О структурной идентификации слабо изученного объекта управления на предпроектных стадиях

создания САУ

К.С. Гинсберг,
с.н.с., к.т.н.,доц.,ginsberg@mail.ru,
ИПУ РАН, г. Москва

Обсуждаются особенности и этапы проведения структурной идентификации слабо изученного объекта управления.

Features and stages of carrying out of structure identification of poorly studied control object are discussed.

Введение

В докладе обсуждаются особенности и этапы проведения структурной идентификации для случая, когда объект автоматизации в момент принятия решения о начале автоматизации представляет собой слабо изученный объект управления.

Слабо изученным объектом управления называется реальный объект, относительно которого у коллектива разработчиков САУ отсутствует достоверная априорная информация об адекватной математической модели объекта управления для цели проектирования САУ, а имеется только набор рабочих гипотез о принадлежности указанной адекватной модели заданным семействам математических моделей.

Поэтому автоматизация слабо изученного объекта управления всегда включает решение задачи выбора «наилучшей» гипотезы из заданного набора рабочих гипотез об адекватной математической модели объекта управления. Учитывая итерационный характер процесса приближения к адекватной математической модели, этапы выбора «наилучшей» рабочей гипотезы и создания нового набора рабочих гипотез будут продолжаться до тех пор, пока степень изученности объекта автоматизации не достигнет такого уровня, при котором этот объект, с точки зрения коллектива разработчиков, перестанет быть слабо изученным объектом управления.

В научных исследованиях по проблемам идентификации предложены различные алгоритмы выбора порядка математической модели, которые, предположительно, можно использовать в процессе выбора «наилучшей» гипотезы из заданного набора рабочих гипотез об адекватной математической модели объекта управления. Однако до сих пор практическое использование этих алгоритмов связано с необходимостью решения коллективом разработчиков трудных интеллектуальных проблем, которые в основном возникают из-за слабой изученности указанных алгоритмов как средств поиска адекватной проектной математической модели желательной САУ.

В докладе приведены результаты численного исследования двух алгоритмов выбора порядка полиномиальной модели, которые позволяют установить некоторые полезные для инженерной практики характеристики указанных алгоритмов.

1. О понятии «структурная идентификация слабо изученного объекта управления»

В настоящее время отсутствует общепризнанное общее определение понятия «структурная идентификация объекта управления». Интуитивно ясно, что указанное понятие является чрезвычайно широким по объему, а термином «структурная идентификация» можно обозначить большое число различных по своим свойствам и количественным характеристикам процессов. Например, в работе [1] этот термин «обозначает итерационный процесс, каждый цикл (итерация) которого содержит реальный процесс выбора эмпирических значений структурных параметров в имеющемся у разработчика предварительном математическом описании объекта управления, а также процесс выбора указанного предварительного описания» [1, с. 804]. Основываясь на данном определении, можно дать определение понятия «структурная идентификация слабо изученного объекта управления».

Структурной идентификацией слабо изученного объекта управления (кратко, структурной идентификацией) назовем итерационный процесс, каждая итерация которого состоит из:

1) этапа формирования набора рабочих гипотез об адекватной математической модели объекта управления для цели проектирования САУ (каждая рабочая гипотеза представляет собой предположение о принадлежности адекватной математической модели объекта управления для цели проектирования САУ заданному семейству математических моделей);

2) этапа задания метода синтеза алгоритма выбора «наилучшей гипотезы из заданного набора рабочих гипотез;

3) этапа разработки алгоритма выбора «наилучшей» рабочей гипотезы;

4) этапа определения «наилучшей» рабочей гипотезы;

5) этапа анализа «наилучшей» рабочей гипотезы с точки зрения требований технического задания на проектирование САУ.

Согласно ключевой гипотезе, изложенной работе [1], структурная идентификация слабо изученного объекта управления представляет собой процесс, субъектом которого является коллектив разработчиков САУ. Возможность выдвижения этой гипотезы неявно заложена в общих определениях идентификации объекта управления. Покажем это на примере следующих трех определений:

1) «…в основе своей идентификация представляет собой экспериментальный метод построения модели по входным и выходным сигналам объекта. Естественным требованием идентификации, вытекающим из приведенной формулировки, является измеримость входных и выходных переменных» (Н.С. Райбман [2, с. 47]).

