Директивы синтеза регуляторов в системе MATLAB[1]
А.Г. Александров,
в.н.с., д.ф.-м.н., проф., alex7@ipu.rssi.ru,
ИПУ РАН, г. Москва,
Л.С. Михайлова,
к.т.н., доц., lsmixx@rambler.ru,
И.А. Палкин,
Д.В. Шатов,
ГОУ ВПО «ЭПИ МИСиС», г. Электрсталь
В докладе приводится
описание директив синтеза регуляторов линейных многомерных систем из условия
обеспечения заданной установившейся ошибки.
Приводится постановка задачи и перечень основных модулей, из которых
строятся данные директивы. Под директивой мы понимает программу, состоящую из
интерфейсной и расчетной части, предназначенную для решения определенного класс
задач синтеза систем управления.
The
directives for controller design for linear MIMO plants is described. The
purpose of control is to provide the
given tolerance on steady-state errors. The problem statement and description
of some modules of these directives are given. A directive is the program
intended for solution of determined class of problem of control system design.
Directive includes interface and calculation parts and it is intended for
engineers-developers of control system.
Введение
Качество
функционирования реальной системы автоматического управления (САУ) удобно
описывать техническими показателями, такими как установившаяся ошибка, максимум
перерегулирования, время регулирования по каждой регулируемой переменной.
Пакет
директив для синтеза регуляторов, описываемый в докладе, предназначен для
синтеза регуляторов линейных многомерных систем из условия обеспечения заданной
установившейся ошибки. Пакет разработан в среде MATLAB и предназначен, прежде
всего, для инженеров-разработчиков САУ. Это достигается за счет организации
пакета в виде набора директив. Директива – это программа, которая может решать
достаточно сложную задачу разработки САУ, например, идентификация объекта
управления, построение регулятора и т.д. Каждая директива состоит из
интерфейсной части, обеспечивающий ввод и вывод данных в удобном для пользователя
формате, и расчетной части. В этом состоит ключевое отличие от привычного
способа организации тулбуксов MATLAB для синтеза САУ [1]
Первоначально алгоритмы пакета [3] были реализованы в системе ГАММА-1РС [2].
Параллельно ведется работа по реализации данных алгоритмов в системе ГАММА-3
[4], которая, в отличие от предыдущих версий системы, обладает развитым языком
разработки директив.
1. Постановка задачи точного управления
Рассмотрим асимптотически
устойчивую систему управления:
|
|
(1) (2) |
где 
--- вектор состояний объекта;
--- вектор управлений;
-- вектор измеряемых переменных; 
--- вектор внешних возмущений; 
--- известные матрицы чисел соответствующих размеров, 
--- вектор
регулируемых переменных, 
--- вектор состояний регулятора, 
--- матрицы чисел соответствующих размеров.
Пусть
компоненты вектора возмущений, представлены в виде
|
|
(3) |
где амплитуды
и частоты произвольные числа такие, что
|
|
(4) |
где 
-- заданные числа
(границы внешних возмущений).
Установившиеся
значения регулируемых переменных
|
|
(5) |
Будем
говорить, что регулятор (2) обеспечивает точное управление в установившемся
режиме (или, для сокращения, точное управление), если
|
|
(6) |
где 
-- заданные числа
(границы внешних возмущений).
Кроме
того, при достижении цели (6) должны выполняться ограничения
|
|
(7) |
где
— заданные числа.
Пакет
предназначен для нахождения матриц регулятора (2), при которых достигается цель
управления (6) для объекта (1)
Дифференциальные
уравнения объекта вводятся в произвольной форме. Наиболее общей является
следующая форма Лагранжа:
|
|
(8) |
где s — символ
дифференцирования, либо символ преобразования по Лапласу при нулевых начальных
условиях, 
— матрицы чисел, q —
вектор промежуточных переменных. Эти уравнения приводятся к форме (1)
пространства состояний и расчетные части директив используют уравнения в форме
(1). Приведение уравнений выполняется функцией lagrca.
2. Директивы синтеза регуляторов
Директивы
синтеза отличаются видами уравнений объекта.
2.1 Директива 441: Точное управление объектом первого
вида.
Объект
первого вида описывается уравнениями:
|
|
(9) |
Цель управления (7) достигается
управлением
|
|
(10) |
минимизирующем функционал
|
|
(11) |
Директива
содержит функции care и lsim.
