Кривые высокого качества и их применение в
геометрическом моделировании и эстетическом дизайне
Р. Зиатдинов,
ассис.- проф.,
к.ф.-м.н,
rushanziatdinov@yandex.ru, ziatdinov@fatih.edu.tr,
Университет Фатих, г. Стамбул, Турция,
Кенджиро Т. Миура,
проф., д.т.н,
tmkmiur@ipc.shizuoka.ac.jp,
Университет Сидзуока, г. Сидзуока,
Япония
В
статье рассматриваются семейства кривых с монотонными функциями кривизны и их
применение в геометрическом моделировании и эстетическом дизайне. Приводится пример моделирования поверхностикузова автомобиля с помощью эстетических сплайнов.
Inthispaperwediscuss on the families of
curves with monotonic curvature functions, as well as their applications in
geometric modeling and aesthetic design. We also provide an example of car’s body
design by aesthetic splines.
Введение
Эстетическая
привлекательность промышленных продуктовявляется
очень важным фактором для их успешного продвижения
на рынкесбыта. Большинствокривых
и поверхностей, используемых в традиционных системахCAD/CAM [1],имеютполиномиальныйили
рациональныйпараметрический вид и не удовлетворяют
высоким эстетическим требованиям [2]. Одним из их недостатков является
сложность контролирования монотонности функции кривизны кривой.
1.
Кривые с монотонной функцией кривизны
рис.1 Новый концептуальный дизайн автомобиля[1], созданный с помощью эстетических кривых, мультиспиралей и кинематических спиральных поверхностей
В геометрическом
дизайне кривые с монотонными функциями кривизны известны как faircurves [3]. К ним можно отнести спирали с
монотонными функциями кривизны (спирали Эйлера, Нильсена,
логарифмическая спираль, инволюта окружности), псевдоспирали[4],
а также так называемые эстетические кривые[2], по сути являющиеся
линейной репараметризациейпсевдоспиралей. Все эти
перечисленные кривые входят в семейство суперспиралей[5],
кривизна которых задается Гауссовой гипергеометрической функцией,
удовлетворяющей условиям строгой монотонности при некоторых ограничениях,
накладываемых на ее параметры [6]. В последнее время были предложены кривые
Безье класса А [7], функция кривизны которых
монотонна, однако их более детальный анализ показал, что при повышении степени
полинома кривая сходится к логарифмической спирали [8]. Вообще, контролирование
монотонности кривизны кривых Безье и B-сплайнов порядка n>2
нуждается в более глубоком анализе и разработке соответствующих алгоритмов.
Кривые, удовлетворяющие монотонности функции кривизны, широко применяются в
дизайне поверхностей автомобилей, моделировании фасок, построении переходных
кривых в дизайне высокоскоростных магистралей и железнодорожных путей, дизайне
шрифтов [9-10] и являются неотъемлемыми составляющими эстетического дизайна[11].
На рис.1 представлен новый концептуальный дизайн автомобиля, созданный при
помощи эстетических кривыхи мультиспиралей[10].
2. Математический аппарат эстетических кривых
Наиболее
интересными с точки зрения эстетического дизайнаи
возможных приложений являются эстетические кривые[2], математическая теория которых разрабатывалась в
работах [12-15], [2], [9].ТошинобуХарада и его
исследовательская группа путем изучения характеристик множества кривых
привлекательной формы, присущих объектам реального и виртуального миров,
установили, что их функции кривизны в зависимости от натурального параметра
(длины дуги) в логарифмической шкале имеют линейный, либо близкий к линейному вид [12-13]. Натуральные уравнения этих кривых
имеют следующий вид [8]:
, (1)
где 
– параметр формы;
– масштабный фактор. В [2] для вычисления сегментов
кривых использовался численный метод Гаусса-Кронрода, позже в работе [9] были
получены параметрические уравнения для (1), в которых используются неполные Гамма-функции, позволяющие с
высокой точностью вычислять сегменты кривой. В [2] путем вычислительного
эксперимента были получены допустимые регионы для контрольной точки,
определяемой направлением единичных касательных векторов в начальной и конечной
точках сегмента эстетической кривой. Установлено, что спирали
Эйлера (
), Нильсена
(
), а также инволюта окружности (
) имеют ограниченные допустимые
регионы для контрольной точки, определяемой направлением единичных касательных
векторов в начальной и конечной точках, и сегмент кривой, удовлетворяющий
направлениям касательных, не всегда существует. Тем не менее, задача двухточечной Эрмитовой
интерполяции, судя по выполненному в [2] вычислительному эксперименту, всегда
имеет решение для спиралей с параметром формы 
, однако это утверждение до сих пор не является
аналитически доказанным. Йошида и Сайто[2]
исследовали поведение линий отражения на линейчатых спиральных поверхностях и
пришли к выводу, что при вращении кинематических поверхностей на них отсутствуют
осцилляции линий отражения, что является одной из характеристик их высочайшего
качества.
Некоторые
примеры применения эстетических сплайнов класса C1 можно
найти в [16].
3. Единичные кватернионные
интегральные кривые
В [17] впервые был предложен класс единичных кватернионных кривых
в группе вращений SO(3), а также разработан
метод, с помощью которого кривую в 
, определяемую взвешенной суммой
базисных функций, можно преобразовать в ее единичный кватернионный
аналог в SO(3). К примеру,
используя предложенный в [17] метод для таких сплайнов, как сплайны Безье, Эрмитовы и B-сплайны, могут быть получены единичные кватернионные кривые, многие дифференциальные свойства
которых инвариантны.
