнения касательной, найдя таким образом значение функции в точке. Все дальнейшие преобразования выполняются над полученными значениями функции.

После выполнения преобразований по вновь полученным значениям функции с применением алгоритма аппроксимации поверхности функции формируется новый набор базовых графических образов.

При воксельном способе преобразования так же, как и при функционально-воксельном подразумевается использование ВГМ с той лишь разницей, что для выполнения преобразования нет необходимости находить значение функции в явном виде. Для реализации данного подхода необходимо использовать специальные геометрические модели, которые отображают взаимосвязи между компонентами нормали (локальными геометрическими характеристиками), описывающей положение в пространстве касательной в точке. Применение таких моделей должно обеспечивать целостность и адекватность модели после преобразования в соответствие с заданными условиями.

Разберем применение геометрических моделей при перемещении, вращении и масштабировании в двумерном случае. В качестве касательной в точке выступает прямая.

Воксельное смещение

В основе геометрической модели сдвига лежат локальные геометрические характеристики. Данная модель строится из геометрической модели формирования трехкомпонентного вектора нормали. На ней присутствует прямая  и вектор , описывающие ее положение в пространстве. При отдалении прямой от начала координат компоненты наклона нормали  уменьшают свое значение, в то время, как величина проекции, характеризующая удаленность прямой от начала координат , увеличивается. Для установления взаимосвязи между ними с использованием только локальных геометрических характеристик, необходимо установить следующие условия сдвига:

1.      - При смещении вдоль осей, отношение компонентов наклона нормали остается низменным;

2.      - Фактическое значение всех проекций зависит от величины удалённости от начала координат.

На рис.1 изображена геометрическая модель смещения прямой в двумерном пространстве.

Рис.1 Геометрическая модель смещения прямой в двумерном пространстве

Прямая задана уравнением , после перемещения занимает новое положение и задается уравнением . Проекции  и  являются компонентами трехкомпонентной нормали  и  соответственно до и после перемещения. Нормаль  движется по окружности и переходит в  (). Необходимо установить зависимость значений компонент нормали между собой до и после смещения с учетом величин смещения  и  вдоль соответствеющих осей.

Взаимосвязь двухкомпонентной и трехкомпонентной нормалями осуществляется через величину удалённости от начала координат  и выражается из геометрической модели формирования трехкомпонентного вектора нормали

; , где                                  (1)

Перемещение воксельных геометрических моделей в пространстве заключается в композиции перемещений вдоль осей координат. Преобразование в самих моделях заключаются в нахождении нового значения компонента нормали , отвечающего за удаленность от начала координат. Компоненты  остаются неизменными при любом смещении, т.к. являются частным случаем положения трехкомпонентного вектора нормали, когда исходная прямая проходит через начало координат. Таким образом, компоненты трехкомпонентной нормали будут определяться следующим образом:

и , где  и                   (2)

Величина смещения , в свою очередь, зависит от  и . Обратимся к рисунку 2, на котором изображено смещение прямой в плоскости:

Рис.2 Смещение прямой в плоскости

Из рисунка видно, что:

 или

Исходя из условий сдвига, при смещении прямой, координаты пересечения с осями  и  пропорционально изменяются. При изменении вдоль оси , одновременно и пропорционально будет меняться  вдоль оси  и на оборот. Таким образом:

Для нахождения компонент , полученные выражения необходимо подставить в выражения (2).

Воксельный поворот

Для того, что бы описать воксельный поворот, необходимо обратиться к геометрической модели поворота вокруг заданной оси с использованием локальных геометрических характеристик (см. Рис3).

Для установления закона изменения, позволяющего выполнить поворот, необходимо установить следующее условие поворота:

1.    Угол наклона нормали к оси  остается неизменным ;

2.    Значение компонент угла наклона прямой после поворота зависят от проекции двухкомпонентного вектора нормали на эти же самые оси координат

Рис.3. Геометрическая модель поворота прямой в двумерном пространстве

Данные условия поворота требуют пояснений. Так как поворот выполняется в плоскости проекции, значения меняют только две компоненты нормали , соответственно , , .

