Методика формализованного целенаправленного синтеза (проектирования) пассивных нулевых измерительных цепей переменного тока

Ю.Р. Агамалов,
 гл. н. с., д.т.н.
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, е-mail: agamalov@ipu.rssi.ru, г. Москва

Аннотация

Рассмотрена процедура формализованного целенаправленного синтеза (проектирования) пассивных нулевых измерительных цепей переменного тока, основанная на дескриптивном логико-алгебраическом подходе к их анализу и синтезу и позволяющая получить с помощью обобщенных уравнений связи между параметрами цепи и измеряемого иммитанса все возможные конфигурации проектируемой цепи с учетом ограничений, связанных с требованиями к ее технической реализации.

 

Abstract

The formalized aim streamed procedure of a.c. passive balanced measurement circuits synthesis (designing), based on the descriptive logical - algebraic approach to their analysis and sinthethis and permitting to derive all possible configurations of designing circuit with the help of generalized relations between the parameters of the measured immitance and the circuit taking into account limitations concerned with the requirements to its technical realization is considered.

1. Введение

Нулевые (уравновешиваемые) измерительные цепи (НИЦ) и построенные на их основе приборы являются наиболее точными средствами измерений (СИ), находящими широкое применение в измерительной и других областях техники. Благодаря широким функциональным и исключительно высоким метрологическим возможностям, а также простоте реализации в лабораторных условиях, данные СИ являются эффективным средством научных исследований. При этом важны как автоматические, так и ручные СИ, построенные на основе НИЦ. Теории и синтезу НИЦ посвящено много работ [1‑3] и др., однако их проектирование остается весьма трудоемкой процедурой, связанной с перебором и анализом многочисленных вариантов отдельных конфигураций структур и уравнений равновесия НИЦ.

В докладе решается задача максимального сокращения числа таких вариантов и упрощения их анализа, а также формализации процедуры синтеза НИЦ, что особенно важно в связи с развитием САПР. Однако и при сугубо эвристическом проектировании СИ на таких цепях применение предлагаемой методики тоже весьма эффективно, поскольку разработчик получает средство проектирования, с одной стороны существенно сокращающее время разработки, а с другой, что не менее важно, гарантирующее получение правильного и к тому же оптимального технического решения.

Идея методики заключается в том, что согласно ей сначала производится математическое описание (кодирование) условий задачи измерения и требований к технической реализации НИЦ, которое затем по формальным правилам трансформируется в описание структурных и параметрических особенностей синтезируемого множества НИЦ, позволяющих решить поставленную измерительную задачу. Результатом применения методики помимо множества конфигураций НИЦ, удовлетворяющих предъявляемым к проектируемой цепи требованиям, являются также формулы отсчета значений измеряемых с помощью этих НИЦ параметров объекта измерения (ОИ).

2. Общая характеристика и описание методики

Как было отмечено выше, в основу методики положен дескриптивный (описательный) подход к анализу и синтезу НИЦ [4,5]. С его помощью, используя булевы функции, составляют описание ОИ, множества всех измерительных цепей одного и того же класса (а именно, мостовых или компенсационных), а также ограничений, связанных с требованиями к технической реализации проектируемой цепи. Это описание, по сути выступающее в виде исходного кода, с помощью формальной процедуры преобразуют в описание проектируемой цепи, являющееся конкретизацией исходного кода и несущее информацию о множестве цепей, удовлетворяющих предъявляемым к проектируемой цепи требованиям. Остановимся сначала на этом подходе, после чего перейдем к процедуре синтеза.

2.1. Дескриптивный логико-алгебраический подход

Согласно данному подходу иммитанс двухэлементного двухполюсника Дs(p) (буквы s и p означают последовательное или параллельное включение элементов) представляется (описывается) с помощью двузначных функций, принимающих значения - 1, 1 или 0, 1. При этом импедансы и и адмитансы и :

                                       

                               

двухполюсников, показанных на рис.1 соответственно с последовательным и параллельным включением элементов:

        

а)                                        б)

рис.1   Двухэлементные двухполюсники                       рис. 2   Структуры мостовых цепей

                                                                            записываются обобщенно в виде иммитансов:

                                                                              ,                                                         (1)

где ai, bi –булевы функции (ai, bi =-1, 1). При этом функция ai содержит информацию о структуре двухполюсника.

