Дискретное геометрическое моделирование плоских кривых псевдоспиралями

С.И. Ботвиновская,
доц. КНУСА, к.т.н,доц., Botvinovska@yandex.ru
КНУСА, г. Киев

В статье рассматривается алгоритм дискретной интерполяции точек на плоскости псевдоспиралями. Приводится пример моделирования дискретно представленной плоской кривой с предварительно заданными условиями, которая является геометрической моделью линии лотка съезда транспортной развязки в разных уровнях.

In the article the algorithm of discrete interpolation of points is on a plane by means of pseudo spirals. The example of modeling of flat curve, with the set initial terms. The curve will be presented in a discrete form. This curve will be a geometrical model of some elements of crossing of roads in different levels

Современная прикладная геометрия кривых и поверхностей позволяет моделировать объекты сложной геометрической природы. Особое внимание уделяется задачам моделирования плоских и пространственных кривых линий, а так же анализу изменения их формы под воздействием различных параметров.

В процессе дискретного моделирования кривых линий не все их параметры могут быть использованы, как моделирующие, поскольку имеют дискретный характер изменения. В автоматизированных системах моделирования такие параметры реализуются как установочные. Они могут использоваться для построения множества проектных вариантов, которые будут удовлетворять исходным условиям.

Для правильного использования параметров, которые пользователь должен установить изначально, необходимо изучить их влияние на форму кривой и определить границы, в которых эти параметры изменяются. В данной работе исследования проводятся именно в такой постановке.

Существует широкий класс кривых и поверхностей, форма которых определяется таким уровнем их динамических характеристик, который обеспечивается минимизацией изменений кривизны и кручения вдоль линии и сохранением их необходимых значений в фиксированных точках. Использование кривизны и кручения в качестве начальных и конечных краевых условий, в задачах дискретного геометрического моделирования, значительно расширит возможности дискретной геометрии.

Моделирование кривых, по краевым условиям, является нелинейной задачей, которая не решена в полном объеме. В работе [1] был предложен метод моделирования плоских и пространственных кривых линий с использованием их натуральных уравнений в качестве управляющих кривых. Искомая кривая моделируется со звеньями равной длины. Дискретные аналоги кривизны в вершинах кривой, определяются двумя способами: как значения внешних усилий, приложенных к ее узлам (на основе статико-геометрического метода (СГМ)), и как значения углов смежности между соседними, присоединенными к каждому узлу, звеньями. Именно дискретные аналоги определяют дискретную кривизну и кручение с точностью до подобия. Это возможно, вследствие равенства звеньев дискретно-представленной кривой и является существенным при компьютерном моделировании.

В качестве примера рассмотрим алгоритм дискретной интерполяции точек на плоскости псевдоспиралями формы , где де r – радіус кривини, S – длина кривой. Такая интерполяция имеет ряд преимуществ перед интерполяциями другими кривыми, которые широко применяются в дорожном проектировании. Во-первых, такая интерполяция позволяет регулировать кривизну дискретно представленной кривой (ДПК), во-вторых, решение задачи СГМ позволяет получать дискретный ряд точек с равным шагом вдоль кривой.

В практике дорожного проектирования и строительства различные кривые (в продольных, поперечных профилях улиц и дорог, а так же съездов транспортных развязок) конструируются как составные, из отрезков прямых, дуг окружностей, клотоид, псевдоспиралей и т.д. Параметрическое число такой кривой будет зависеть от числа исходных данных, среди которых порядок гладкости в стыках составной кривой. В качестве дополнительных условий, выступают заданные углы наклона касательных в начальной и конечной точках кривой, заданные кривизна или радиус кривизны в точках стыка. В работах [2, 3] такой подход был реализован для кусковой интерполяции со вторым порядком гладкости в стыках. Недостатком такой интерполяции являются трудности, которые возникают при обеспечении одинакового шага вдоль кривой на разных интервалах.

рис.1. Фрагмент модели нитки, которая не растягивается

В данной работе предлагается алгоритм построения несоставной сопрягающей кривой, у которой график распределения внешних усилий [1] (аналогов кривизны) представляет собой сплошную линию. Используя интерполяцию в виде спиралей, появляется возможность решать задачу не кусковой интерполяцией дугами известных кривых, а интерполяцией непрерывными кривыми с одинаковым шагом на всех интервалах.

