Об однозначности выбора решения в системах сетецентрического управления

Д.Ю. Максимов,
науч. сотр., phoenixjhanjaa@yandex.ru
ИПУ РАН, Москва

Предлагается подход к выбору решения при трансформации систем управления, который может быть использован в самоорганизующихся системах, основанный на использовании многозначной логики, возникающей из множества внутренних смыслов (целей деятельности) присущих системе. Определяются новые логические операции, которые используются для выявления приоритетов вариантов поведения системы исходя из множества ее внутренних смыслов. Разбирается модельная задача, приближенная к реальности.

Decision choice during control systems transformations approach is suggested. It’s based on many-valued logic arising from internal senses (function aims) set inheriting to system and may be used in self-organizing systems. New logician operations using in system behavior variants priorities determination on the assumption of its internal senses set, are defined. The reality-like model example is discussed.

При отсутствии определения сетецентричности, общим объектом разных направлений, использующих это понятие, является сетевая самоорганизующаяся система ([1]). В качестве фундаментальной концепции обработки данных в таких сетях используются графовые трансформации.

В существующих работах по графовым трансформациям рассматривается только граф действий, который изменяется по определенным правилам (с учетом изменения графа-носителя), но не рассматривается проблема выбора правила при возможности разных подстановок. Та же проблема возникает при трансформации графа подчиненности, когда требуется выбирать уже среди разных групп правил. В данной работе предлагается подход к решению этой проблемы, который использует новые операции в многозначной логике, естественно возникающей в системной иерархии.

С любой иерархически организованной системой можно связать категорию расслоений Вn(I) ([2]), базой которых I является множество оконечных объектов управления, а слоями пространств расслоений являются подмножества множеств путей, кончающихся в точках базы и представляющих собой управленческие цепочки (т.е. элементами слоя являются пары (a, f(c)), (b, f(c)), и т.д. где f(c) – путь, кончающийся в элементе базы с; а,b – вершины графа, лежащие на пути f; см. рис.1). При этом разные расслоения (т.е. объекты Вn(I)) соответствуют разным способам иерархической организации системы.

рис. 1. Граф исходной иерархии системы и некоторые расслоении, соответствующие разным способам ее иерархической организации

Отметим, что самоорганизующиеся системы являются системами со слабыми связями ([3]), т.е. объект нижележащего уровня управления может быть подчинен не одному объекту вышележащего уровня.

В отличие от двузначной логики, для утверждений в таких системах можно говорить «истинно в смысле μ (например)», где μ – обозначает правила, в соответствие с которыми функционирует данный объект или подчиненная ему группа, цели их деятельности. Таким образом, множество истинностных значений является множеством внутренних смыслов системы. Это множество соответствует множеству локальных сечений расслоения Ω – классификатора подобъектов топоса. Тогда, добавляя элементы базы, не входящие в данный граф можно представлять среду и задавать множество внешних смыслов.

В такой категории определяем новые отношения: отношение отрицания «в смысле µ» (¬_µ) и отношение частичного порядка «в смысле µ» (≤_µ), а также оценку степени равенства «в смысле µ» ([ ≈_µ ]). С помощью таких отношений в решетке истинностных значений можно менять частичный порядок, используя текущий приоритет смыслов. Такая перестройка приоритетов моделей поведения приводит к перестройке иерархии, что позволяет определять приоритет подстановок правил трансформации системы.

1. Логика в категории расслоений

Категория расслоений является топосом ([2]), который имеет многозначную логику. Истинностными значениями в Вn(I) будет являться множество всех подмножеств I (эквивалентно: множество сечений расслоения Ω – классификатора подобъектов). В иерархической системе за базу можно принимать элементы на каждом уровне управления и, соответственно, рассматривать разные категории. В случае возможности любых сочетаний элементов базы соответствующие решетки истинностных значений относятся к типу 2^N, где N – число элементов I. В общем случае это не так, но все равно, множество истинностных значений в топосе является дистрибутивной решеткой. Так, например, для графов таких, как на рис.2, будет 4 истинностных значения для категории расслоений с базой из элементов верхнего уровня, и 16 – из элементов нижнего. Соответствующие диаграммы возможных решеток истинностных значений показаны в правой части рисунка. При этом первая из них, соответствует по смыслу целям деятельности двух групп управления, объединенных общей сверхзадачей.

