Организация воксельных графических структур в системах
аналитического проектирования
А.В.
Толок
в.н.с.,д.т.н., профессор
ИПУ РАН, г. Москва
На этапе развития систем
аналитического проектирования особую роль играют формируемые графические
образы, отображающие геометрические свойства аналитически представленного
объекта. Особое место занимают те графические структуры, которые содержат
максимально полную информацию об аналитической модели для её отображений. В
этом случае воксельные графические структуры представляют особый интерес у
разработчиков и всё активнее применяются при проектировании аналитических САПР.
В отличие от других графических моделей, воксельные имеют регулярную
структурную организацию, что позволяет более активно применять их и не только в
построении пространственных изображений, но и как дополнительное информационное
скалярное поле для решения различного типа задач.
Под воксельными графическими структурами в данном изложении
предлагается понимать не структуры
управления воксельным массивом данных (октантное дерево и т.п.), а
структурную организацию воксельных графических данных – трёхмерных скалярных
полей, отображающую свойства (в нашем случае дифференциальные) геометрического
объекта. Одним из принципиальных отличий геометрической модели от её
графического образа является возможность её использования в дальнейших автоматизированных
процессах (например инженерные расчёты и т.п.). В силу своей адекватности
представления образов геометрических тел в трехмерном пространстве воксельные массивы
могут содержать информацию о локальных геометрических характеристиках в точках
заполняемого пространства геометрического объекта, что позволяет такой образ
применять в дальнейших расчётных задачах как информационную основу. Такой образ
уже не относится к традиционно иллюстративным образам и носит когнитивный
характер, поскольку содержит необходимые и достаточные геометрические знания о
проектируемом объекте. Такое качество как возможность применения воксельных
графических структур в дальнейших расчётах позволяет отнести эти образы к образам-моделям или сокращённо к М-образам.
Определим основные
характерные свойства М-образа, отличающие его от традиционного иллюстративного
изображения объекта:
1. М-образ когнитивен. Рассмотрим в аспекте трёх задач, сформулированных
Д.А. Поспеловым [1]:
1.
М-образы являются моделями представления
знаний об исследуемом объекте, с которыми оперирует образное мышление.
2.
М-образы
изображают те знания, которые сложно воспринимаемы человеком.
3.
Работа с
М-образами позволяет моделировать новые задачи.
2. М-образ применим в автоматизации решения задач, связанных с проектируемым геометрическим объектом.
В качестве примера применения воксельных
графических структур в процессе аналитического проектирования предлагается
рассмотреть структурную организацию графического ядра в системе рекурсивного анализа образных компонентов «РАНОК». Эта система
изначально готовилась как инструментарий математического анализа сложных
аналитических функций. Она имеет два основных блока: иллюстративный и
когнитивный, объединённых графическим ядром, которое базируется на применении
воксельной графической структуры. Основные блоки системы представлены на рис.1.
На
схеме видно, что организованная на базе М-образов графическая информационная
основа позволяет реализовывать в системе РАНОК комбинацию используемых
направлений компьютерной графики: иллюстративной и когнитивной. Иллюстративный
блок не должен вызывать сомнений в своей принадлежности, поскольку формирует на
основе графического ядра изображения традиционного реалистичного вида с
элементами прозрачности пространственных положительных и отрицательных областей
исследуемой пространственной функции, доступные для визуального восприятия
пользователем подобно многим системам воксельной визуализации [2]. По сути это визуальный анализ в блоке
синтеза системы РАНОК. Если во многих системах визуализации подобная процедура
является основным приёмом анализа некоторого результата моделирования, то
анализ в системе РАНОК предполагает более сложную процедурную структуру, где
иллюстративный блок лишь отображает результаты анализа.
Рассмотрим когнитивные предпосылки блока анализа
системы, который иллюстрирован на рисунке 2.
На
схеме видно, что М-образы являются в системе РАНОК внутренним графическим
представлением, позволяющим выходить на иллюстративные задачи (генерировать
изображения исследуемого объекта) и задачи анализирующие исследуемый
аналитический объект по дифференциальным характеристикам, которые трудно
формализуются существующими методами. Заметим сразу, что М-образы представляют
графическую информацию не о самой модели, а о процессе её дифференцирования.
Процесс дифференцирования зачастую относится к достаточно сложным и трудно
формализуемым процессам. Особенно когда исследуемая функция многомерна или
имеет отсутствие гладкости и разрывы. Система РАНОК базируется на рекурсивном
принципе деления области определения функции, что позволяет избежать этих
сложностей, пренебрегая понятиями «прерывность» и «угол». К новым знаниям,
получаемым с использованием М-образов, можно отнести реализацию градиентного метода,
определение концентраторов, а также нуль-поверхности. Причём, перечисленные
задачи легко формализуемы для автоматизации с применением внутренней
графической информации ядра базовых графических представлений.
