Дискретизация опорных контуров для формирования поверхностей безмоментных покрытий статико-геометрическим методом

А.В. Мостовенко,
аспир., a.mostovenko25@gmail.com,
КНУСА, г. Киев

Поверхности безмоментных покрытий, таких как безмоментные оболочки (своды), вантовые покрытия, структурные конструкции и др. математически описываются дифференциальными уравнениями, которые в общем случае не приводятся к аналитическим. Поэтому, они решаются численными методами, в частности, методом конечных разностей на заданной в плане сетке.

Наглядной интерпретацией метода конечных разностей является статико-геометрический метод, который предполагает задание исходных данных в дискретном виде.

В докладе приведены формулы для определения координат узлов опорного контура, состоящего как из сплошных, так и из составных линий по номеру узла. Формулы позволяют управлять параметрами опорного контура, что в свою очередь, позволяет управлять формой поверхности покрытия.

Momentless surface coatings, such as the moment free shell (arches), cable-stayed coatings, structural design and other mathematically described by differential equations, which are generally not given to analytical. Therefore, they are solved by numerical methods such as finite difference method on a predetermined plane in a grid. Visual interpretation of the finite difference method is a static-geometric method, which involves setting the initial data in a discrete form. The report provides formulas for determining the coordinates of the nodes of the reference circuit consisting of both solid and composite lines of the node number. Formulas to the parameters of the reference circuit, which, in turn, allows you to control the surface shape of the coating.

Безмоментными называют пространственные архитектурные покрытия, в которых не возникают значительные изгибающие моменты под действием собственного веса. К ним относятся безмоментные оболочки (своды), различные вантовые системы, структурные конструкции, пневматические оболочки и др. Основным их достоинством является соответствие геометрической формы взаимодействию внутренних напряжений, что позволяет экономить строительные материалы.

Поверхности таких покрытий математически описываются дифференциальными уравнениями, которые в большинстве случаев, невозможно перевести в аналитические. Поэтому, решение задачи выполняется приближенно, с использованием численных методов в дискретном виде на заданной в плане сетке (рис. 1).

рис. 1 Дискретная модель безмоментного покрытия

Одним из таких способов является метод конечных разностей, наглядной интерпретацией которого является статико-геометрический метод.

В основе статико-геометрического метода лежит формирование дискретных каркасов поверхностей под действием усилий, возникающих в связях дискретной сети, которые уравновешиваются внешними усилиями, приложенными к узлам сети [1].

В частных случаях усилия в связях можно выразить через координаты узлов звезды сети (группы смежных узлов). Тогда равновесие сети описывается системой линейных уравнений, каждое из которых является реккурентной формулой и связывает зависимостью координаты узлов звезды сети с внешней нагрузкой, приложенной к центральному узлу сети. При этом, внешняя нагрузка задается в виде вертикальных усилий, что соответствует собственному весу элементов покрытия. При таком распределении усилий сети получаем дискретную модель безмоментного покрытия.

Форму сети, которая является дискретной моделью поверхности оболочки, можно варьировать за счет изменения параметров внешней нагрузки и параметров опорного контура.

Исходные данные при формировании таких сетей должны быть заданы в дискретном виде. Поэтому, представляет интерес переход от аналитического задания опорного контура к дискретному в виде формулы, которая позволяет определить необходимую координату узла опорного контура по его номеру.

Дискретизация одной линии опорного контура не представляет сложности, и формула для определения координат узлов получается простой заменой аргумента функции дискретным параметром , где - номер узла; - шаг сети.

Для составной линии опорного контура из повторяющихся элементов приходится учитывать как условия симметрии элементов контура, так и нумерацию интервалов, которым соответствуют элементы контура.

В таблице 1 приведены простейшие сплошные и составные кривые с обозначением переменных параметров.

В таблице 2 приведены аналитические уравнения кривых в соответствии с таблицей 1 и формулы для определения аппликаты произвольного узла контура по его номеру на заданной в плане сетке.

Таблица 1

1.	Парабола
2.	Обобщенная верзиера
3.	Синусоида
4.	Ломаная из отрезков прямой
5.	Ломаная из дуг парабол
6.	Составная кривая из полуэллипсов
7.	Ломаная из дуг парабол

Таблица 2

№ контура	Аналитическое уравнение кривой или куска на одном интервале	Аппликата произвольного узла
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
	где - коэффициенты в уравнении линии; - координаты центра центральноорганизованной кривой.	где - аппликаты заданных узлов; - шаг сетки в плане; - число разбиений стороны плана; - номер узла; - число интервалов составной линии контура; - номер интервала.

Литература

1. Ковалев С.Н. Формирование дискретных моделей поверхностей пространственных конструкций/ С.Н. Ковалев // Дисс. … докт. техн. наук:05.01.01.-М.:МАИ,1986.-257 с.