рис. 2. Граф и возможные соответствующие решетки истинностных значений

В такой категории определим новые отношения: отношение отрицания «в смысле µ» (¬_µ) и отношение частичного порядка «в смысле µ» (≤_µ), а также оценку степени равенства «в смысле µ» ([ ≈_µ ]). С помощью таких отношений можно оценивать степень влияния слабых связей в системной иерархии при выборе трансформаций.

По аналогии с обычным определением отрицания, определим отношение ¬_µ, как характеристическую стрелку истинностного значения Т_μ, которое само является характером подобъекта μ конечного объекта. Такая операция связана с топологией в топосе и приводит, соответственно, к модальной логике ([3]). Заметим без доказательства, что T_κ = ¬_µT_α ≤ - степени эквивалентности μ и α. Это значит, что μ и α эквивалентны там, где они равны, или там, где вместе не существуют([3]). Тогда можно положить в первом приближении, т.е. как в булевом топосе, в котором ¬_µ◦¬_µ = 1_Ω откуда следует, что ¬_µT_α симметрично по μ и α:

(1)

где , но не обязательно . Причем из всех β: , берется наименьшее.

Определим также ≤_µ:

α ≤_µ β, если

,

где [μ ≈ α] – оценка степени равенства μ и α, которая является степенью эквивалентности в подалгебре Bn(, Ω) алгебры Гейтинга истинностных значений Bn(1, Ω). В определении ≤_µ сравниваются истинностные значения в Bn(1, Ω), которые соответствуют этим степеням эквивалентности. Положим в первом приближении [μ ≈ μ] = ┬ (true) и, в отличие от степени эквивалентности и от определения степени равенства в [2], можно также положить [μ ≈ α] = T_μ∩α для остальных вершин. Т.е. [μ ≈ α] – это степень эквивалентности μ и α относительно их объединения, когда нет области, где бы они вместе не существовали. При этом, равенство в смысле µ: α =_µ β означает, что α ≤_µ β и β ≤_µ α и эквивалентно тому, что α∩µ = β∩µ. Рефлексивность и транзитивность такого отношения очевидны. Отсюда видно, что в смысле µ = 1, это определение превращается в обычное определение отношения частичного порядка. В смысле µ = 0 все вершины решетки истинностных значений равны между собой и не больше ┴ (false). Также можно заметить, что α ≤_β β для любого α, поскольку в обратную сторону это отношение всегда ложно. То есть, в своем смысле каждая вершина решетки больше всех других, «для себя она самая важная». Так же, в смысле β, можно рассматривать частичный порядок на всей решетке, которая будет отличаться от исходной, поскольку в таком случае вершина β будет наибольшим элементом.

Можно определить также оценку степени равенства в некотором смысле - [α ≈_µβ]. В этом случае все смыслы рассматриваются относительно объединения α и β. То есть, вместо пересечения β и α в определении степени равенства, используется пересечение в смысле µ - (α∩β)|_µ. Это подобъект элемента с характеристической стрелкой пересечения, но который классифицируется не стрелкой ┬, а стрелкой ┬_µ. Тогда, при α ≠ β, можно положить в первом приближении [α ≈_µβ] = T_(α∩β)|µ = ¬_µT_α∩β, что означает, что не полностью (в смысле µ) отрицается пересечение. Т.е может лучше сказать, что [α ≈_µβ] – это мера неравенства α и β, степень эквивалентности µ и α∩β относительно объединения α и β. Т.о. степенью равенства (неравенства) α и β в смысле µ в первом приближении будет стрелка T_κ, где, как в (1)

(2)

При µ = 1 оценки [α ≈ β] и [α ≈₁β] совпадают при всех α и β, если брать строгие определения. По этому, в первом приближении положим [α ≈₁α] = [α ≈ α] = ┬.

Далее подобъекты единицы и характеризующие их истинностные значения в обозначениях различаться обычно не будут.