                                                (2)

Входящая в (1) функция Hi(bi) служит для обобщенной записи реактивных составляющих иммитанса Xi :

                                      (3)

Постоянные времени двухполюсника ti также представляются в обобщенном виде:

                                                 (4)

Для представления в обобщенном виде уравнения равновесия НИЦ используется алгебраическая форма записи дизъюнкции C=AÚB как мультипликативной степенной функции с показателями степени в виде булевых функций:

    

Кроме этого (в случае компенсационных цепей) используется также обобщение активных комплексных величин (токов I и напряжений U): W=UÚI, где символом W обозначен обобщенный источник активной величины. При этом:

                                                   

2.2. Процедура синтеза

Процедура синтеза начинается с рассмотрения обобщенных уравнений связи между параметрами ОИ и НИЦ [4,5], полученных на основе дескриптивного логико – алгебраического подхода из уравнений равновесия этих цепей.

Учет уравнений связи между параметрами . В обобщенном виде они представляют собой следующие выражения:

- в случае четырехплечих мостовых цепей на трехэлементных цепочках [5]:

                            (5)

где ,,,... – параметры обобщенной МИЦ, основные разновидности структуры которой показаны на рис. 2, и

- в случае пассивных прямоугольно-координатных компенсационных цепей в режиме измерения иммитанса [4]:

(6)

где ,,...,,..., ‑ двузначные параметры обобщенной КИЦ, показанной на рис. 3:  

 

рис. 3.   Обобщенная компенсационная цепь

Множества этих параметров полностью определяют НИЦ, а поскольку они являются булевыми функциями, то их можно рассматривать как коды этих цепей. Для удобства рассмотрения эти параметры можно пронумеровать, положив; =, =,.., и представить множества {}, где , уже как множества проекций некого вектора в пространстве, где функции  являются осями координат. При этом каждому вектору данного пространства можно поставить в соответствие одну из возможных конфигураций НИЦ. И если число параметров равно I, то число векторов, а, следовательно.  и конфигураций НИЦ, с учетом двузначности функций li будет равно 2I.

Решение задачи синтеза начинается с фиксации характеризующих ОИ и НИЦ значений (булевых) функций li. Затем производится учет ограничений, связанных с требованиями к технической реализации НИЦ, а заканчивается процедура синтеза декодированием значений этих функций, как фиксированных, так и нефиксированных. Если последних нет, то конфигурация искомой цепи единственна, а если требования к ее реализации противоречивы, т.е. приводят к разным значениям одного и того же параметра , то задача синтеза не имеет решения.

Учет и формализация требований к реализации НИЦ являются заключительным этапом синтеза. Требования к реализации этих цепей обычно связаны с необходимостью получения заданных значений погрешностей измерения, пределов изменения измеряемых параметров, диапазонов рабочих частот, быстродействия и максимальной надежности в сочетании с рациональной технической реализацией. Учет этих требовании рассмотрим на примерах приложения методики к МИЦ и КИЦ, но основное внимание будет уделено МИЦ как наиболее сложному случаю.

3. Приложение методики к мостовым и компенсационным цепям

3.1. Случай мостовых цепей

Уравнения связи между параметрами. Эти уравнения выводятся из уравнения равновесия этих цепей:

                                                          (7)

где черта под буквами означает некомплексный характер величин. Плечо с измеряемым иммитансом X не нумеруется. МИЦ имеет две конфигурации, различающиеся расположением комплексных и некомплексных плеч, изображенных на рис.2 соответственно в виде широких и узких прямоугольников.

Приведенные выше уравнения связи параметров ОИ и МИЦ (5), полученные из уравнения равновесия (7), помимо булевых функций содержат параметр K0, являющийся сомножителем коэффициента K, входящего в (7):

                                          (8)

где ax, bx, rR, rH, rt, g = -1, 1, x*, c2* = 0,1, причем, согласно (3) Hk(n) являются функциями bk(n), а

             (9)

Измеряемые параметры (Px) делятся на абсолютные (RхrR и HхrH) и относительные (tхrt). Один из измеряемых параметров, тот, по которому осуществляется выбор поддиапазона измерения иммитанса ОИ, называется главным (Pxгл), а другой – дополнительным (Pxд). При этом относительный параметр выступает в качестве дополнительного.