-- решение уравнения
Риккати, где 
Здесь
и далее в описании функций часть входов и выходов опущена.
2.2 Директива 442: Точное управление объектом второго вида
Объект
второго вида описывается уравнениями:
|
|
(12) |
Кроме
того, он должен быть минимально фазовым. Это означает что, если записать
уравнение объекта (12) в форме «вход-выход» (при 
),
то получим уравнение:
|
|
(13) |
где корни полинома
имеют отрицательные вещественные
части.
Введя
управление и приводя уравнение к форме Коши, получим, используя директиву
441, управление.
|
|
(14) |
Если
регулятор не реализуем, то функционал (11) дополняется квадратами производных
управлений так, чтобы управление (14) приводилось к форме Коши (10). Это
приводит к существенному усложнению директивы. Описание в этом случае опущено.
Директивы
441 и 442 обеспечивают выполнение требований к радиусу запасов устойчивости
|
|
(15) |
где 
— наименьшее
положительное число, при котором
выполняется неравенство
|
|
(16) |
Директива состоит из функций
2.3 Директива 443: Управление объектом общего вида
Объект
общего вида описывается уравнениями (1). Эта директива основана на функции hinfric, в которой матрица 
задается соотношением
(11). В этом случае для установившихся ошибок выполняется неравенство.
|
|
(17) |
где 
вычисляется функцией hinfric.
Заметим,
что директива 441 и 442 обеспечивают достижение цели управления (6) при любых
заданных значениях. В директиве 443 эти значения должны удовлетворять неравенству
(17). Кроме того, могут нарушаться требования (15) к запасам устойчивости
системы.
3. Структура директивы 442
Директива
442: точное управление объектов второго вида является базовой директивой
пакета. Рассмотрим подробнее ее структуру.
Этапы
директивы синтеза точного управления:
1. Приведение моделей объекта управления
и измерительного устройства к форме Коши.
2. Анализ наблюдаемости модели объекта
управления. (Если объект не полностью наблюдаем, то вычисления останавливаются).
3. Анализ управляемости модели объекта
управления. (Если объект не полностью управляем, то вычисления останавливаются).
4. Приведение модели объекта управления к
форме "вход-выход"
|
|
(18) |
где
полиномиальные матрицы
|
|
(19) |
5. Анализ корней λi полинома det
T2(s).
6. Формирование модели объекта управления
с "условными" управляющими и возмущающими воздействиями.
7. Формирование коэффициентов функционала
оптимизации на основе "условных" возмущающих воздействий.
|
|
(20) |
8. Приведение модели объекта управления в
форме "вход-выход" с "условными" управляющими и возмущающими
воздействиями к канонической форме Коши.
9. Определение прогнозируемой обобщенной
частоты среза из неравенства
|
|
(21) |
10. Анализ выполнения условий структурной
грубости.
11. Преобразование функционала оптимизации
из формы по регулируемым переменным в форму по переменным состояния объекта
управления.
|
|
(22) |
12. Формирование функционала оптимизации
из условия реализуемости регулятора:
|
|
(23) |
13. Формирование модели объекта управления
в расширенной форме Коши и преобразование функционала оптимизации
|
Алгоритм
вычисления матриц расширенной формы Коши приведен в [3] |
(24) |
, 
14. Решение уравнения Риккати
|
|
(25) |
и
формирование
|
|
(26) |
15. Формирование модели управляющего
устройства в форме "вход-выход" с учетом "условных" управляющих
воздействий и канонических переменных объекта управления:
|
|
(27) |
16. Анализ динамики САУ
Литература
1.
В. С. Медведев, В. Г. Потемкин, Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов, М.: Диалог-МИФИ, 288 с.
2.
Александров А.Г., Панин С.Ю. Система
ГАММА-1РС для синтеза регуляторов многомерных систем // Автоматизация в
промышленности, 2003, №3
3.
Александров А.Г. Синтез регуляторов
многомерных систем. М.: Машиностроение, 1986, 272с.
4.
А.Г.Александров, М.Ф.Степанов, Л.С.Михайлова. Система ГАММА –
интегрированная среда проектирования систем управления, Труды 9-й международной конференции «Проектирования, технологической подготовки
производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта
(CAD/CAM/PDM – 2009)» М.: Институт Проблем Управления РАН. –2009, ISBN 978-5-91450-047-1, с.141-144