К обоснованию вычислимости решения задачи управления качеством

В. Л. Чечулин,
 ст. препод, chechulinvl@mail.ru,

ПГНИУ, Пермь
Е. Н. Налдаева,

ПГНИУ, Пермь

В задаче управления качеством химико-технологических процессов нахождение решения выполнимо по методу последовательных приближений. Однако как возможен за счетное количество шагов выбор некоторого решения из несчетной совокупности точек на прямой? Данная проблема решается за счёт счётности десятичных обозначений точек. При этом если имеется «конечная» точность, то решение находится за конечное число шагов.

 

Finding a solution is executable with method of consecutive approximations in the task of quality management of chemical engineering processes. But how can be selected some solution from uncountable set of points on the straight over enumerable number of steps? This problem is solved by countability of decimal designations of points. Also, if the “final” precision is set, the solution can be found for final number of steps.

 

 

Рассматривается задача нахождения решения управления качеством химико-технологических процессов (см. [1], [2]). При однозначно определенных функциях зависимостей экономического параметра Z от параметра управления Y (и коррекции технологической нормы качества x0 по минимуму дополнительных издержек), нахождение решения выполнимо методом последовательных приближений, т. е. имеется некоторый оператор A, обладающий свойством сжатия:

║Ayn║< ║yn║.                                                                            (1)

 

Однако при рассмотрении последовательности приближений к решению в этом случае возникает вопрос: как возможен за счётное количество шагов выбор некоторого решения из несчётной совокупности точек на прямой? Данная проблема решается следующим образом: количество десятичных обозначений чисел, соответствующих прямой, является счётным, в отличие от несчётного количества точек на прямой. При этом при нахождении решения осуществляется выбор за счётное количество шагов из счётной совокупности. Счётность количества десятичных обозначений чисел обоснована в [2, с. 67] («теорема о счётности десятичных обозначений»)

Схема доказательства теоремы о счётности десятичных отображений заключается в следующем [3, с. 67]: строится 10-дерево (см. рис. 1), соответствующее всевозможным десятичным обозначениям чисел на интервале [0, 1), и организуется пересчёт по слоям, т. е. по номеру цифры, стоящей за запятой; такой пересчёт выполним, следовательно, число десятичных обозначений чисел на указанном интервале является счетным. Поскольку имеется счётное количество интервалов длины 1 на прямой, то общее количество десятичных обозначений всех чисел, соответствующих прямой, остаётся счётным; при этом количество точек на прямой (имеются в виду геометрические точки, а не десятичные обозначения) является несчётным [3, с.66].

рис. 1. Фрагмент 10-дерева

При возможности выполнения бесконечного счётного числа операций нахождения решения путем применения оператора сжатия (1) находимо точное решение за счётное число шагов, однако на практике вычисления ограничены конечным числом итераций и точность вычислений не является абсолютной.

 При этом очевидно, что при требовании «конечной» точности вычислений (лучшей, чем 1/k) имеется неравенство ║yn – yn+1 ║< 1/k, где k < ∞, и решение задачи управления с требуемой точностью достигается за конечное число шагов. Таким образом, обоснована вычислимость решения задачи управления.

Литература

1.  Чечулин В. Л., Налдаева Е. Н., Особенности информационной системы управления процессом плавки концентратов // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/CAM/PDM ― 2010). Тр. 10-й междунар. конф. Под ред. Е.И. Артамонова, 2010, с. 232–233.

2.  Чечулин В. Л., Метод пространства состояний управления качеством сложных химико-технологических процессов / моногр., Перм. гос. нац. иссл. ун-т.– Пермь, 2011.– 114 с. http://www.psu.ru/psu2/files/0444/chechulin_mps.pdf.

3.  Чечулин В. Л., Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения) / моногр. Перм. гос. ун-т.– Пермь, 2010.– 100 с. http://www.psu.ru/psu2/files/0444/chechulin_teoriya_mnozhestv.pdf.