Отсчет значений Pxгл и Pxд осуществляется по значениям регулируемых параметров (Pr). При этом должно соблюдаться условие раздельного отсчета измеряемых параметров: регулируемые параметры не должны присутствовать в обоих соотношениях, связывающих согласно (5) измеряемые и регулируемые параметры.

Если оба измеряемых параметра являются абсолютными, т.е.  и , то из (5) имеем:

                                        (10)

Если один из измеряемых параметров является относительным, то имеют место следующие соотношения:

                                                                (11)

Информация, связанная с булевыми функциями. Введенные булевы функции в зависимости от того, какую роль они играют в процессе синтеза, делятся на две части: на функции, значения которых задаются изначально, – это ax, bx, rR, rH, rt, и функции, значения которых получаются в процессе синтеза, – это g, x*, c2*, b2, bk, bn.

Функции ax и bx вместе с функциями rR, rH, rt, отражающими возможность измерения обратных значений параметров иммитанса ОИ, прежде всего, характеризуют задачу измерения, а именно, измеряемые параметры и структуру ОИ. При этом из (1) и (3) следует, что ax и bx идентифицируют плечо, содержащее ОИ: ax характеризует его структуру согласно (2), а bx отражает характер его реактивной составляющей Hх = Lx Ú Cx. Кроме того они также несут информацию и о комплексном плече ветви сравнения, т. е. об иммитансе Xk, поскольку согласно [5]

                                                                                                                       (12)

Функция g несет информацию о расположении плеч МИЦ: если комплексные плечи находятся рядом (рис. 2а), то g = 1, а если нет (рис. 2б), то g = –1. При этом, если эти плечи находятся рядом друг с другом, то структуры их совпадают, а если нет, то они разнохарактерны. Математически это выражается в виде соотношения: (12).

Функция x* связывает измеряемые параметры и регулируемые. От выбора Pr, и особенно Prгл, могут зависеть точность и рациональность технической реализации МИЦ.

Функция ci*, где  согласно [5] отражает характер некомплексных плеч: если ci* = 0, то плечо является реактивным сопротивлением (проводимостью), а если ci* = 1, то – активным, т. е. иммитанс i - го плеча имеет вид:

                                                                                        (13)

В приведенных выше выражениях фигурирует лишь функция c2*. Поэтому при синтезе нужно учитывать, что

                                                                 

Формализация требований к реализации МИЦ. Данные требования трансформируются в условия, связывающие параметры ОИ и плеч МИЦ, а также в ограничения, накладываемые, например, на конфигурацию МИЦ либо на выбор мер, или рабочих эталонов (РЭ). Анализ и формализация этих требований были произведены в работах [5,6]. Ниже приводятся основные результаты этого анализа.

Требование максимальной точности измерения приводит к ограничению на РЭ: в качестве их исключается применение нестабильных и низкодобротных мер индуктивности, что требует выполнения следующих условий:

                                                                    и      (14)

Требование получения заданных пределов измерения главного параметра ОИ приводит к выбору в качестве органа выбора поддиапазона второго плеча МИЦ, а его параметра  – в качестве регулируемого:

                                                                           ,            (15)

Требование максимального диапазона частот эквивалентно инвариантности чувствительности Pxгл к частоте:

                                                                      (16)

Требования высокого быстродействия и надежности приводят к необходимости применения в органах уравновешивания МИЦ бесконтактных (нуждающихся в привязке к «земле») токопереключающих ключей [6]. Это, в свою очередь, трансформируется в требование параллельности коммутируемых элементов плеч ветви сравнения, т.е. в требование того, чтоб регулируемые параметры были проводимостями, что эквивалентно условию:

                                                                                                       (17)

Требование рациональности реализации МИЦ может быть связано, например, в лабораторных условиях, с использованием в качестве РЭ имеющихся магазинов емкости и сопротивления. При проектировании цифровых многофункциональных мостов переменного тока оно выливается в условие использования во всех конфигурациях одних и тех же органов уравновешивания, для чего в уравнениях, связывающих измеряемые и регулируемые параметры синтезируемых МИЦ должны присутствовать одни и те же регулируемые параметры, например, емкости и активные проводимости. Математически это выражается в виде соотношений:

                    (18)

Пример. Рассмотрим задачу синтеза высокоточной быстродействующей МИЦ для измерения двух абсолютных параметров ОИ с параллельной схемой замещения: емкости, как главного параметра, и проводимости.

