О математическом моделировании и идентификации слабо изученного объекта управления на предпроектных стадиях создания САУ

К.С. Гинсберг
с.н.с., к.т.н., доц., ginsberg@mail.rul
ИПУ РАН, г. Москва

Обсуждаются особенности идентификации слабо изученного объекта управления.

Features identification of poorly studied control object are discussed.

Введение

Настоящая работа является продолжением доклада К.С. Гинсберга [1], опубликованного в Трудах 13-й Международной конференции CAD/CAM/PDM – 2013. Указанный доклад посвящен методологическим проблемам структурной идентификации слабо изученного объекта управления, изложению постановки численного исследования алгоритмов выбора порядка, представлению некоторых результатов численного исследования.

В настоящей работе дается краткое описание характеристик разработанной программы численного исследования, изложена авторская интерпретация полученных результатов численного исследования, предлагается новый подход к проблеме построения алгоритмов выбора порядка, обсуждаются особенности идентификации слабо изученного объекта управления.

В рамках обсуждения последней темы выясняются условия возникновения системного парадокса при создании САУ с использованием методов структурной и параметрической идентификации. Обсуждается описание указанного системного парадокса, приведенное в работе А.В. Балакришнана и В. Петерка [2, с. 817-818]. Обосновывается взгляд на идентификацию слабо изученного объекта управления как на определенный вид математического моделирования.

1. О структурной идентификации слабо изученного объекта управления

В докладе [1] изложена постановка численного исследования алгоритмов выбора порядка Маллоуса и Вапника и их различных модификаций. Для реализации целей указанной постановки на основе пакета МatLab разработана программа, позволяющая определить различные характеристики указанных алгоритмов и их параметризованных вариантов при различных значениях настроечного параметра. Программа осуществляет имитационное моделирование процесса оценивания выходной переменной объекта управления. Имитация осуществляется на основе использования метода Монте-Карло. В разделе 1.1. приведен список определяемых характеристик алгоритмов выбора порядка. В разделе 1.2. изложена авторская интерпретация полученных результатов численного исследования.

1.1. Список определяемых характеристик алгоритмов выбора порядка

В настоящем разделе приведено список характеристик исследуемых алгоритмов выбора порядка, а также других показателей, которые могут определяться с помощью разработанной программы численного исследования алгоритмов выбора порядка.

1) ,, где – алгоритм «гарантированного» выбора порядка.

2) , где – значение критерия при ; – алгоритм «условно оптимального» выбора порядка.

3) [], где – порядок, вычисляемый алгоритмом при .

4) , где – оценка критерия ; –классический алгоритм Маллоуса, – параметризованный алгоритм Маллоуса, – классический алгоритм Вапника, – параметризованный алгоритм Вапника.

5) , где , – соответственно нижняя и верхняя границы числового 0.95-доверительного интервала [;], который рассматривается в качестве числовой оценки для .

Интерпретация интервала [;] в качестве оценки носит статистический характер и (в силу этого свойства) может не соответствовать реальному соотношению между числом и интервалом [;], то есть нельзя с вероятностью единица утверждать, что всегда имеет место [;].

6) [], где – относительная погрешность оценивания .

7) [], , – матрица размера для любого ; j – номер значения ; i – порядок; – частота выбора алгоритмом i-го порядка при ; – число циклов моделирования, в которых для алгоритм выбирает порядок i. K – число циклов статистического моделирования процесса оценивания выходной переменной.

8) , где – оценка риска при ; Т– символ транспонирования.

9) , где – оценка эффективности при , причем .

С помощью программы численного исследования также определяется вектор [], где – комплексный показатель отношения сигнал/шум в оценках параметров канонического представления достоверного описания истинной модели объекта управления, имеющей вектор параметров . , , . [], , – матрица размера , где i – номер параметра ; j – номер значения вектора ; – число формируемых в программе значений ; – отношение сигнал/шум в оценке параметра , где – i - й параметр канонического представления достоверного описания истинной модели объекта с .