Поскольку внешние усилия (Р_і) не являются вертикальной нагрузкой (рис. 1), то для расчетов они будут раскладываться на координатные составляющие, по оси Х и Y. При нормальном распределении усилий между узлами, ДПК будет иметь звенья одинаковой длины, а внешние усилия будут прямо пропорциональными кривизне. Если кривая будет иметь n–ое число звеньев, то внешние усилия можно рассчитывать по формуле (1).

, (1)

где Р_іⁿ – значение усилия в конечной точке, Аn,

– длина звена ДПК,

– радиус кривизны.

Поскольку, все усилия всегда будут пропорциональными длинам звеньев ломаной (1), в процессе решения любой задачи СГМ всегда будет составляться система уравнений равновесий узлов для координат x, y, включая законтурные узлы. Обобщенная система уравнений равновесия узлов ДПК с n-звеньями, где координаты x, y заменены на u имеет вид (2).

где u_i – координаты (х или у) i-го узла,

P_u,і – координатная составляющая в i –том узле (рис.1).

k_u,і – коэффициент пропорциональности для P_u,і.

Величины коэффициентов определяются по координатам узлов предыдущего приближения и могут рассчитываться по формулам (3).

(3)

Все возможные комбинации геометрических условий, для моделирования геометрической модели линии лотка съезда транспортной развязки, профиля дороги или моделирования траектории движения объекта представлены в табл. 1.

Порядок кривой будет зависеть от функции распределения внешних усилий между узлами. В связи с большим разнообразием вариантов расчет параметров будет индивидуальным для каждого конкретного примера.

Алгоритм конструирования плоской ДПК путем интерполяции точек на плоскости псевдоспиралями с максимальным количеством заданных исходных условий выглядит следующим образом.

1. Задаются числовые параметры исходных данных: координаты крайних узлов ДПК (начального и конечного узлов), х_і = х_і, у_і = у_і, х_n = х_n, у_n = у_n; число шагов n и число всех шагов на интервале, N; число заданных узлов на интервале, m; число касательных ; число узлов, в которых задается кривизна или радиус кривизны, q.

Таблица 1

Геометрические условия и их комбинации

Закон распределения внешних усилий, Рі	Заданные геометрические условия
	N п/п	Краевые условия	N п/п	Условия в промежуточных точках
1	2	3	4	5
Р=0, Р=const, Р = ах+b, Р=a0+a1S1+a2S2+…+amS где S – длина ДПК с равными звеньями	1	xoyo, xn,yn	1	—
			2	x, y (координаты точки)
	2	xoyo, xn,yn + касательная (t1, t2)	3	Nі номер точки
			4	t, (касательная)
	3	xoyo, xn,yn + кривизна (1, 2)	5	,(кривизна)
			6	x, y + касательная в точке
	4	xoyo, xn,yn + касательная (t1, t2) xoyo, xn,yn	7	x, y + кривизна в точке
			8	Касательная + кривизна в точке
			9	Касательная + x, y+ кривизна

· если задаётся касательная, тогда можно указать только номер точки, не задавая ее координаты;

· номер точки задается только тогда, когда какое-нибудь условие уже задано.

2. Определяется число и тип уравнений распределения нагрузок, как описано в [1]. Узлам ДПК первого приближения присваиваются координаты узлов с равномерным шагом вдоль линии, которая соединяет начальную и конечную точки ДПК.

3. Определяются коэффициенты пропорциональности k_i по значениям координат предыдущего приближения, формулы (3).

4. Составляется система уравнений взаимной зависимости координат узлов из трех частей:

– уравнения равновесия узлов, аналогично (2);

– уравнения касательных в начальном и конечном узле ДПК;

– уравнения кривизны. Для ДПК кривизна прямо пропорциональна длине звена ломаной и рассчитывается по формуле (4).

(4)

где Р_і – модуль внешнего усилия, приложеного к узлу, А_і;

k – коэффициент пропорциональности;

– длина звена ДПК;

5. Определяются внешние усилия Р_і. Число неизвестных в системе (2) будет больше, чем число уравнений, потому что, кроме неизвестных координат система включает в себя неизвестные внешние усилия Р_і или коэффициенты k_u,і. Соответствие между числом уравнений и неизвестных устанавливается за счет функционального распределения усилий Р_і между узлами. Для этого составляется еще одна дополнительная система уравнений (5.)