Зависимость трехкомпонентного вектора нормали  и двухкомпонентного вектора  определяются зависимостью (1). Угол поворота  - двумерный, следовательно, все преобразования должны происходить с компонентами двумерной нормали . Получив новое значение этих компонент, можно найти компоненты трехкомпонентной нормали  после поворота, описывающие положение повернутой прямой в пространстве. Таким образом компоненты нормали после поворота будут определяться как:

, ,                           (4)

Исходные данные при воксельном повороте соответствую исходным данным при воксельном смещении. С тем условием, что нормаль , вращаясь вокруг оси , переходит в . Необходимо установить зависимость значений компонент нормали между собой с учетом угла поворота

Связь компонент нормали до поворота и  после осуществляется следующим образом:

,

 где  и  определяются как: , ;

Для нахождения компонент , полученные выражения необходимо подставить в выражения (4).

Воксельное масштабирование

Воксельный способ масштабирования основан на использовании локальных геометрических характеристик воксельной геометрической модели. Воксельное масштабирование можно представить, как смещение в равных пропорциях каждой точки поверхности функции. При воксельном масштабировании меняется не только направление вектора нормали, но и значение компонентов, организующих данный вектор. Данный тип масштабирования объединяет в себе элементы воксельного смещения и поворота. Что бы лучше понять воксельное масштабирование, рассмотрим геометрическую модель масштабирования вдоль оси  на основе локальных геометрических характеристик (см. Рис.4).

Введем следующее общее условие масштабирования для двумерного случая:

Конечное значение компонентов нормали зависит от изменения величины удаленности от начала координат  и от изменения компонент  характеризующих наклон к осям координат. В свою очередь компоненты наклона зависят от удаленности от начала координат  и масштабных коэффициентов  и  вдоль осей  и . Удаленность  зависит от масштабных коэффициентов , .

В общем виде зависимость компонентов нормали  можно записать следующим образом:

Найдем зависимость компонентов нормали до и после масштабирования.

Исходные данные при воксельном масштабировании соответствую исходным данным при воксельном смещении и повороте.

Необходимо установить зависимость значений компонентов нормали до и после масштабирования с учетом масштабных коэффициентов  и вдоль осей  и  соответственно

Рис 4. Геометрическая модель масштабирования прямой в двумерном пространстве

При масштабировании смещение исходной прямой происходит в плоскости, параллельной плоскости .  На рисунке 5 изображены положения исходной прямой при масштабировании вдоль оси .

             

Рис.5 Положения прямой при воксельном масштабировании вдоль оси

Из схемы видно, вектор нормали (отмечен красным цветом) движется по окружности, наклоненной относительно плоскости . При  вектор нормали стремится к плоскости . Угол наклона плоскости определяется как: . При  .Взаимосвязь компонентов нормали и  осуществляется с помощью формул (1). Те же закономерности справедливы и для прямой, занявшей новое положение после масштабирования.

                                  , ,                                                           (5)

Для определения компонентов нормали  после масштабирования необходимо определить соответствующие компоненты . Так же необходимо определить величину удаленности от начала координат .

, где ,

Полученные значения  и , для нахождения значений компонент нормали  необходимо подставить в выражения (5).

Организация такого подхода к преобразованиям позволяет без относительных потерь в точности значительно ускорить временные характеристики расчётов в интерактивных задачах графического моделирования для аналитических САПР, базирующихся на воксельной модельной платформе [2].

Литература

1.  Лоторевич Е.А Принципы пространственной визуальной компоновки аналитических моделей, отображенных в воксельном графическом пространстве // /Технология машиностроения. 2013. № 11. С. 59-63.

2.  Ковалёв С.П., Толок А.В. Применение модельно-ориентированного подхода в управлении жизненным циклом технических изделий // /Информационные технологии в проектировании и производстве. 2015. №2(158). С.3-9.