Формулирование задачи измерения. В этом случае исходными данными являются: ax = bx = rR = –1, rH = 1,, Pxгл = Hx = Cx и Pxд = Rx ‑1и условия: (14), отражающее возможность применения лишь емкостных РЭ, согласно которому bk = -1, а также (18), согласно которому регулируемые параметры должны быть проводимостями.

Преобразование характеризующих задачу измерения функций в значения функций g, x*, c2*, n, k, ak и bk. Согласно [6]: g = - ax = 1, а из (17) имеем: x* = (1 - axbx)/2 = 0. Из (16) и (9) следует, что c2* = (1+bx)/2 = 0 и n = 3, k = 4.

Перевод значений функций ax, bx, g, x*, c2*, n, k, ak, b,  а также rH, rR в конфигурацию МИЦ. Условие g = 1 говорит о том, что структура МИЦ должна соответствовать рис. 2а, а с учетом того, что Дx = Дp и согласно (12) ak = gax = –1 получим, что Дk = Дp, т.е. комплексное плечо является параллельной цепочкой вида рис.1г. Из (15) и (9) имеем:  и , откуда согласно (8) Ko = C2C4. Из (13) следует, что второе плечо синтезируемой МИЦ является дискретно регулируемой емкостью, а четвертое – постоянной емкостью. При этом отсчет значений измеряемых параметров в соответствии с (10), (3), (8) и полученными значениями булевых функций должен производиться по параметрам Pr1 = Hk = C4 и Pr2 = Rk-1 = R4–1. Схема синтезированной цепи приведена на рис. 4.

Формирование уравнений связи между измеряемыми и регулируемыми параметрами. Подставив значения булевых функций и Ko в (5), получим искомые уравнения в следующем виде:

 

                                

                                                      рис.4   Схема синтезированной МИЦ                                                   рис.5   Схема синтезированной КИЦ

3.2. Случай компенсационных цепей

Данные цепи в отличие от МИЦ широко применяются для измерения и активных, и пассивных комплексных величин. Здесь кратко рассматриваются пассивные прямоугольно-координатные КИЦ, предназначенные для измерения параметров иммитанса X, а также активных комплексных величин (напряжений и токов). Обобщенная функциональная схема таких КИЦ приведена на рис. 3. В отличие от мостовых цепей у КИЦ зависимость между регулируемыми величинами и составляющими компенсирующей активной величины линейная. Поэтому данные цепи построены на делителях напряжений и токов.

Уравнения связи между параметрами. Условием баланса КИЦ служит равенство значений сигналов Wx* и Wk*:

,

откуда следует основное уравнение, связывающее параметры ОИ и КИЦ:

                                       ,               (19)

а также уравнения связи (6), разрешенные относительно измеряемых параметров иммитанса ,  и .

Из уравнений связи параметров ОИ и КИЦ (6) видно, что раздельный отсчет значений измеряемых параметров, как и в случае МИЦ, может производиться лишь по тем регулируемым параметрам, которые не входят одновременно в пары уравнений (6), так как в противном случае отсчеты значений измеряемых параметров будут зависимы.

Заметим, что из (19) также следует, что в непрерывном диапазоне рабочих частот Hх и Ho должны иметь одинаковый характер. Последнее нужно учитывать при реализации регулируемых параметров:  и .

Информация, связанная с булевыми функциями. В случае КИЦ, как видно из сравнения выражений (5) и (6), картина с булевыми функциями существенно проще, поскольку из (19) следуют равенства: ao=ax, bo=bx. Поэтому для определения структуры КИЦ достаточна информация, связанная лишь с функциями ax, bx и rH, rR, rt.

Формализация требований к реализации КИЦ. В случае измерения пассивных ОИ требования к реализации КИЦ аналогичны требованиям в случае МИЦ. Поэтому здесь выделим лишь наиболее существенные, а именно, связанные с применением РЭ, т.е. c возможностью применения в случае СИ повышенной точности лишь емкостных мер, а также связанные с реализацией делителей напряжений и токов (параметры kWx, kWk, kRe, kIm). Не останавливаясь на деталях, отметим, что для формализации их выбора необходимо ввести набор (множество) булевых функций {kpi}, связанных с характеристиками реализующих эти параметры узлов (делителей) и выступающих в виде показателей степени данных параметров: включению в цепь узла, реализующего конкретный (i - ый) параметр, будет соответствовать значение kpi = 1. То же самое относится и к выбору компаратора. Иными словами, нужны базы данных о реализующих КИЦ узлах, организованные адекватно методике. Считая эти базы данных имеющимися у разработчика, рассмотрим примеры приложения методики к пассивным и активным ОИ.