Единичная
кватернионная интегральная кривая (QI-кривая)
определяется следующим образом:
(2)
где 
–длина дуги;
–произвольный единичный вектор. В данном случае
кватернионы, в особенности единичные, удобны для описания вращений, используются
для контролирования направления касательного вектора, что добавляет некоторую
эффективность и простоту в дизайне кривой эстетической формы. Кватернионные координаты считаются идеальными для
интерполяции ориентации объектов [19].
В
силу того, что QI-кривая определяются вектором
касательной, контролируемым единичной кватернионной
кривой, и длина дуги есть ее натуральный параметр, возможно более удобное
манипулирование ее функцией кривизны, нежели у более традиционных для CAD/CAMсистем полиномиальных параметрических кривых.
Заключение
Плоские
кривые с монотонной функцией кривизны широко применяются в компьютерном
геометрическом дизайне и компьютерной графике. Область их применения достаточно
широка – начиная с дизайна шрифтов до моделирования поверхностей самолетов и
баллистических ракет.
Нам
также представляется весьма интересным разработка алгоритмов для генерации и
контролирования кривизны кривых Безье класса А, в
качестве базисных функций содержащих обобщенные полиномы Бернштейна, а именно
линейные операторы Станку [20], Лупаса [21] или Виденского [22]. Изучению этих вопросов будут посвящены
наши дальнейшие работы.
Литература
1. Farin, G., 2001. Curves
and Surfaces for CAGD, Morgan Kaufmann, 5th edition.
2.
Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic
curve segments. TheVisualComputer 22 (9), 896–905.
3.
Levien, R., Séquin, C., 2009. Interpolating splines:
which is the fairest of them all? Computer-AidedDesignandApplications 4, 91–102.
4. A. A. Savelov. 1960. Planar curves, GIFML: Moscow (in Russian).
5.
Ziatdinov, R. 2012. Family
of superspirals with completely monotonic curvature
given in terms of Gauss hypergeometric function. ComputerAidedGeometricDesign 29(7): 510-518.
6. Miller, K.S., Samko, S.G., 2001. Completely monotonic functions. Integral
Transforms and Special Functions 12 (4), 389–402.
7.
Farin, G., 2006. Class ABézier curves. ComputerAidedGeometricDesign 23 (7), 573–581.
8. N. Yoshida , T. Hiraiwa, T. Saito.
2008. Interactive Control of Planar Class A Bezier Curves
using Logarithmic Curvature Graphs, Computer-Aided Design & Applications
5(1-4), 121-130.
9.
Ziatdinov, R., Yoshida, N.,
Kim, T. 2012. Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of
incomplete gamma functions. ComputerAidedGeometricDesign
29 (2), 129–140.
10.
Ziatdinov, R., Yoshida, N.,
Kim, T. 2012. Fitting G2multispiral transition curve joining
two straight lines. ComputerAidedDesign 44 (6), 591–596.
11. Dankwort, C.W., Podehl, G., 2000. A new aesthetic design workflow: results from
the European project FIORES. In: CAD Tools and Algorithms for Product Design.
Springer-Verlag, Berlin, Germany, pp. 16–30.
12. Harada, T., Mori,
N., Sugiyama, K. 1995. Curves’ physical characteristics and self-affine
properties, Design Research 42 (3), 30-40 (in Japanese).
13. Harada, H. 1997.
Study of quantitative analysis of the characteristics of a curve, Forma 12(1),
55-63.
14.
Miura, K.T., 2006. A general equation of aesthetic
curves and its self-affinity. ComputerAidedDesignandApplications 3 (1–4), 457–464.
15. Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivation of a
general formula of aesthetic curves. In: 8th International Conference on Humans
and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japan, pp.
166–171.
16. RushanZiatdinov, Kenjiro T. Miura, 2012. On the variety of planar spirals
and their applications in computer aided design, European Researcher 27(8-2),
1227-1232.
17. Kim, M.-J., Kim,
M.-S. and Shin, S.Y.,1995. A general construction
scheme for unit quaternion curves with simple high order derivatives, in:
SIGGRAPH '95 Proceedings of the 22nd annual conference on Computer graphics and
interactive techniques, 369–376.
18. Miura, K.T., 2000,
Unit Quaternion Integral Curve: A New Type of Fair Free-FormCurves,
Computer Aided Geometric Design17(1), 39-58.
19. Shoemake, K. 1985,
Animating Rotation with Quaternion Curves, Computer Graphics 19, 245-254.
20.
D.D. Stancu. 1968.
Approximation of functions by a new class of linear polynomial operators, Rev. Roumaine Math. Pur. Appl. 13, 1173 - 1194.
21. Lupas, A., 1987. A
q-analogue of the Bernstein operator, University of Cluj-Napoca, Seminar on
Numerical and Statistical Calculus, Preprint 9, 85-92.
22.
В.С. Виденский. 2008. Замечание о рассмотренных А. Лупасом рациональных положительных операторах// Некоторые
актуальные проблемы современной математики и математического образования
("Герценовские чтения - 2008"). СПб.:РГПУ имени А.И. Герцена,
2008. С. 134-146.