Моделирование дискретных каркасов составных криволинейных поверхностей большепролётных покрытий

А.В. Золотова,
ассист. каф. НГ, zolotovaav@mail.ru
КНУБА, г. Киев, Украина

Предложен способ формирования дискретных каркасов составных поверхностей большепролетных покрытий статико-геометрическим методом. Данный способ реализован в программе SurfaceUnion, которая позволяет моделировать составные криволинейные поверхности под действием равномерно-кусочной формообразующей нагрузки.

The way of generation of discrete frames of composite surfaces using static-geometrical method is proposed. This method is implemented in "SurfaceUnion" application, which lets to model composite curvilinear surfaces under the piecewise-uniform forming load.

Использование сложных криволинейных поверхностей в архитектурном проектировании позволяет создавать уникальные архитектурные сооружения с гармоничным современным дизайном. Однако описать такие поверхности простым аналитическим уравнением не представляется возможным. Поэтому такие объекты моделируют отдельными порциями простых поверхностей, которые гладко стыкуются между собой. На современном этапе проектирование и расчеты криволинейных поверхностей ведутся с использованием вычислительной техники, поэтому в задачах геометрического моделирования удобно использовать дискретные модели этих объектов.

Для формирования криволинейных поверхностей используется статико-геометрический метод [1], предложенный профессором Ковалёвым С.Н., который получил развитие в работах его учеников. Суть этого метода заключается в том, что рациональная поверхность может быть представлена в виде дискретной сетки произвольной формы, на узлы которой действуют внешние усилия. Эти усилия уравновешиваются реакциями связей, которые пропорциональны длине этих связей. Для формирования дискретного каркаса поверхности исходными данными являются топологическая структура сетки, граничные условия и характер распределения внешней нагрузки между узлами.

Кусочная интерполяция позволяет решать задачу моделирования составных поверхностей при большом массиве исходных данных, используя порции более простых поверхностей. При дискретной интерполяции, которую можно рассматривать как численное решение дифференциальных уравнений, возникает погрешность дискретизации, которая при кусочной интерполяции не может обеспечить гладкость стыковки отдельных порций. В точках стыка появляется излом моделируемой поверхности, который увеличивается с увеличением шага дискретизации. Возникает задача исключения влияния погрешности дискретизации на гладкость стыковки порций. Ввиду того, что интерполяция способом конечных разностей основана на параболических зависимостях [2], то, используя поверхности параболического типа, можно найти зависимость между координатами узлов сеток на таких поверхностях, которые исключают возникновение излома.

В работах [3], [4], [5] было проведено исследование влияния характера внешней нагрузки на форму поверхности. Были выявлены группы поверхностей, дискретные каркасы которых соответствуют равномерному распределению внешней формообразующей нагрузки, линейному и распределению - по гипару.

Определены условия гладкой стыковки порций поверхностей, дискретные каркасы которых соответствуют равномерно-кусочному распределению внешней формообразующей нагрузки [6] и нагрузке, распределенной по гиперболическому параболоиду [7].

рис.1 Рабочее окно программы с исходным дискретным каркасом

Полученные алгоритмы формирования дискретных каркасов составных криволинейных поверхностей нашли применение в программе SurfaceUnion, которая позволяет моделировать поверхности, сформированные под действием равномерно-кусочной внешней формообразующей нагрузки. На рис.1 изображено рабочее окно программы с заданными исходными параметрами.

Пользователь выбирает наглядное изображение в виде изометрической или диметрической проекции. Задает исходные данные, такие как величина шага сетки, число шагов в направлении x и y, координаты контурных узлов и отдельные координаты внутренних узлов сетки. В зависимости от числа заданных внутренних координат пользователь формирует границы порций моделируемой поверхности. Границы порций поверхности задаются пользователем вручную. Также задаются координаты внутренних узлов, число которых соответствует числу порций составной поверхности. После нажатия кнопки «Расчет» автоматически составляется система уравнений равновесия для каждого внутреннего узла. Для узлов, через которые проходят границы порций, уравнения равновесия заменяются условиями гладкой стыковки [6]. При заданном исходном контуре, варьируя координаты внутренних узлов, можно получить дискретный каркас криволинейной гладкой поверхности. Координаты всех внутренних узлов выводятся в отдельный файл.

На рис.2 представлен дискретный каркас поверхности после расчета.

рис. 2 Изображение дискретного каркаса составной поверхности после расчёта координат внутренних узлов

При изменении одного или нескольких исходных параметров координаты внутренних узлов пересчитываются после нажатия кнопки «Расчёт». На рис.3 изображен дискретный каркас поверхности, координата внутреннего узла которого (z₅₂) изменена. На рис.4 представлен дискретный каркас поверхности после пересчёта.

рис. 3 Изображение дискретного каркаса поверхности после изменения исходных данных

рис. 4 Изображение дискретного каркаса составной поверхности после пересчёта

Преимущества метода заключаются в том, что мы получаем гладкую поверхность, в которой под действием вертикальной внешней нагрузки возникают преимущественно усилия растяжения-сжатия и не возникают значительные изгибающие моменты. Получение информации в дискретном виде облегчает дальнейший расчет покрытия на прочность и устойчивость, позволяет автоматизировать процесс проектирования криволинейных большепролетных покрытий.

Литература

1. Ковалёв С.Н. Формирование дискретных моделей поверхностей пространственных архитектурных конструкций. Диссертация на соискание степени доктора технических наук. 05.01.01/ М: МАИ, 1986.-348с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров – М.: Физматгиз, 1977.- 832 с.

3. С.М.Ковальов, А.В.Золотова Систематизація поверхонь, яким належать вузли дискретних сіток при рівномірному навантаженні// Прикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КНУБА, 2009.- Вип.81.- С.15-19.

4. А.В.Золотова Систематизація поверхонь, яким належать вузли дискретних сіток при лінійному розподілі зовнішнього навантаження//Геометричне та комп’ютерне моделювання. – Харків, 2009. – Вип.25. – С.159-164.

5. А.В.Золотова Поверхні, яким належать вузли дискретних сіток при розподілі зовнішнього навантаження по гіпару// Прикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КНУБА, 2010.- Вип.84. –С.187-191.

6. С.М.Ковальов, А.В.Золотова Дискретна двовимірна інтерполяція з першим порядком гладкості стикування порцій// Прикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КНУБА, 2011.- Вип.87. –С.164-170.

7. Золотова А. В. Дискретна двовимірна кускова інтерполяція з другим порядком гладкості стикування порцій// Прикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КНУБА, 2012.- Вип.89. –С.179-184.