(5)

6. При решении системы уравнений (2) определяются координаты узлов ДПК текущего приближения.

7. Определяется длина звена ДПК и подсчитывается ее общая длина.

8. Критерием остановки итерационного процесса могут быть:

- разница между соответствующими координатами узлов предыдущего и последующего приближений. Если разница между значениями соответствующих координат одних и тех же узлов в двух последних итерациях не превышает допустимой ошибки , итерационный процесс останавливается. В противном случае процесс повторяется с пункта 3;

- разница ’ между длинами звеньев ломаной, которая не должна превышать предварительно заданного значения. Расчетная формула имеет вид: Если разница , где соответствует заданному значению, то итерационный процес останавливается;

- разница между общей длиной L ДПК текущего приближения и предыдущего приближения. Расчетная формула , где - . Если разница выполняется, то итерационный процесс останавливается. Как вариант, можно выбрать разницу между средней длиной звена двух последовательных итераций: , где - . Однако, по последнему критерию могут быть получены одинаковые результаты в двух соседних итерациях, и для остановки работы алгоритма этого будет недостаточно. В зависимости от того, по какому из критериев разница быстрее будет сходиться, тот считается менее пригодным. Необходимо выбрать такой критерий, где разница будет оставаться наибольшей. Ниже показан пример дискретной интерполяции точек на плоскости псевдоспиралями.

Пример (рис. 2). Необходимо построить ДПК с равными звеньями, которую моделирует спираль в виде Заданы координаты начальной и конечной точек ДПК (х₀=0, у₀=0; х₈=8, у₀=0) и заданы уравнения касательных в первой и последней точках . Количество интервалов соответствует . В качестве первого приближения принимаются точки, распределенные вдоль оси абсцисс с постоянным шагом. В первом приближении внешние усилия направлены вертикально вверх, рассчитываем по формулам (1). Составив систему уравнений (2) находим координаты точек очередного приближения. Параметрический анализ показал, что: число уравнений равновесий узлов будет (n+1)_*2=18. Полное количество точек ДПК, включая законтурные, будет (n+3)=11. Количество заданных касательных . Суммарное количество уравнений равновесия и касательных будет ((n+1)_*2+). Количество заданных узлов m=2, каждый узел задается уравнениями, число которых m*2=4. Кривая состоит из 7-ми промежуточных точек. Результат проведенных расчетов показан на (рис. 2).

Выводы

В работе были проведены исследования, цель которых было построение, на начальном этапе, геометрической модели линии лотка съезда многоуровневой транспортной развязки.

Описанный алгоритм позволяет выполнить интерполяцию точек на плоскости псевдоспиралями, однако при такой постановке нет возможности получить точки на кривой с вертикальными касательными. К недостатку данного алгоритма можно также отнести и стремление уменьшения кривизны моделируемой кривой при увеличении угла наклона касательных в исходных точках.

Использование в качестве сопрягающих кривых – псевдоспиралей, позволяет решать задачи с практически неограниченным числом исходных данных, т.е. условия интерполяции в этих задачах не ограничены. В результате анализа проведенных исследований выяснилось, что существует возможность управления формой кривой линии за счет управления графиком ее кривизны. Лучшим решением будет то, где график распределения внешних усилий будет иметь минимальное количество осцилляций и будет более монотонным.

Сложность поставленной задачи будет зависеть от числа исходных данных, а так же от числа геометрических параметров, которые известны или необходимо учитывать в качестве дополнительных.

Литература

1. Ботвіновська С.І. Дискретне моделювання обрисів магістральних перехрещень за керуючими чинниками параметрів натуральних рівнянь. Дис.…к.т.н.:05.01.01/КНУБА. – К.: КНУБА, 2005.

2. Ковальов С.М., Ботвіновська С.І. Локальні інтерполяції дугами клотоїди з другим порядком гладкості // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КНУБА, 2002. – Вип.71. – С.25-31.

3. Ковальов С.Н., Ковтун О.Н. Формування рівно ланкової дискретно поданої кривої з заданою кривиною // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КНУБА, 2000. – Вип.67. – С.33-35.