Реализация алгоритма вейвлет - аппроксимации  и его время - частотное отображение

Д.Б. Федосенков,

доц., к.т.н., доц.,

Е.Н. Карнадуд,

аспир.,

А.А. Ямпольский,

аспир.,

О.В. Барабошкин,

аспир.,

Б.А. Федосенков,

проф. каф., д.т.н., проф.,  raf@kemtipp.ru,

КемТИПП, г. Кемерово

Статья представляет подход, который может быть использован для отображения материалопотоковых процессов при решении задачи управления режимами дозирования и смешивания. В соответствии с этим подходом был адаптирован алгоритм вейвлет-поиска соответствия для аппроксимации сигналов материальных потоков на выходе блока дозирующих устройств смесеприготовительного агрегата. Получаемые в результате этой процедуры восстановленные на базе вейвлет-функций сигналы далее трансформируются в двумерную время-частотную функцию (карту Вигнера), представляющую собой распределение энергии материалопотокового сигнала во время-частотном пространстве. Приведены данные, характеризующие преимущества, ограничения и возможную экстраполяцию этого метода на разные массивы вейвлетов. Рассмотрен пример реконструкции реального сигнала дозирования с использованием рассмотренного подхода.

 

This article presents the approach which can be used for the representation of material flow processes while dealing with the problem of dosing and mixing regimes control. In this technique the matching pursuit algorithm has been adapted for approximating the flow signals registered at the output of a dosing devices block. As a result of this procedure, the wavelet approximated signals are afterwards transformed into the so-called Wigner distributions (maps) which are the material energy flow signals density distributions over time-frequency space. The advantages, limitations, and possible extensions of the approach considered are outlined. An example on the reconstruction of a flow signal has been reviewed.

 

Целью исследования является разработка метода отображения (графической визуализации) текущих режимов работы смесеприготовительного агрегата в задаче управления динамикой нестационарных процессов, в частности, процессов дозирования и смешивания сыпучих материалов с целью  получения высококачественных смесевых композиций. Необходимость рассмотрения данной технологии объясняется требованием минимизации количества вейвлет-атомов, аппроксимирующих исходный сигнал (в принципе, любой технологический скалярный сигнал, например, сигнал расхода при дозировании, отраженный сигнал РЛС и проч.) и соблюдением отработки заданной ошибки аппроксимации [1,3]. Как следствие, это определяет время, необходимое для восприятия и обработки исходного сигнала и формирования управляющего воздействия на исполнительный механизм. По условиям рассматриваемой технологии дозирования суммарное время с момента фиксации сигнала до момента выдачи управления на двигатель дозатора не должно превышать 1 секунду. При этом максимальное время запаздывания в цепи обратной вейвлет-связи, не приводящее к потере устойчивости САР, составляет 2,1 секунды. С целью устранения влияния текущих (вновь возникаюших) флуктуаций режима  дозирования на процесс компенсации нейтрализуемых в данный момент возмущений, время запаздывания в цепи обратной вейвлет-связи не должно превышать минимально возможных значений длительностей неоднородностей в составе возмущений в режиме дозирования.

  

При использовании алгоритма вейвлет-поиска соответствия [1], на основе определенной базисной функции g(t, τ, s, ξ) генерируется информационная среда некоторого вейвлет-тезауруса (словаря) в виде семейства вейвлет-функций путем масштабирования (s), перевода (τ) и модуляции (ξ) последних. В качестве базисной функции была выбрана функция Габора (рис.1а), наилучшим образом соответствующая локальным структурам анализируемых сигналов расхода:

, где  - функция Гаусса;         (1)

 - индекс параметров вейвлета Габора

На рисунке 1б представлен такой сигнал расхода (на выходе порционного дозатора) и аппроксимирующий его вейвлет Габора (рис. 1а).

Опишем процедуру реконструкции (восстановления) исходного сигнала на основе его адаптивной аппроксимации рядом вейвлет-фунций. Технология итеративной процедуры – такова: на первом шаге выбирается вектор , дающий наибольшее скалярное произведение с сигналом f(t):

                                          (2)

Затем остаточный вектор , полученный после аппроксимации f в направлении , раскладывается подобным же образом. Итеративная процедура повторяется по последующим получаемым остаточным векторам , .

 

 

 

рис. 1 Осциллограммы сигналов: а) адаптированный к процессам дозирования вейвлет; б) сигнал расхода порционного дозатора, спроецированный на вейвлет-фунцию Габора

Таким образом, на каждой итерации (фазе итеративного процесса) выбирается только одна вейвлет-функция , где (i+1) – номер итерации для индекса ; при этом отбираемый вейвлет  вводится в аппроксимативное выражение (2) по критерию максимума скалярного произведения выбираемой из словаря вейвлет-функции  и остаточного вектора  на -й итерации. Следовательно,

,                           (3)

где  – остаточный вектор на нулевой итерации, равный исходному анализируемому сигналу .

Таким образом, аппроксимация сигнала f(t) при числе итераций n алгоритма вейвлет-поиска соответствия с помощью словарных вейвлет-функций , выбираемых в направлении индексного вектора, определяется как

,                                (4)

где вектор номера вейвлет-функции n – также решетчатая функция с единичным шагом.

 

Пример технологии алгоритма вейвлет-поиска соответсвия представлен на рис. 2.