Для классического алгоритма Маллоуса график зависимости оценок риска от отношения сигнал/шум строится по точкам (), ; для параметризованного алгоритма Маллоуса – по точкам (), ; для классического алгоритма Вапника – по точкам (), ; для параметризованного алгоритма Вапника – по точкам ), .

Для классического алгоритма Маллоуса график зависимости эффективности от отношения сигнал/шум строится по точкам (), ; для параметризованного алгоритма Маллоуса – по точкам (), ; для классического алгоритма Вапника – по точкам (), ; для параметризованного алгоритма Вапника – по точкам ), ; для алгоритма «гарантированного» выбора порядка – по точкам (), .

1.2. Интерпретация результатов численного исследования

На основе результатов численного исследования можно сделать вывод, что классические алгоритмы выбора порядка не являются теоретически обоснованными с точки зрения среднего квадрата ошибки оценивания выходной переменной объекта управления. Этот критерий в теоретических исследованиях проблем идентификации традиционно используется в качестве показателя качества построения математической модели объекта управления по измерениям его входных и выходных переменных.

Содержательно это означает следующее. Автоматическое применение классических алгоритмов выбора порядка при наличии слабой модельной изученности объекта управления может привести к выбору параметрического семейства математических моделей (или в других терминах параметрической модели), использование которого приведет к построению эмпирической модели, которая будет хуже оценивать выходную переменную объекта управления, чем эмпирическая модель, построенная на основе имеющегося до выбора параметрического семейства математических моделей. Интуитивно это было ясно и до проведенного численного исследования. Более того, подобные суждения делались известными специалистами, но ‘эти суждения не имели теоретического или численного обоснования.

Например, Дж. Себер полагает: «Автоматические процедуры, подобные, скажем, пошаговым методам…, следует использовать (если использовать вообще) с осторожностью. Эти процедуры более уместны, когда выбор конкретных регрессоров не является предметом основного внимания или когда требуется некоторое предварительное сокращение числа регрессоров» [3, с. 374].

На основе результатов численного исследования можно также выдвинуть гипотезу, что классические алгоритмы выбора порядка не являются наилучшими в параметрических семействах алгоритмов, которые в докладе [1] созданы путем их параметризации. Например, классический алгоритм Маллоуса не является наилучшим в параметрическом семействе алгоритмов, которое создано путем введения в указанный алгоритм нового параметра, значение которого задается пользователем. В настоящей работе и докладе [1] указанное семейство названо параметризованным алгоритмом Маллоуса. Аналогично классический алгоритм Вапника не является наилучшим в параметрическом семействе алгоритмов, которое создано на его основе путем отказа от вероятностной интерпретации параметра как уровня надёжности минимизации риска по эмпирическим данным.

Из численных экспериментов следует, что классические алгоритмы где-то выбирают порядок лучше, а где-то хуже, чем другие алгоритмы из созданного на их основе параметрического семейства алгоритмов, если оценивать качество полученных после параметрической идентификации эмпирических моделей по критерию среднего квадрата ошибки оценивания выходной переменной объекта управления. Поэтому нельзя полагать, что только классические алгоритмы должны использоваться в инженерной практике.

Классические алгоритмы выбора порядка и их модификации, по-видимому, лучше всего интерпретировать как процедуры предварительного выбора порядка. Они позволяют выбрать пробный порядок, который коллектив разработчиков должен подвергнуть тестированию на предмет его соответствия требованиям технического задания на проектирование САУ. Их следует также рассматривать как один из инструментов, которыми пользуется коллектив разработчиков САУ в процессе неформального поиска структуры математической модели объекта управления наряду с опытом, интуицией и теоретическими знаниями.