Пример цепи с пассивным ОИ. Пусть требуется синтезировать высокоточную быстродействующую (пассивную) КИЦ для измерения емкостного ОИ с параллельной схемой замещения, работающую в непрерывном диапазоне частот. Измеряться должны емкость и проводимость. Согласно методике это означает, что ax = ‑1, bx = ‑1. С точки зрения структуры КИЦ это требует выполнения ReXk и ImXk в виде РЭ емкости и активной проводимости (сопротивления). Условие высокого быстродействия требует применения бесконтактных ключей, а требование высокой точности измерения приводит к выбору в качестве делителей активных величин индуктивных делителей напряжения. Синтезированная КИЦ, удовлетворяющая предъявленным к ней требованиям, приведена на рис. 5.

Пример цепи с активным ОИ. На обобщенной схеме КИЦ в этом случае состояние ключа должно быть изменено. Пусть требуется синтезировать прецизионную быстродействующую цепь для измерения действительной и мнимой составляющих переменного напряжения. В этом случае, как и в предыдущем примере, нужно использовать в качестве реактивной меры емкость, а в качестве делителей индуктивные делители напряжения. В качестве компаратора должен быть использован тоже дифференциальный трансформатор. В результате получится цепь, работающая лишь на фиксированной частоте и совпадающая по структуре с компенсационной частью цепи из предыдущего примера и поэтому совмещена с ней на рис. 5, который представляет собой комбинированную КИЦ.

4. Заключение

Предлагаемая методика, как видно из приведенных примеров, достаточно проста в реализации. Синтез НИЦ фактически превращен в рутинную процедуру, чисто формально с помощью математических выражений учитывающую как задачу измерения, так и предъявляемые к синтезируемым НИЦ требования, связанные с их реализацией. По сути происходит сначала кодирование условий задачи измерения и требований к реализации НИЦ, а затем декодирование их в конкретную(ые) конфигурацию(ии) цепи. При этом одновременно с конфигурацией цепи выводятся формулы отсчета значений измеряемых параметров, что присуще только данной методике. Все это позволяет проектировщику получать оптимальные конфигурации НИЦ без углубления в теорию проектируемых цепей. А при реализации методики в САПР синтез может быть доведен до автоматизма. Важно и то, что методика в случае МИЦ дает полное множество конфигураций цепей, т.е. иных не существует, что избавляет проектировщика от поиска не существующих цепей. Случай КИЦ является примером распространения методики на цепи для измерения активных величин. При этом возникает задача разработки базы данных об узлах НИЦ, что является предметом дальнейших исследований. Общность лежащего в основе методики подхода позволяет говорить о возможности ее приложения и к другим объектам проектирования, в том числе не связанным только с измерениями.

Литература

1.     Карандеев К.Б., Штамбергер Г.А. Обобщенная теория мостовых цепей переменного тока.– Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1961.

2.     Кнеллер В.Ю. Основы обобщенного анализа и синтеза измерительных цепей с уравновешиванием// Приборы и системы управления. – №3, 1974. – С. 14–18.

3.     Алиев Т.М., Мелик-Шахназаров А.М., Шайн И.Л. Автокомпенсационные измерительные устройства переменного  тока.- М.: Энергия, 1977.- 360с.

4.     Агамалов Ю.Р. О логико-математическом подходе к анализу цепей переменного тока и приложении его к пассивным компенсационным цепям для измерения параметров иммитанса// Измерительная техника. – 2003. – №7. – 11–13.

5.     Агамалов Ю.Р. Обобщенный анализ пассивных четырехплечих мостовых цепей переменного тока на основе дескриптивного логико-математическом подхода// Измерительная техника.- 2003.- №9.-12-19.

6.     Агамалов Ю.Р. Формализация синтеза пассивных четырехплечих мостовых цепей переменного тока на основе дескриптивного логико-математического подхода// Измерительная техника.– 2008.– №10.– С.18 – 23.