2) Идентификация «заключается в создании модели процесса по его наблюдаемым входным и выходным сигналам в детерминистской или стохастической обстановке. Такой процесс идентификации включает в себя две независимые процедуры, а именно, структурную идентификацию и идентификацию параметров» (Дж. Саридис [3, с. 155]).

3) «В широком смысле идентификацией можно назвать определение модели объекта управления, основанное на обработке входных и выходных сигналов» (П.Эйкхофф [4, с. 21]).

В рамках данных определений словосочетания «построение модели», «создание модели», «определение модели» не имеют однозначного смыслового значения. Построение (создание, определение) модели можно понимать как автоматический процесс, а можно как автоматизированный, субъектом которого является коллектив разработчиков САУ. В результате термином «идентификация» можно обозначить как автоматическое построение математической модели реального объекта для цели управления этим объектом, так и автоматизированное построение математической модели реального объекта для цели проектирования САУ, субъектом которого является коллектив разработчиков САУ. Представляется, что непосредственным следствием из гипотезы о коллективе разработчиков как субъекте структурной идентификации является решение о необходимости изучения структурной идентификации как системного объекта.

Нельзя сказать, что в научных исследованиях уделяется мало внимания проблемам структурной идентификации. Эти проблемы широко обсуждаются в научной литературе. Например, в работе [1] приведены ссылки на 49 книг, 40 обзоров и 89 статей, в которых изложены результаты научных исследований в области структурной идентификации. Однако в совокупности накопленное знание о структурной идентификации явно недостаточно для формирования научных (понятийных, методологических и математических) основ структурной идентификации для цели проектирования САУ, необходимых для эффективной деятельности коллектива разработчиков.

В частности, это происходит из-за того, что проблемы структурной идентификации традиционно формулируются и исследуются в рамках теоретических контекстов, которые непосредственно не вписываются в содержание реальной инженерной практики создания САУ. Иными словами, созданные теоретические контексты недопустимо сильно идеализируют содержание реальных или потенциально возможных структурных идентификаций. Поэтому в имеющихся теоретических контекстах не могут быть, с нашей точки зрения, адекватно выражены и исследованы большинство значимых для разработчиков проблем структурной идентификации.

Для устранения указанных недостатков в работе [1] предложено перейти от теоретико-абстрактного контекста рассмотрения структурной идентификации к теоретико-конкретному ее изучению как необходимой компоненты поиска адекватной проектной математической модели желательной САУ при автоматизации слабо изученного объекта управления. Иначе говоря, предлагается перейти от теоретических исследований структурной идентификации самой по себе, изолировано от процессов, частью которых оно является, к ее научному изучению как необходимой компоненты поиска адекватной проектной математической модели желательной САУ.

В работе [5] разработана нормативная концептуальная модель основных этапов поиска адекватной проектной математической модели желательной САУ. Согласно этой концептуальной модели, поиск указанной математической модели САУ представляет собой итерационный процесс, каждая итерация которого содержит: а) этап инженерного моделирования объекта управления; б) этап конструирования проектной математической модели САУ; в) этап верификации проектной математической модели САУ.

Для слабо изученного объекта управления этап инженерного моделирования также является итерационным процессом, каждая итерация которого содержит: а) подэтап планирования и сбора данных и знаний; б) подэтап структурной идентификации; в) подэтап параметрической (или непараметрической) идентификации; г) подэтап верификации.

В разделе 3 настоящей работе приведены результаты численного исследования двух алгоритмов выбора порядка. В разделе 2 изложена постановка численного исследования.

2. Постановка задачи численного исследования

1) Достоверное описание истинной модели объекта управления имеет вид

, , (1)

где – ненаблюдаемая выходная переменная; – наблюдаемая входная независимая переменная; – заданные неслучайные постоянные параметры; – вектор-столбец неизвестных неслучайных постоянных параметров, относительно которых только известно, что ; – 6 - мерное евклидово пространство; () – заданное натуральное число; – многочлены Чебышева s-го порядка, обладающие для любых свойством если .

Достоверное описание истинной модели объекта управления рассматривается как имеющаяся априорная информация об истинной модели y=(х) объекта управления. Считается, что достоверное описание имеет пятый порядок.