В рамках изложенного численного исследования предполагается, что истинная модель объекта управления является целой рациональной функцией степени не выше 5 с неизвестными коэффициентами. Последнее означает, что априори точно известно, что истинная математическая модель принадлежит семейству целых рациональных функцией степени не выше 5, параметризованных 6 - мерным вектором параметров. Поэтому эффективность исследуемых алгоритмов выбора порядка зависит от значения 6 - мерного вектора неизвестных параметров. Для какого-то допустимого значения этого вектора эффективность принимает наименьшее значение. Это наименьшее значение эффективности рассматривается как показатель качества исследуемого алгоритма выбора порядка в процессе структурной идентификации.

Классические алгоритмы выбора порядка и их модификации на всех построенных графиках эффективности имеют большую эффективность при малых отношениях сигнал/шум, чем алгоритм «гарантированного» выбора порядка. Более того, если на этих графиках определить наименьшее значение эффективности для классических алгоритмов (и их модификаций) и алгоритма «гарантированного» выбора порядка, то классические алгоритмы (и их модификации) будут иметь более высокую эффективность. Данное свойство будем рассматривать как одно из основных обоснований применения классических алгоритмов и их модификаций в процессе структурной идентификации на предпроектных стадиях создания САУ.

Параметризированные алгоритмы Малоусса и Вапника имеют настроечные параметры, значения которых коллектив разработчиков может выбрать самостоятельно на основе имеющегося априорного знания об адекватной математической модели объекта управления. Представляется, что, меняя значение настроечного параметра коллектив разработчиков может даже в наихудшем случае (т.е. при самом неблагоприятном для алгоритма отношении сигнал/шум) оценить выходную переменную объекта управления с точностью не хуже, чем при использовании алгоритма «гарантированного» выбора порядка. В наилучшем случае разработчики могут оценить эту переменную со значительно более высокой точностью. Альтернативой изложенному ручному способу настройки является автоматический способ определения значения настроечного параметра.

Возможность создания методов и алгоритмов автоматического определения значения настроечного параметра основана на следующих предположениях. Во-первых, набор пробных гипотез, создаваемый коллективом разработчиков на каждой итерации структурной идентификации (см. доклад [1]), можно интерпретировать как все имеющееся у разработчиков априорное знание об адекватной математической модели объекта управления для цели проектирования САУ. Если коллектив разработчиков на основе этого априорного знания способен найти приемлемое значение настроечного параметра, то почему на основе этого априорного знания нельзя разработать алгоритм автоматического определения этого значения.

Во-вторых, для слабо изученного объекта управления фактически отсутствует экспериментально обоснованное математическое знание об адекватной математической модели объекта управления для цели проектирования САУ. В условиях подобной структурной априорной неопределенности, вряд ли, имеет смысл сравнивать построенные (с использованием алгоритма выбора порядка) математические модели по величине среднего квадрата ошибки оценивания выходной переменной объекта управления, т.е. по величине конечного показателя качества идентификации объекта управления. Для подобного сравнения у коллектива разработчиков, по нашему мнению, в условиях структурной априорной неопределенности отсутствуют необходимые достоверные данные.

Если же интерпретировать для целей указанного сравнения имеющийся набор пробных гипотез как достоверное знание, то результат этого сравнения зависит от того, по какому критерию будут сравниваться средние квадраты ошибки оценивания. Если в качестве такого критерия выбрать минимальное значение среднего квадрата ошибки оценивания, то в качестве наилучшего алгоритма, несомненно, будет выбран алгоритм «гарантированного» выбора порядка. Основания для такого суждения выявлены в проведенных численных экспериментах. Имеет место следующая закономерность. Графики оценок риска классических алгоритмов Маллоуса и Вапника (и их различных модификаций) при определенных отношениях сигнал/шум имеют более высокое значение риска, чем алгоритм «гарантированного» выбора порядка (см., например, рис. 1,3 в докладе [1]).

Представляется, что для структурной идентификации, которая является обязательным элементом поиска адекватной проектной математической модели САУ в качестве показателя полезности необходимо выбирать критерий, отличный от среднего квадрата ошибки оценивания выходной переменной объекта управления. В качестве такого критерия предлагается взять наименьшую эффективность алгоритма выбора порядка.