2. Модельная задача

Рассмотрим пример, в котором объединены и усложнены модельные задачи из [4, 5]: в зону бедствия после землетрясения направляются две группы, снабженные мобильными устройствами связи и обработки информации, одна - с целью обследовать и сфотографировать разрушенные и поврежденные здания, другая – установить и устранить утечки в сети газоснабжения. Общая дополнительная задача – при наличии в опасных местах людей, выводить их в безопасные. Решетка целей при этом получается из решетки 4-х истинностных значений рис.2 добавлением внешнего смысла дополнительной задачи. Эта решетка изображена на рис.3, где: ε₁ = ┬(true) – объединение всех видов деятельности, ε₀ – группа правил трансформации для выполнения эвакуации, ┴ (false) - бездействие, в µ и ν_u – группы правил трансформации графа действий для выполнения фотографий и устранения утечек соответственно. При этом ε₀ – одного уровня значимости с µ и ν_u. Задача установления утечек – ν_d, -является подзадачей ν_u и менее значимой по сравнению с ней. Также, , что позволяет интерпретировать U₁ как объединенное выполнение задач ν_u и ε₀ или ν_d и ε₀ – одновременное установление или удаление утечек газа и эвакуацию людей. Аналогично для U₂ и U₃. Причем . Вершина e содержит правила, принадлежащие всем трем задачам вместе, но, поскольку их образы деятельности не пересекаются, то е означает бездействие, но не полное, т.к. есть еще задача ν_d. Полное бездействие – это самая нижняя вершина (┴, false). Самая же верхняя вершина, наибольший элемент решетки, означает, таким образом, максимальную активность.

Т.о. в этом смысле самым важным является максимальная активность, а наименее значимым – полное бездействие. Промежуточные варианты оцениваются с помощью отношения ¬_┴, которое, в данном случае может отличаться от псевдодополнения ¬. Так, например, ¬_┴μ = U1, а ¬μ = νd. Интерпретировать ¬_┴μ можно как отсутствие деятельности μ, при наличии функционирования другими способами.

рис. 3. Решетка целей при наличии параметров

Эта решетка не является решеткой типа 2^N и представляет собой частный случай решетки D₁₈, которая является свободной порождающей подрешеткой для всех дистрибутивных решеток ([6]). Ее порождающими элементами, в данном случае, и являются вершины μ, ν_d и ε₀.

При трансформации графа подчиненности (переподчинении другому управляющему узлу), в его узлах одна группа правил из решетки целей заменяется другой. Проблема возникает тогда, когда надо выбрать узел, который следует переподчинить. Например при обнаружении людей объектом группы ν, кто должен их эвакуировать – объект из ν или кто-то из группы µ?

Решение этой проблемы зависит от ситуации, в которой находится система: например, от уровня опасности и степени выполнения задач разными группами, т.е. от текущего приоритета в смыслах деятельности системы. Использование отношений «в смысле текущего приоритета» позволяет менять приоритет правил трансформации в данный момент.

рис. 4. Решетки целей: а-«в смысле ε₀», б-«в смысле ν_u»,в-«в смысле U₁»

Рассмотрим решетку рис.3 при других приоритетах. На рис.4,а изображена та же решетка, но при приоритете необходимости эвакуации, т.е. при использовании отношения частичного порядка ≤_ε0. В этом случае разные вершины частично отождествляются и частичный порядок превращается в линейный. Ценность действий здесь последовательно уменьшается в соответствие с уменьшением «количества» ε₀. Попробуем для расщепления уровней использовать отношения ¬_ε0 и ≈ _ε0.

Рассмотрим следующие соотношения:

¬_ε0µ = ν_u; ¬_ε0ν_u = µ; ¬_ε0ν_d = µ;

¬_ε0┴ = U₂; ¬_ε0e = U₂; ¬_ε0U₂ = e;

¬_ε0U₁ = U₃; ¬_ε0U₃ = U₁; ¬_ε0ε₁ = ε₀.

На нижнем уровне «в смысле ε₀» отождествлены полное бездействие (┴) и измерение уровня загазованности (ν_d). Но отсутствие ┴ есть U₂ (также для частичного бездействия е) - объединенное выполнение μ и ν, а отсутствие ν_d – выполнение только μ (фотографирование разрушений). С этим согласуется то, что ν_d может входить в U₂ (и тогда ¬_ε0ν_d – это то, что дополняет ν_d до U₂ в смысле ε₀ - [U₂ ≈_ε0 ν_d] = µ), а е означает отсутствие любой деятельности кроме ν_d ( т.е. ¬_ε0e, отсутствие е - присутствие деятельности в смысле ε₀). Если же не выполняется задача μ, то должна выполняться ν_u (устранение утечек газа) и наоборот. Это более высокий уровень значимости, чем полное бездействие или ν_d. Но на нем еще не выполняется задача ε₀ – эвакуация населения. На следующем уровне такая задача выполняется силами одной из групп (U₁ или U₃), при этом другая группа занимается своей задачей. Этому равнозначима деятельность, когда выполняются все три задачи (ε₁). Но отрицание ситуации ε₁ означает, что все усилия направлены на эвакуацию и это самая большая степень значимости в данном случае. Но как выбрать между моделями поведения, которые относятся к одному уровню в данном смысле при одновременной возможности их выполнения? Единственного смыслового значения для выбора приоритета уже не достаточно. Предположим, что наряду с приоритетом ε₀ есть еще и подчиненный приоритет ν_u. Тогда используя отношения ≈_ε0 и ≈_νu можно установить в частности, что