Описание p - го порядка истинной модели объекта управления имеет вид:

, (2)

где – порядок описания; интерпретация остальных символов формулы (2) приведена в комментарии к формуле (1).

Описание с порядком р<5 называется гипотетическим. Гипотетическое описание в отличие от достоверного является математической гипотезой о свойствах истинной модели объекта управления. Поэтому оно не накладывает никаких ограничений на значение вектора . Гипотетическое описание считается истинным, если , и – ложным в противном случае.

2) Математическая модель измерений выходной переменной объекта управления имеет вид

, , (3)

где – измерение выходной переменной у при входном сигнале ; N+1 () – число измерений; ; – последовательность статистически независимых нормально распределенных случайных величин с , ; – символ математического ожидания; – заданная дисперсия помехи измерения.

Известно, что всегда найдутся такие параметры , что

, (4)

, .

Уравнение (4) назовем каноническим представлением достоверного описания истинной модели объекта, согласованным с моделью измерений (3). Если , имеем

3) Процедура построения приближения к истинной модели объекта управления, включающая алгоритм выбора порядка, имеет вид.

, (5)

где – оценка переменной ; – вектор-столбец измерений входной и выходной переменных; – пробный порядок описания истинной модели объекта управления, определенный с помощью алгоритма выбора порядка по измерениям .

В качестве преобразования могут быть алгоритмы «гарантированного» и «условно оптимального» выбора порядка, классические алгоритмы Маллоуса и Вапника , а также их параметризованные варианты (, ), содержащие параметр настройки, значение которого задается пользователем.

Наиболее простым видом преобразования измерений является алгоритм «гарантированного» выбора порядка, у которого для любых измерений w. Этот алгоритм осуществляет выбор на основе имеющейся априорной информации об истинной модели объекта управления. Остальные алгоритмы формируются на основе правила

, (6)

отличаясь только функцией , где – порядок описания истинной модели объекта управления.

Для алгоритма «условно оптимального» выбора порядка

, .

Алгоритм «условно оптимального» выбора порядка является теоретически возможным, но физически нереализуемым алгоритмом, который способен оптимально выбрать порядок, но при условии наличия в составе возможных (для данного алгоритма) исходных данных всех коэффициентов истинной модели объекта управления.

Для параметризованного алгоритма Маллоуса с параметром настройки

, .

При имеем классический алгоритм Маллоуса [6].

Для параметризованного алгоритма Вапника с параметром настройки

При имеем классический алгоритм Вапника [7, 8].

Параметризация классического алгоритма Маллоуса осуществляется путем введения в алгоритм нового параметра, значение которого задает непосредственно разработчик САУ. Параметризация классического алгоритма Вапника осуществляется путем отказа от вероятностной интерпретации параметра как уровня надежности минимизации риска по эмпирическим данным.

4) Критерием качества построения приближения к истинной модели объекта управления является средний квадрат ошибки оценивания выходной переменной объекта

, (7)

где – оценка выходной переменной , полученная с использованием алгоритма выбора ; – вектор-столбец неизвестных параметров истинной модели объекта управления.

5) Требуется в вычислительных экспериментах с использованием метода Монте-Карло получить численную оценку критериев качества , отношений и отношений при значениях .

Здесь – число вариантов истинной модели объекта управления, на которых исследуются свойства алгоритма выбора порядка . Каждый вариант истинной модели объекта управления имеет вектор параметров . Вектор задается пользователем. Векторы при формируются автоматически на основе алгоритма

, .

Значения параметров , , задаются пользователем.

Отношение названо риском алгоритма выбора порядка . Риск характеризует способность алгоритма обеспечивать более высокую точность оценивания выходной переменной объекта управления, чем алгоритм «гарантированного» выбора порядка .

Отношение названо эффективностью алгоритма выбора порядка . Эффективность характеризует способность алгоритма осуществлять выбор порядка аналогично алгоритму «условно оптимального» выбора порядка .

3. Иллюстративный пример

Для реализации целей численного исследования на основе пакета МatLab разработана программа, позволяющая определить различные характеристики классических алгоритмов выбора порядка и их параметризованных вариантов при различных значениях настроечного параметра. Программа осуществляет имитационное моделирование процесса оценивания выходной переменной объекта управления. Имитация осуществляется на основе использования метода Монте-Карло.