С созданием средств автоматического определения значения настроечного параметра возникает возможность разработать адаптивный алгоритм выбора порядка. Адаптация в указанном алгоритме осуществляется по отношению к меняющемуся в процессе структурной идентификации набору пробных гипотез об адекватной математической модели объекта управления для цели проектирования САУ.

В настоящей работе предлагается реализовать адаптивный алгоритм в форме итерационной процедуры, включающей для каждой итерации: а) семейство алгоритмов выбора порядка, параметризованное скалярным параметром; б) алгоритм оптимизации, позволяющий оперативно определять оптимальное значение скалярного параметра путем решения определенным образом сформулированной минимаксной задачи статистического синтеза оптимального алгоритма выбора порядка.

В минимаксной задаче в качестве экстремизируемого показателя качества статистического синтеза предлагается взять наименьшую эффективность алгоритма выбора порядка. С созданием указанных минимаксных задач открывается возможность перехода от традиционного изобретательства алгоритмов выбора порядка к нахождению этих алгоритмов путем решения экстремальных задач. В начале 60-х гг. 20 века именно такой переход от инженерных методов частотной теории управлении к математическим методам управления, основанным на решении экстремальных задач, привел к созданию современной теории управления.

Адаптивный алгоритм выбора порядка так же, как классические алгоритмы выбора порядка и их модификации, является процедурой предварительного выбора порядка. По этому свойству он не отличаются от классических алгоритмов и их модификации. Его принципиальное отличие состоит в том, что он способен обеспечивать максимально возможную эффективность при самом неблагоприятном для алгоритма отношении сигнал/шум. Иными словами, его существенные свойства, насколько это возможно, подобны базовым свойствам алгоритма «условно оптимального» выбора порядка, который в настоящем исследовании и докладе [1] интерпретируется как физически недостижимый эталон алгоритма выбора порядка.

2. О системном парадоксе идентификации слабо изученного объекта управления

В докладе [1] приведены три общих определения идентификации объекта управления. В настоящей работе представлено еще одно определение: «Идентификация динамических объектов в общем случае состоит в определении их структуры и параметров по наблюдаемым данным – входному воздействию и выходной величине» (Я.З. Цыпкин [4, с. 15]).

Из приведенных определений следует, что идентификацией называется построение математической модели системы, основанное на обработке ее наблюдаемых входных и выходных сигналов. Однако это только общее определение. Оно не содержит хоть какого-то описания процесса построения математической модели.

Особенно много вопросов, на которые в настоящее время нет обоснованных ответов, возникает об идентификации слабо изученного объекта управления на предпроектных стадиях создания САУ. Например, как на этих стадиях искать приемлемое приближение к адекватной математической модели объекта управления. Представляется, что, в первую очередь, необходимо найти ответ на вопрос, имеет ли идентификация слабо изученного объекта управления какие-то принципиальные отличия от других видов математического моделирования реального объекта. Предварительный ответ на этот вопрос содержится в работах [2, 5, 6].

Например, А.В. Балакришнан и В. Петерка полагают: «Actually, the process identification is always only the first step in the solution of a more complex control problem. Both identification and synthesis of the control system should be considered together. This is very easy to say but much more difficult to realize. The principal difficulty is that the mathematical description of the process must be adequate for the conditions under which the system will be operated, but these conditions can be known only after the synthesis for which the identification is required. Perhaps this is the main reason why the identification is so often handled as a separate problem. Nevertheless, the final goal must always be considered» [2, с. 817-818].

В вольном переводе эта цитата означает: «На самом деле, идентификация технологического процесса только первый этап решения более сложной проблемы управления. В процессе этого решения идентификация и синтез системы управления должны рассматриваться совместно. Это легко сказать, но гораздо сложнее реализовать. Принципиальная трудность заключается в том, что математическое описание технологического процесса должно быть адекватно технологическому процессу для условий, в которых создаваемая система управления будет работать, но эти условия могут быть известны только после синтеза системы управления, для осуществления которого собственно и требуется идентификация. Возможно, это является основной причиной, по которой проблема идентификации так часто исследуется как самостоятельная проблема. Тем не менее, окончательная цель (задача построении САУ. – К.С.) должна всегда приниматься во внимание при организации процесса идентификации».