Изначально
специальный формульный компилятор FORTU,
заимствованный из инструментальной системы решения задач математической физики
[3],
со встроенными возможностями конструктивной геометрии обрабатывает
описание исходного аналитического выражения 
, и рекурсивно определяет значения компонентов нормали для
каждой точки исследуемого пространства 
. Полученные данные, нормированные в пределах палитры цвета
(например 0… 255), заносятся в воксельные массивы и являются базовыми
М-образами, достаточными для дальнейшего автоматического определения остальных
дифференциальных образов. Пример работы генератора М-образов показан на рисунке
3 для двумерного случая. На рис. 3 показана воксельная графическая структура,
содержащая дифференциальную информацию о модели до производных второй степени.
Самый нижний образ отображает традиционное высотное отношение точек
нуль-поверхности функции. Следующий уровень представляет компоненты вектора
нормали 
. Воксельная графическая структура на рисунке 3 представлена
не полностью, поскольку на третьем уровне должны присутствовать кроме отношений
и 
ещё два отношения 
и 
, отображающие относительное отклонение от соответствующих
осей 
и 
проекции нормали 
(рис.4). На основе
этих образов достаточно просто реализуется автоматизация градиентного метода в
пространстве [4].
Если образы с рисунка 4 представить двумерными массивами графических данных 
и 
соответственно, то алгоритм
двумерной градиентной задачи сводится к простому описанию:
рис.6
где 
- множество элементов
строки и столбца соответственно, а 
- искомый элемент индексной
таблицы, определяющий направление смещения линии градиентного спуска.
Пример оригинальной организации
использования воксельных графических структур в системе РАНОК в виде внутреннего
графического ядра демонстрирует многофункциональность приложений в различных
задачах математического моделирования [5, 6]. Характерно то, что использование
воксельной графической структуры в отображении локальных геометрических характеристик,
как внутреннего системного представления проектируемой аналитической модели,
позволяет алгоритмизировать задачи не только на построение пространственных
графических видов модели Рис.5. Появляется возможность алгоритмизации задач
математического анализа проектируемой модели (градиентный спуск, определение
экстремальных точек и т.п.). Проектируемая
аналитическая модель подвергается градиентному анализу с полным набором средств
визуализации результатов (рис. 5). Предлагаемый подход к применению воксельных
структур в аналитическом проектировании позволяет решать оптимизационные задачи
с описанием сложных целевых функций в заданной системе ограничений [6].
Литература
1. Зенкин А.А. Когнетивная
компьютерная графика./под ред. Д.А. Поспедова._ М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1991. – 192 с.
2.
Пасько А.А., Пилюгин В.В., Покровский В.Н. Геометрическое
моделирование в задаче анализа функций трех переменных. Сообщение ОИЯИ Р10-86-310,
Дубна, 1986. Publication in English: Computers and Graphics, vol.12, # # 3/4,
1988, pp. 457-465.
3. Гоменюк С.И., Толок А.В.,
Толок В.А. Инструментальная система анализа задач математической физики
методами конечных элементов. Труды конференции. XXIII Международная
конференция и дискуссионный клуб "Новые информационные технологии в науке
и бизнесе". Украина, Крым, Ялта-Гурзуф, 15-24 мая
4. Толок А.В., Мыльцев А.М.,
Корогод В.Л. Алгоритм пространственного движения по градиенту на основе
М-образов. Прикладная геометрия и инженерная графика. – К: КНУСА 2007. –
Вып. 77., стр. 85-90.
5.
Мыльцев А.М.,
Толок А.В. Элементы математического анализа на основе воксельных отображений //
СИСТЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ, ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ПРОИЗВОДСТВА И УПРАВЛЕНИЯ
ЭТАПАМИ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОМЫШЛЕННОГО ПРОДУКТА (CAD/CAM/PDM -
2007). Тез. Докл., 7-й международной конференции. Под ред.
Е.И. Артамонова. М.: Институт проблем управления РАН. – 2007. ISBN 5-201-14995-2.
– С.13-14.
6. Корогод В.Л., Мыльцев А.М., Толок А.В. Решение задач
математического программирования в системе
аналитического проектирования «РАНОК»
// Управление развитием крупномасштабных систем (MLSD’2008) Материалы второй международной конференции. (1-3
октября 2008, Москва, Россия). Том