В настоящем разделе на рис. 1-4 приведены графики оценок риска и эффективности алгоритмов выбора порядка, построенные на основе результатов работы программы при вводе следующих исходных данных:

– тип системы многочленов Чебышева; – число задаваемых вариантов истинной модели объекта управления; – значение вектора параметров первого варианта истинной модели объекта управления, задаваемое пользователем; – значения параметров алгоритма, формирующего варианты истинной модели с номерами от 2 до ; – число измерений выходной переменной; – дисперсия помехи измерений; – значение параметра настройки параметризованного алгоритма Маллоуса; – значение параметра настройки параметризованного алгоритма Вапника; – число циклов статистического моделирования процесса оценивания выходной переменной объекта управления.

На верхней горизонтальной оси рисунков 1-4 приведены следующие обозначения: пр. Маллоуса – классический алгоритм Маллоуса, пр. типа Маллоуса – параметризованный алгоритм Маллоуса, пр. «гарант.» выбора – алгоритм «гарантированного» выбора порядка, пр. Вапника – классический алгоритм Вапника, пр. типа Вапника – параметризованный алгоритм Вапника.

рис. 1 Зависимости оценки риска классического и параметризованного алгоритма Маллоуса от

отношения сигнал/шум при

рис. 2 Зависимости оценки эффективности классического и параметризованного алгоритма Маллоуса, алгоритма

«гарантированного» выбора от отношения сигнал/шум при

рис. 3 Зависимости оценки риска классического и параметризованного алгоритма Вапника от отношения

сигнал/шум при

рис. 4 Зависимости оценки эффективности алгоритмов Вапника и «гарантированного» выбор порядка от

отношения сигнал/шум при

Заключение

Из анализа графиков риска следует, что применение классических алгоритмов выбора порядка и их модификаций не гарантирует повышения точности оценивания выходной переменной объекта управления по сравнению с алгоритмом «гарантированного» выбора порядка. Их выигрыш или проигрыш зависит от значений параметров , , , . Среди них есть значения параметров , , , которые непосредственно задаются пользователем. Так как о значениях параметров истинной модели объекта управления (в силу постановки задачи) ничего неизвестно, то нельзя предсказать в какой зоне окажутся данные алгоритмы: «выигрыша», «проигрыша» или «примерного равенства» по сравнению с алгоритмом «гарантированного» выбора порядка.

Из анализа графиков риска можно вывести только общую тенденцию: при малых отношениях сигнал/шум лучше классические алгоритмы и их модификации; с увеличением сигнал/шум на определенном уровне данные алгоритмы начинают проигрывать; при больших отношениях сигнал/шум наступает «примерное равенство». Классические алгоритмы и их модификации лучше всего интерпретировать как процедуры предварительного выбора порядка. Они позволяют выбрать пробный порядок, который коллектив разработчиков должен подвергнуть тестированию на предмет его соответствия требованиям технического задания на проектирование САУ.

Литература

1. Гинсберг К.С. Концепция научного проектирования инженерного моделирования для слабо изученных объектов управления: новый подход к проблемам структурной идентификации // Труды IX Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO’12. – М.: ИПУ, 2012. С. 802–828.

2. Основы управления технологическими процессами / под ред. Н.С. Райбмана. М.: Наука, 1978. 440 с.

3. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления. М.: Наука, 1980. 400 с.

4. Эйкхофф П. Оценка параметров и структурная идентификация // Автоматика. 1987. № 6. С. 21 – 38.

5. Гинсберг К.С. О возможной инженерной практике создания наукоемких адаптивных автоматических систем управления с идентификатором для слабо изученных объектов управления: проектирование и инженерное моделирование // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/CAM/PDM – 2012). Труды 12 -й Международной конференции. М.: ООО «Аналитик», 2012. С. 81–86.М.: ООО «Аналитик», 2012. С. 81–86.

6. Mallows C.L. Some comments of // Technometrics. 1973. Vol. 15. №4. P. 661-675.

7. Вапник В.Н, Глазкова Т.Г. и др. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. М: Наука, 1984. 816 с.

8. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979. 448 с.