Модель оптимизации периодичности технического обслуживания по максимуму средней удельной прибыли

В.П.Полетаев,

Д.А.Богданов,

О.В. Левыкина
Вологодский государственный технический университет,
danger@mh.vstu.edu.ru, г. Вологда

Аннотация

Предложена модель оптимизации управления периодичностью обслуживания объектов. В качестве критерия оптимальности рассмотрена средняя удельная прибыль, получаемая за единицу времени использования объекта. Приведены расчетные уравнения, положенные в основу программного модуля информационной поддержки.

Abstract

The model of optimisation of management is offered by periodicity of service of objects. As criterion of an optimality the average specific profit received for a time unit of use of object is considered. The settlement equations taken as a principle of the program module of information support are resulted.

К числу актуальных проблем, решаемых в рамках разработки общей стратегии интегрированной логистической поддержки эксплуатируемых изделий, относится управление техническим обслуживанием и ремонтом. Для практической реализации задачи в среде информационной поддержки необходимы алгоритмы расчета, базирующиеся на адекватных математических моделях реальных процессов, протекающих при эксплуатации.

Интегрированная логистическая поддержка ориентирована на сокращение и оптимизацию затрат на постпроизводственных стадиях жизненного цикла, поэтому для большинства изделий гражданского назначения в качестве одного критериев длительности интервала между плановыми обслуживаниями целесообразно использовать показатель, отражающий эффективность эксплуатации. Таким показателем является средняя удельная прибыль, получаемая за единицу времени использования объекта.

В настоящей работе предложена модель управления периодичностью обслуживания объектов, у которых возможно появление скрытых отказов, обнаруживаемых только при специальной проверке состояния.

Можно показать, что для определения средней удельной прибыли, отражающей рентабельность объекта, справедливо выражение:

, (1)

где - коэффициент технического использования; - прибыль, получаемая за единицу времени работы объекта; - средние удельные затраты на единицу времени работы.

В свою очередь коэффициент технического использования определяется как:

, (2)

где - периодичность обслуживания объекта с целью выявления скрытого отказа; - функция распределения времени работы без скрытых отказов; - вероятность работы без скрытых отказов (функция надежности); - среднее время, затраченное на проверку состояния объекта; - средняя длительность планово-аварийного обслуживания, включающего проверку состояния и последующее восстановление работоспособности.

Средние удельные затраты с учетом (2) определяются как:

, (3)

где - потери за единицу времени, проведенного в состоянии скрытого отказа; - потери за единицу времени при проведении планово-аварийного обслуживания; - потери за единицу времени при проведении периодического обслуживания.

Длительность интервала между обслуживаниями, соответствующего максимуму , определяется из равенства 0 производной:

. (4)

Найдем вторую производную:

.

Учитывая равенство , вытекающее из равенства 0 первой производной, вторую производную можем преобразовать к виду:

.

Как показывают исследования, функция является выпуклой на очень большом промежутке времени, функция является вогнутой при любом времени, значит , .

Учитывая это, а также то, что и , вторая производная в точке экстремума отрицательна, значит, этот экстремум является максимумом.

Выведем уравнение для определения периодичности обслуживания, преобразовав выражение для к виду:

=

=

.

Тогда выражение для будет иметь вид:

, (5)

где .

Введем вспомогательные обозначения . Тогда уравнение (5) можно представить в виде:

. (6)

Используя (6), получим уравнение для нахождения оптимальной периодичности обслуживания по максимуму .

Как известно, производная в точке экстремума должна равняться 0, это условие приведет нас к следующему равенству:

.

После несложных преобразований получим уравнение:

Разделив обе части полученного равенства на и возвратившись к исходным обозначениям, получим конечное уравнение:

. (7)

Таким образом, получено аналитическое выражение, позволяющее найти оптимальный результат, исходя из экономической эффективности эксплуатации.