Разработка методики расчёта лучистого теплообмена в радиационных

экранах космической обсерватории

А.Ю. Шаенко,
аспирант,
ФИАН, ark4110@gmail.com, г. Москва

При проектировании системы радиационного охлаждения рефлектора космической обсерватории необходимо последовательно решать две связанные задачи:

- рассчитывать деформированное состояние экранов,

- рассчитывать распределение радиационных тепловых потоков в деформированной конструкции.

Решение указанных задач позволяет производить объективные оценки различных вариантов конструкции радиационных экранов и выбирать из них рациональный.

Первая задача в настоящее время успешно решается широко распространенными комплексами конечно-элементного анализа. Одним из таких комплексов является ABAQUS. Решение второй задачи такими комплексами невозможно и требует разработки специализированного программного средства.

Входными данными для расчета радиационного теплообмена являются результаты расчета деформированного состояния экранов, теплофизические и термооптические свойства материалов, а также исходное тепловое поле в конструкции и внешние тепловые потоки. Выходные данные - тепловые потоки и температурные поля в конструкции.

При расчете радиационного теплообмена принимаются следующие допущения:

- все тела – серые,

- отсутствует конвективный теплообмен,

- теплофизические свойства материалов зависят от температуры,

- термооптические свойства поверхностей зависят от температуры и длины волны падающего излучения,

- излучение взаимодействует с материалом посредством отражения (зеркального и диффузного), поглощения и преломления.

Радиационный теплообмен между поверхностями, заданными набором конечных элементов, характеризуется матрицей радиационного теплообмена, расчет которой производится методом Монте-Карло с использованием библиотеки трехмерной графики OpenGL.

Ключевые слова: космический телескоп, радиационный теплообмен, OpenGL, метод Монте-Карло.

Введение

Приемная аппаратура современных и перспективных космических телескопов охлаждается до низких криогенных температур для снижения уровня собственных шумов. Обычно охлаждение выполняется в два этапа: пассивное охлаждение с помощью радиационных экранов и последующее активное охлаждение до рабочей температуры с использованием криомашин. На современных космических обсерваториях и в перспективных проектах реализовано множество вариантов исполнения как системы охлаждении в целом, так и радиационных экранов. В каждом конкретном случае выбор того или иного варианта производится на основе предварительно проведенного теплового проектирования.

Следует отметить, что рефлекторы перспективных обсерваторий будут настолько велики, что для размещения их под обтекателями ракет-носителей потребуется предусмотреть их укладку на Земле в компактное транспортное положение и раскрытие в рабочее положение после выведения. Естественно, что экраны, защищающие такие конструкции, так же должны проектироваться раскрывающимися.

Радиационные экраны, как правило, представляют собой несколько слоев тонкой металлизированной пленки, соединенной с раскрывающимся каркасом. Под действием усилий, приходящих с каркаса, отклонений механических характеристик от номинальных значений и тепловой нагрузки исходная форма экранов искажается, что приводит к изменению их теплоизоляционных свойств.

Поэтому перед расчетом собственно радиационного теплообмена необходимо определить действительную форму экранов.

1. Расчет деформированного состояния экранов

Проблема определения деформированного состояния тонких пленок под действием механических и тепловых нагрузок с учетом потери устойчивости в настоящее время успешно решается с помощью широко распространенных коммерческих средств конечно-элементного моделирования. Ряд авторов решил эту задачу с использованием программного комплекса ABAQUS [1],[2],[3], получив при этом результаты, с приемлемой для практики точностью совпадающие с экспериментом.

2. Постановка задачи расчета радиационного теплообмена

Разрабатываемая методика расчета использует в качестве входных данных предварительно рассчитанную форму отражающих поверхностей экранов и данные о теплофизических и термооптических свойствах материалов. Ранее проведенные исследования [4] показали, что при расчете требуется учитывать зависимость теплофизических свойств от температуры и термооптических – от температуры и длины волны подающего излучения. Кроме того, требование повышения точности расчетов радиационного теплообмена вынуждает учитывать все виды взаимодействия излучения с поверхностями экранов: зеркальное и диффузное отражение, поглощение и преломление. Спектры излучения поверхностей с достаточно хорошей точностью можно определить, предположив, что излучающие тела - серые. В условиях космического пространства конвективным теплообменом между экранами можно пренебречь и учитывать, помимо радиационного теплообмена, только теплопроводность между элементами конструкции.

С учетом указанных условий математическую задачу определения температурного поля в конструкции с учетом радиационного теплообмена и теплопроводности можно сформулировать в виде уравнения теплопроводности с коэффициентами, зависящими от температуры, и радиационными граничными условиями. Радиационный теплообмен в такой постановке учитывается с помощью специальной функции, определяющей для каждой точки конструкции тепловой поток, приходящий от всей остальной конструкции. В конечно-элементной постановке функция превращается в матрицу.