Основываясь на приведенных высказываниях А.В. Балакришнана и В. Петерка, можно сформулировать две гипотезы об идентификации слабо изученного технологического процесса. Во-первых, гипотезу о реализуемости идентификации: идентификация слабо изученного технологического процесса не может быть осуществлена (т.е. конечная цель идентификации не может быть достигнута) без реализации синтеза САУ и пробной ее эксплуатации.

Уточняя смысл используемых слов и выражений, отметим следующее. Конечной целью идентификации, как известно, является адекватная математическая модель объекта управления, т.е. математическая модель, на основе которой можно разработать САУ, удовлетворяющую требованиям технического задания. Выражение «synthesis of the control system» понимается в значении «создание реальной САУ», которая на какое-то время должна быть введена в пробную эксплуатацию. Ведь только в процессе эксплуатации становятся известны условия функционирования управляемого технологического процесса.

Во-вторых, гипотезу о результатах идентификации слабо изученного технологического процесса: адекватные математические модели технологического процесса, построенные с помощью методов структурной и параметрической идентификаций для существенно различных условий функционирования технологического процесса, как правило, также существенно различаются по типу математической модели или по значениям ее неслучайных неизвестных параметров.

Обе гипотезы должны, по нашему мнению, выступать в качестве оснований (посылок) для высказываний А.В. Балакришнана и В. Петерка [2, с. 817-818]. Эти гипотезы в работе [2] не упоминаются и не обосновываются, т.е. они выступают как неявные основания. В качестве теоретического обоснования второй гипотезы укажем на функциональный характер математических моделей, создаваемых с помощью методов идентификации. С помощью идентификации, как известно, создается функциональная математическая модель объекта управления, отражающая функцию объекта в определенных условиях функционирования, а не физико-математическая модель, создаваемая на основе использования фундаментальных законов естествознания и адекватно отражающая свойства объекта в различных условиях функционирования.

По-видимому, основываясь на вышеприведенных гипотезах, А.В. Балакришнана и В. Петерка полагают: «… математическое описание технологического процесса должно быть адекватно технологическому процессу для условий, в которых создаваемая система управления будет работать, но эти условия могут быть известны только после синтеза системы управления, для осуществления которого собственно и требуется идентификация» [2, с. 817].

Подобная связь между адекватной математической моделью объекта управления и требуемым алгоритмом управления названа в работе В.Я. Ротача [5, с. 8] системным парадоксом, а в работе [6, с. 4] – «парадоксом оценки модели объекта». Содержание этого системного парадокса, возникающего при создании САУ с использованием методов структурной и параметрической идентификации, В.Я. Ротач выразил в форме следующего утверждения: «… для получения модели объекта необходимо знать алгоритм функционирования управляющего устройства, для отыскания которого собственно и нужна модель объекта» [5, с. 8]. В настоящей работе мы называем данный парадокс системным парадоксом идентификации слабо изученного объекта управления и считаем, что он является отличительной особенностью этой идентификации.

3. О математическом моделировании слабо изученного объекта управления

В работе В.С. Зарубина приведено определение термина «математическое моделирование»: «Под математическим моделированием в технике понимают адекватную замену исследуемого технического устройства или процесса соответствующей математической моделью и ее последующее изучение методами вычислительной математики с привлечением средств современной вычислительной техники» [7, с. 7]. Характеризуя этот термин, В.С. Зарубин отмечает: «Однако этот термин пока не имеет общепринятого формального (как это положено в математике) определения, и его границы в смысловом отношении еще четко не очерчены. Такая ситуация характерна для любого нового научного направления на стадии его становления и быстрого развития» [7, с. 7].