Здесь приведена последовательная процедура обработки исходного сигнала путем итеративного отбора из словаря D вейвлет-функций Габора и получения остаточных сигналов после 1-й, 2-й и 3-й фаз итеративного процесса. Римскими цифрами I, II, III, IV обозначены фрагменты сигнала f(t), которые аппроксимируются тремя время-частотными атомами Габора, причем последовательность аппроксимации с учетом энергетической плотности этих фрагментов и их остатков такова: II→I→III. Фрагмент IV не аппроксимируется, поскольку остаточный сигнал на рис. 2 г) меньше по норме заданной ошибки аппроксимации .

Опишем численное применение метода вейвлет-поиска соответствия (ВПС) при использовании в процессе анализа материалопотоковых сигналов избыточного вещественного словаря Габора в качестве функционального тезауруса. Для некоторого индекса  и начальной фазы , лежащей в диапазоне , вещественные дискретные время-частотные атомы связаны с комплексными атомарными функциями соотношением:

.                                                    (5)

Можно показать, что константа нормирования  имеет вид:

рис. 2 Технология получения остаточных векторов по формуле (3): а) исходный сигнал                                                                                                       б), в), г) – остаточный сигнал после 1-й, 2-й и 3-й итерации

,                                                  (6)

где  – вещественная часть .

Тогда для остаточного многочлена сигнала Rnf модуль скалярного произведения равен

.                                                (7)

Задавая , равную комплексной фазе  скалярного произведения , получим:

.                                (8)

Таким образом осуществляется поиск такого индекса , при котором соответствующим вейвлетом  максимизируется модуль скалярного произведения  для индекса γ в подпространстве Γα .

При этом исследуется окрестность словарного индекса  в пространстве Γ для индекса , при котором модуль скалярного произведения  достигает локального максимума.

Поскольку остаточный многочлен анализируемого сигнала на (n+1)-й итерации равен

,                                                           (9)

где  – словарная функция с индексом  и начальной фазой ,
то при следующей итерации следует рассчитать для некоторого словарного индекса  скалярное произведение

.                             (10)

Следовательно, в итоге оценивается и подсчитывается скалярное произведение следующего вида:

.                       (11)

Для получения время-частотного отображения сигнала, реконструированного в ходе ВПС, воспользуемся распределением Вигнера.

Перекрестное распределение Вигнера [2] двух функций  и  определяется как

.                                      (12)

Распределение Вигнера функции : . Так как оно – квадратичное, то в итоге получаем

.                       (13)

Двойная сумма в выражении (13) соответствует перекрестным членам, представленным в распределении Вигнера. Эти члены обычно удаляются, чтобы получить чистую картину распределения энергии на время-частотной карте. Удаление этих членов осуществляется непосредственно – при расчетах энергетического распределения берется только первая сумма. Поэтому для визуализации плотности энергии на время-частотной плоскости представления сигнала, полученного средствами ВПС, определяется величина

      .                                                                (14)

На основании известных свойств распределения Вигнера, таких, как растяжение и смещение, а также уравнения время-частотного атома, получаем для

                                                                    (15)

и, следовательно,

.                                         (16)

Распределение Вигнера также удовлетворяет условию

,                                                                                (17)

поэтому, в соответствии с уравнением локализации энергии, имеем

.                                                                         (18)

Функцию  можно интерпретировать как плотность энергии  на время-частотной плоскости . В отличие от распределений класса Коэна [2], данный вид распределения не содержит перекрестных членов. Оно также остается положительным, если  – положительно, т.е. когда  – гауссова функция. Чтобы получить разложение с вещественными коэффициентами, когда сигнал  также вещественен, необходимо использовать словари вещественных время-частотных атомов. Для любого  с  и любой фазы  определим

.                                                           (19)

Постоянную  устанавливаем такой, чтобы задать . Начальная фаза , скрытая ранее в комплексных числах, теперь отчетливо прослеживается как один из четырех параметров вещественных атомов. Словарь вещественных время-частотных атомов определяется выражением . Поиск соответствия, выполненный с данным словарем, разлагает любой вещественный сигнал  в ряд:

,                                                            (20)

где индексы  выбираются для наилучшего соответствия остаткам . Для любого  вещественные атомы связаны с комплексными атомами следующим выражением:

, где .                               (21)

Время-частотное распределение энергии вещественного сигнала  получается из ВПС-разложения при суммировании распределений Вигнера комплексных атомов:

.                                              (22)

При подстановке в это выражение уравнения (15) получим

      .   (23)

Это распределение также удовлетворяет характеристике  как плотности энергии (16).

Данное энергетическое распределение используется для визуализации итоговой сигнальной информации [1,3] в автоматизированной системе управления смесеприготовительным агрегатом.

Анализ таких время-частотных отображений материалопотоковых сигналов и идентификация параметров их элементов, определяющих характер текущих режимов, позволяет формировать управляющие воздействия, корректирующие режим работы дозирующего оборудования.

Литература

1.   Федосенков, Б.А. Управление смесеприготовительным агрегатом на базе вейвлет-преобразований / Б.А. Федосенков, А.С. Назимов, А.В. Шебуков // Автоматизация и современные технологии. Автоматизация научно-иссле­дова­тельских и производственных процессов. – 2004. – №8. – C. 7–13.

2.   Cohen, L. Time-frequency distributions – A review / L. Cohen // Proc. IEEE. – 1989. – Vol. 77, № 7. – P. 941-981.

3.   Использование технологии вейвлет-мониторирования как средства управления динамикой стационарных и нестационарных процессов/ К.А.Дацук, Карнадуд Е.Н.,Д.Б.Федосенков и др.// Сборник трудов 9-й межд. научно-практической конф. «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», 22-23.04.2010, Санкт-Петербург, Россия.- Том № 3.- стр. 256-258.