Составляющие матрицы радиационного теплообмена имеют простой физический смысл - это доли энергии, попадающие с элемента на элемент посредством излучения. Отношение энергии, поглощенной в элементе конструкции, ко всей энергии, излученной выбранным элементом, и является компонентом матрицы теплообмена. Если, предположим, выбран элемент с номером N и известна доля от всей излученной этим элементом энергии, поглощенной в элементе с номером M, то известен компонент матрицы с индексами (N,M). Сумма компонентов матрицы, находящихся на N-ой строке, представляет собой долю энергии N-го элемента, поглощенной в конструкции. Сумма элементов строки для замкнутых систем (излучение которых не покидает пределы системы) представляет собой единицу. Для незамкнутых систем, в общем случае, сумма меньше или равна единицы.

3. Алгоритм расчета матрицы радиационного теплообмена методом Монте-Карло с использованием

графической библиотеки OpenGL

В настоящей работе расчет элементов строки матрицы радиационного теплообмена производится по следующему алгоритму:

1. Из выбранного элемента c номером N в случайном направлении излучается пучок фотонов со случайной длинной волны.

2. Определяется, находится ли какой-либо конечный элемент на пути распространения пучка.

3. В случае если в направлении излучения элемент отсутствует, счетчик излученных пучков увеличивается на единицу и происходит переход к первому пункту алгоритма.

4. В случае если на пути распространения пучка попадется элемент, например, с номером M, то случайным образом определяется вид взаимодействия фотонов и элемента.

5. Если пучок поглощается в элементе M, то счетчик поглощенных пучков элемента M увеличивается на единицу и происходит переход к первому шагу алгоритма.

6. Если пучок испытывает иные виды взаимодействия, то направление его распространение изменяется и происходит переход ко второму шагу алгоритма.

7. После каждого увеличения счетчика излученных пучков производится оценка точности расчета и, в случае достижения заданной точности, цикл прекращается, рассчитанная строка матрицы радиационного теплообмена заносится в память и происходит переход к следующему элементу.

Следует отметить несколько замечаний.

1. Так как различные стороны конечного элемента могут иметь различные термооптические свойства, то каждый каждой стороне конечного элемента соответствует отдельный компонент матрицы радиационного теплообмена. Поэтому излучение пучков фотонов возможно только в направлении верхней полусферы стороны элемента, если считать верхом направление внешней нормали к поверхности стороны. Отсюда же следует, что при учете преломления и при различных термооптических свойствах сторон элементов, матрица радиационного теплообмена может являться несимметричной.

2. Длина волны пучка фотонов определяется случайным образом в соответствии с кумулятивной функцией распределения длин волн спектра серого тела.

3. Вероятности взаимодействия пучка с веществом тем или иным способом равны значению соответствующих термооптических коэффициентов. Например, если поверхность имеет коэффициент отражения равный 0,6 и коэффициент поглощения равный 0,4, тогда вероятность поглощения пучка фотонов будет равна 0,4, а вероятность отражения – 0,6. Следует заметить, что сумма коэффициентов всех возможных видов взаимодействия должна быть равна единице, как с точки зрения теплофизики, так и с точки зрения теории вероятностей.

Использование генератора случайных чисел для расчета распространения пучков фотонов позволяет отнести указный метод расчета к методу Монте-Карло, описанный, например в [5].

4. Применение графической библиотеки OpenGL для определения попадания пучка фотонов в элемент

Для сложной модели, состоящей из большого количества конечных элементов, аналитически определить попадает ли пучок фотонов в какой-либо элемент и если попадает, то в какой, довольно сложно, так как для этого необходимо определять расстояния от прямой распространения луча до всех элементов конструкции. Кроме того, эти расчеты придется повторять для каждого нового акта излучения или взаимодействия пучка с веществом. К счастью, схожая задача, а именно задача определения видимости трехмерных объектов, заслоняющих друг друга, решается при построении реалистичных трехмерных изображений. В этой области в настоящее время достигнуты весьма впечатляющие результаты. Современные персональные ЭВМ способны в реальном времени строить реалистичные трехмерные изображения, состоящие из миллионов полигонов. Столь высокая производительность обеспечивается применением так называемых «графических 3-D ускорителей», специализированных подсистем современной ЭВМ, предназначенных исключительно для быстрого построения реалистичных трехмерных изображений. Простой и доступный интерфейс к ускорителям предоставляют аппаратно-независимые библиотеки подпрограмм, среди которых наибольшую распространенность получили OpenGL и DirectX [6]. В настоящей работе для расчета распространения пучка фотонов используется библиотека OpenGL.

Перед началом расчета попадания производятся подготовительные операции:

- каждой из сторон конечных элементов присваивается свой цвет,

- в соответствии с геометрическими характеристиками модели в памяти ускорителя создается ее образ, в котором каждая из сторон конечных элементов изображена своим цветом.

Определение попадания пучка производится следующим образом:

- узконаправленная «камера» помещается в центр элемента, из которого был излучен пучок или на котором пучок испытал взаимодействие,

- в памяти ускорителя строится трехмерное изображение модели, такой, какой она видится из места расположения «камеры»,

- определяется цвет точки, находящейся в центре зоны обзора «камеры»,

- если цвет черный, то пучок вышел за пределы модели и в дальнейших расчетах не учитывается,

- если цвет нечерный, то по функции цветового соответствия находится элемент, в который попал пучок.