[U₁ ≈_ε0 ν_u] = ε₀; [U₂ ≈_ε0 ν_u] = µ; [U₃ ≈_ε0 ν_u] = U₂; [µ ≈_ε0 ν_u] = U₂; [e ≈_ε0 ν_u] = ν_u;[ε₁ ≈_ε0 ν_u] = µ;

[U₁ ≈_νu ε₀] = e; [U₂ ≈_νu ε₀] = U₃; [U₃ ≈_νu ε₀] = µ; [µ ≈_νu ε₀] = U₃; [e ≈_νu ε₀] = ε₀; [ε₁ ≈_νu ε₀] = µ;

[U₁ ≈_νu ν_u] = U₁; [U₂ ≈_νu ν_u] = U₂; [U₃ ≈_νu ν_u] = U₃; [µ ≈_νu ν_u] = µ; [e ≈_νu ν_u] = e; [ε₁ ≈_νu ν_u] = ε₁;

[U₁ ≈_ε0 ε₀] = U₁; [U₂ ≈_ε0 ε₀] = U₂; [U₃ ≈_ε0 ε₀] = U₃; [µ ≈_ε0 ε₀] = µ; [e ≈_ε0 ε₀] = e; [ε₁ ≈_ε0 ε₀] = ε₁.

Видно, что U₁ в большей степени дополняет ν_u в смысле ν_u, чем в смысле ε₀. Также U₂ и ε₁, а µ и е – наоборот. Отношения ν_u и U₃ несравнимы в этих смыслах, поскольку U₃ не имеет не тривиального пересечения с ν_u. Таким образом, в смысле ν_u , U₂ предпочтительнее, чем ν_u , µ и е, а ε₁ и U₁ – чем U₃. Т.е. в условиях, когда при одновременной работе µ и ν (применяется группа правил, модель поведения U₂) вторая группа обнаруживает людей в опасной зоне, при естественном дополнительном приоритете устранения утечек газа (ν_u), людей будут выводить члены группы µ - выполняться задача U₁ или ε₁. В отсутствие дополнительного приоритета эвакуацией может заниматься и группа ν.

Случаи других приоритетов рассматриваются аналогично.

Заключение

Таким образом, использование многозначных логических отношений для оценки влияния слабых связей в системной иерархии может позволить устанавливать приоритет правил функционирования (моделей поведения) объектов системы, что приводит к выбору правил трансформации системной иерархии в зависимости от текущего состояния. Эти результаты получены только из множества внутренних смыслов системы (с добавлением единственного внешнего). Если же число параметров превосходит выразительные возможности этого множества, то возможно расширение базы расслоений для включения других внешних смыслов, связанных с дополнительными параметрами. Варьируя структуру множества элементов базы можно получать разные смысловые решетки, что позволит выбирать правило трансформации сетевого графа при наличии различных возможностей исходя из текущей структуры системы и ее окружения. Кроме того, были использованы только простейшие логические операции. Использование графовых грамматик в полной мере, применение правил вывода может позволить строить цепочки трансформаций графов с изменяемым смыслом (переменной истинностью), что может быть использовано в системной самоорганизации.

Литература

1. Стецюра Г.Г. частное сообщение

2. Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. М.: Мир. 1983 г., пер. с англ., – 486 с.

3. Волкова В.Н., Денисов А.А. Теория систем и системный анализ. М.: Юрайт. 2010 г., – 679 с.

4. Ehrig H., Hoffman K., Padberg J. and others Petri Net Transformations. in Petri Net, Theory and Applications, Vienna: I-Tech Education and Publishing. February 2008., – 534 p.

5. Hoffman K. Formal Modeling and Analysis of Mobile Ad Hoc Networks and Communication Based Systems using Graph and Net Technologies // Bulletin of the EATCS № 101. June 2010 г. P. 148-160.

6. Биркгоф Г. Теория решеток. М: Наука. 1984 г., – 568 с.