Сопоставляя данное определение с общими определениями идентификации, приведенными в настоящей работе и докладе [1], отметим, что конечным результатом как математического моделирования, так и идентификации является математическая модель реального объекта. Поэтому с точки зрения вида конечного результата математическое моделирование ничем не отличаются от идентификации.

Будем различать конкретное математическое моделирование реального объекта и метод математического моделирования, с помощью которого организуются различные конкретные математические моделирования. Аналогично будем различать конкретные идентификации объекта управления и метод идентификации. Вопрос состоит в том, что является более общим методом: метод математического моделирования или метод идентификации? Ответ на этот вопрос можно получить, сравнивая общие описания основных этапов математического моделирования и идентификации.

В работе [7, с. 24-28] приведено описание 7 основных этапов математического моделирования. Согласно данному описанию, на первом этапе осуществляется переход от моделируемого технического объекта (ТО) к его расчетной схеме (в других терминах к содержательной или концептуальной модели ТО). На втором этапе осуществляется создание пробного математического описания технического объекта, которое конструируется как математическая конкретизация содержательной модели ТО. Аналогичные первые и вторые этапы имеются в общем описании основных этапов идентификации.

Однако существуют и принципиальные различия. Согласно методу математического моделирования, второй этап можно осуществить двумя способами: 1) на основе использования только фундаментальных законов естествознания; 2) на основе обработки наблюдаемых входных и выходных сигналов технического объекта, для организации которой используются накопленные инженерные знания о моделируемом ТО и общие теоретические соображения. Наличие двух способов получения математических моделей отражено в работе [7] в понятиях «теоретическая модель», «эмпирическая модель» [7, с. 45, 46].

Согласно методу идентификации, аналогичный второй этап можно осуществить только на основе второго способа построения пробного математического описания технического объекта. Поэтому, естественно, рассматривать метод идентификации как частный случай метода математического моделирования, а идентификацию интерпретировать как определенный вид математического моделирования.

Можно выдвинуть следующую гипотезу. Математическое моделирование, у которого второй этап реализуется с помощью методов структурной и параметрической идентификаций, содержит системный парадокс и имеет системный характер. Это означает, что указанное математическое моделирование можно осуществить только как часть определенной системы процессов, обязательным элементом которой является автоматизированное или автоматическое проектирование предпроектной математической модели создаваемой САУ.

Заключение

Результаты настоящей работе и доклада [1], несомненно, свидетельствуют в пользу гипотезы, что коллектив разработчиков САУ является субъектом структурной идентификации на предпроектных стадиях создания САУ. Действительно, только человек способен создавать новые гипотезы об адекватной математической модели объекта управления, и только человек способен проверить соответствие выбранного пробного порядка требованиям технического задания на проектирование САУ.

Если создавать адаптивные алгоритмы структурной идентификации, разрабатывать минимаксные задачи статистического синтеза этих алгоритмов, искать методы их решения, разрабатывать методологию структурной идентификации, то, возможно, в ближайшей перспективе удастся решить наиболее трудные проблемы структурной идентификации для предпроектных стадий создания САУ.

Литература

1. Гинсберг К.С. О структурной идентификации слабо изученного объекта управления на предпроектных стадиях создания САУ // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/CAM/PDM – 2013). Труды 13 -й Международной конференции. 2013.

2. Balakrishnan A.V., V. Peterka V. Identification in automatic control systems // Automatica. 1969. Vol. 5. No. 6. P. 817-829.

3. Себер Дж.. Линейный регрессионный анализ. М: Мир, 1980. 456 с.

4. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984. 320 с.

5. Ротач В.Я., Кузищин В.Ф., Клюев А.С. и др. Автоматизация настройки систем управления / Под. ред. В.Я. Ротача. М.: Энергоатомиздат, 1984. 272 с.

6. Ротач В.Я. Уточнение концепции синтеза систем автоматического управления // Автоматизация в промышленности. 2009. № 3. С. 3-10.

7. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. 496 с.