Использование описанного метода определения попадания позволяет увеличить скорость расчетов за счет использования хорошо проработанных и аппаратно-реализованных алгоритмов построения трехмерных изображений.

5. Расчет изменения температурного поля во времени

Собственно расчет изменения температурного поля во времени начинается с определения значений теплоемкости и теплопроводности элементов для исходного распределения температур. Затем определяются термооптические свойства поверхностей элементов, и строится матрица радиационного теплообмена. После этого для каждого элемента определяются тепловые потоки за счет теплопроводности от соседних элементов, за счет радиационного теплообмена со всей остальной конструкции, а также потоки от внешних источников тепла. Основное уравнение интегрируется по времени по четырехшаговой схеме Адамса, причем размер и количество шагов по времени задаются в исходных данных. Перед каждым шагом по времени производится расчет изменения теплофизических и термооптических свойств элементов и при необходимости производится перестроение матрицы радиационного теплообмена.

6. Форматы данных и визуализация результатов

Исходная конечно-элементная модель представляется в виде входного файла NASTRAN, оформленного в соответствии с [7]. Из файла модели извлекаются данные о координатах узлов, используемых конечных элементов, их свойствах и материалах. Остальные данные, содержащиеся в файле конечно-элементной модели, игнорируются. Для описания теплофизических и термооптических свойств материалов, исходных тепловых полей, внешних источников тепла и параметров интегрирования задачи используется дополнительный файл, также оформленный в соответствии с форматом входных файлов NASTRAN.

Использование этого популярного формата файла позволяет обеспечить совместимость со множеством конечно-элементных препроцессоров, сохранив при этом возможность ручного редактирования файла и его анализа человеком без дополнительных преобразований.

Результаты расчета визуализируется в форме, принятой для отображения результатов в современных постпроцессорах конечно-элементных комплексов. Различные температуры показываются различными цветами на модели исследуемой конструкции. С результатами, отображенными на модели, можно работать в трехмерном пространстве, что позволяет достаточно просто произвести их интерпретацию и анализ адекватности расчета.

7. Общие замечания

Основные сложности при расчете радиационного теплообмена вызываются необходимостью работать с довольно громоздкой матрицей радиационного теплообмена. Размер занимаемой ею памяти квадратично зависит от количества элементов в модели конструкции. Например, матрица для модели, состоящей из 100 элементов при хранении компонентов с двойной точностью, потребует примерно 78 Кбайт оперативной памяти. В тоже время, матрица модели, способной учесть отклонения поверхности формы экранов от номинальной и состоящей из примерно 10^4-10^5 конечных элементов, будет занимать от 763 Мбайт (что еще является приемлемым) до 75 Гбайт (что при характерных объемах оперативной памяти современных персональных ЭВМ в единицы Гбайт приемлемым не является). Поэтому, в случае работы с моделями, содержащими большое количество элементов, возникает проблема расчета, хранения и использования матрицы большой размерности. Сложность задачи увеличивается из-за того, что в общем случае, при учете преломления, матрица радиационного теплообмена будет несимметричной, из-за этого разработанные в настоящее время методы компрессии симметричных матриц большой размерности (например, основывающиеся на поиске нескольких наибольших собственных чисел и векторов методом Ланцоша [8]) в прямую будут к ней не применимы.

Дополнительной проблемой является необходимость пересчитывать матрицу радиационного теплообмена, в пределе, после каждого шага по времени. Для достижения разумного времени счета задачи возникает необходимость использовать мощные вычислительные средства, с большими объемами оперативной памяти для хранения матрицы и высокопроизводительными процессорами для быстрой работы с ней. В настоящее время такие вычислительные средства не являются общедоступными, что вынуждает решать задачу распределено, используя параллельные вычисления на ЭВМ, объединенных в сеть.

Решение обозначенных проблем является неотложной задачей при совершенствовании методики расчета радиационного теплообмена.

Литература

1. Tessler A. at al. “Nonlinear shell modeling of thin membranes with emphasis on structural wrinkling”, NASA Langley Research Center, 2003.

2. Mansson J. at al. “Finite Element Analysis of Thin Membrane Wrinkling”, Technical Reports from Royal Institute of Technology Department of Mechanics Stockholm, Sweden, 2003.

3. Pelegrino S. at al. “Wrinkled membranes. Part III: Numerical simulations”, J. of Mechanics of Materials and Structures, 1, 2006.

4. DiPirroat M. at al. “Cooling Technology for Large Space Telescopes”, 2007.

5. Зигель Р., Хауэлл Дж. «Теплообмен излучением», Москва, Мир, 1975.

6. Шикин Е.В. Боресков А.В. “Компьютерная графика. Полигональные модели”, Москва, Диалог-МИФИ, 2000 г.

7. MSC/NASTRAN. Официальное руководство пользователя, 2005.

8. Ashdown I. “Eigenvector Radiosity”, The University of British Columbia, 2001.