Интеграция конструкторского проектирования и динамического

анализа лопасти вертолета

С.Н. Шевцов
заведующий лабораторией, д.т.н., профессор
Южный центр РАН, aeroengdstu@list.ru
А.Н. Соловьев
заведующий кафедрой, д.ф.-м.н.,
Южный федеральный университет, soloviev@math.rsu.ru
В.Н. Аксенов
декан факультета, к.т.н., доцент
Донской государственный технический университет, vnaxenov@mail.ru
И.Г. Самощенко
начальник КБ, aeroengdstu@list.ru
ОАО «Роствертол»,

г. Ростов-на-Дону

Характерной особенностью работы конструкторских бюро серийных предприятий по производству современной авиационной техники является необходимость частых модернизаций конструкции изделия и его агрегатов. При этом возникают проблемы размерной привязки модернизируемого узла к имеющейся ранее разработанной конструкции, полной или частичной переработки конструкции технологической оснастки, а зачастую и необходимость выполнения динамического анализа и прочностного расчета. Решение этих проблем осложняется тем, что базовый комплект КД разработчика на изделие часто представлен в бумажной форме или в электронной форме, разработанной несколькими годами ранее с использованием устаревших способов описания геометрии агрегатов и форматов CAD-систем.

С другой стороны, несмотря на стремление разработчиков современных CAD/CAM/CAE систем обеспечить их полную внутреннюю и внешнюю межформатную совместимость, продвигаемая ANSYS концепция SDPD (Simulation Driven Product Development – разработка продукции, управляемая моделированием) пока является скорее тенденцией, чем инструментом конструкторов, расчетчиков и технологов. Особенно это относится к авиационной отрасли, в силу конструктивной, технологической сложности производимых изделий и динамического анализа их функционирования, разнообразия форм геометрического описания и свойств материалов (анизотропия композитов, конструкционное демпфирование, усталостное поведение и т.д.).

Типичными представителями конструкций, для которых перечисленные проблемы актуальны, являются лопасти несущего и рулевого винтов вертолета. Необходимым условием для интеграции, повышения производительности и ускорения процессов проектирования, математической, конструктивно-плазовой, технологической подготовки, выполнения необходимых прочностных расчетов является возможность управления величинами погрешностей формы и размеров (параметров информационных моделей изделия, агрегатов, подсборок и деталей). В силу того, что современные CAD/CAM/CAE – системы, как правило, не предоставляют возможности управления внутренним представлением данных, возникает необходимость в создании специальных методов и осуществляющих их программных модулей, которые выполняют контролируемый переход между применяемыми методами задания поверхностей: батоксами и горизонталями; пропорциональными кривыми, степенными, параметрическими и иными функциями (как, например, стандартные профили NACA), линиями Безье, полиномами Чебышёва, В-сплайнами, NURBS, кривыми второго порядка, таблицами точек и др.

Так, часто применяемый для задания ряда аэродинамических поверхностей вертолета метод кривых второго порядка предусматривает построение элемента сечения поверхности по координатам трех точек А, В, С и параметру f (разновидность известных в математике кривых Эрмита).

рис. 1 Задание элемента сечения поверхности кривой второго порядка по трем точкам (А, В, С) и проективному дискриминанту f. Кривая проходит через точки А, С касательно к прямым АВ, ВС и через точку D, определяемую медианой треугольника АВС и параметром f.

При этом коэффициенты интерполирующей кривой второго порядка

(1)

определяются из системы пяти линейных уравнений, возникающих при наложении условий прохождения искомой кривой через заданные точки и касания прямых АВ, ВС. Имеющиеся рекомендации [1] по выбору расположения точек разделения носят качественный характер, никак не учитывая величину хорды АС (которая может изменяться от единиц до сотен мм), взаимного расположения точек А, В, С, соотношения длин отрезков АВ, ВС и величины дискриминанта f. Для обеспечения точности плаза конструктор при разработке КД стремится задать перечисленные параметры с возможно большей точностью (координаты – до 1 мкм, дискриминант – 8 цифр). К сожалению, влияние инструментальных погрешностей задания координат точек разделения при этом не учитывается, что сводит на нет усилия по их вычислению с высокой точностью. Возникающие в результате этого погрешности формы плоских сечений могут значительно превосходить заданные теоретическим контуром. Сходная проблема возникает при переходе от описания кривыми второго порядка к интерполяции сплайнами системы ЧПУ, программ для динамического анализа и расчета на прочность.

Для реализации управления максимальным отклонением от теоретического контура как на этапе его задания, так и при переходе к другому способу описания, выполнялся анализ влияния погрешностей координат точек А, В, С на величины коэффициентов a_ij и стрелу максимального отклонения между точками А и С. Наибольшее влияние на эти погрешности оказывает обусловленность κ(M) матрицы M для определения коэффициентов

(2)

где - точное значение вектора коэффициентов, соответствующее отсутствию инструментальной погрешности и погрешностей округления; Е – матрица «шумов», вносимых измерениями, знак обозначает матричную норму (Гильберта-Шмидта). Для уменьшения числа анализируемых факторов, влияющих на погрешность формы сечения, его общее уравнение приводилось преобразованиями переноса, поворота и подобия к виду, при котором АВ имело единичную длину и совпадало с полярной осью. Влияние угла между линиями АB и ВС, отношения их длин ρ=ВC/AB и параметра f на число обусловленности системы для определения коэффициентов уравнения сечения иллюстрируется рис.2, а, б. Их анализ показывает, что погрешность в определении коэффициентов при некоторых значениях управляющих параметров теоретического контура может увеличиваться в сотни раз, что достаточно часто наблюдается на практике.

a)

б)

рис. 2 Зависимость числа обусловленности системы уравнений для определения параметров кривой второго порядка от расположения разделительных точек и проективного дискриминанта f

Для примера на рис.3 приведена гистограмма распределения отклонений от теоретического контура одного из элементов сечения возле передней кромки лопасти. Отклонение, измеренное по нормали к образующей, вычислялось прямым моделированием, при котором погрешности разделительных точек лежали в пределах жестких допусков: вдоль контура – 0,5 мм, по нормали к контуру – 0,1 мм. Моделируемому элементу отвечало число обусловленности, равное 40. В этих условиях вероятность получения недопустимого отклонения от теоретического контура превосходит 20%.

рис. 3 Эмпирическое распределение максимальных отклонений от элемента теоретического контура сечения передней кромки лопасти

Таким образом, уже на стадии формирования теоретического контура кривыми второго порядка могут возникать недопустимые погрешности [2]. Получение электронных 3D моделей CAD системами типа SolidWorks, Unigraphix, CATIA и их экспорт в программу динамического анализа предполагает последовательную конвертацию в NURBS, а затем в В-сплайны (ANSYS) или рациональные кривые Безье (Comsol Multiphysics) (см. рис. 4).

Как известно, параметрическая кривая, задаваемая В-сплайном, определена соотношением

, (3)

где: P_i – радиус-вектор i – й точки управляющего многоугольника; - текущее значение параметра; p – степень кривой; - узловой вектор, элементами которого являются неубывающие числа; а базисные функции определены рекурсивно

. (4)

Используемые в CAD системах неоднородные рациональные В-сплайны (NURBS) задаются аналогичным (3), но более общим соотношением

, (5)

где - вектор весов.

рис. 4 Последовательность построения 3D модели
(а-г) и конечноэлементная модель (д) лонжерона (е) лопасти рулевого винта вертолета (ж)

Промежуточное место занимают рациональные кривые Безье, определяемые соотношением

, (6)

где базисными функциями являются полиномы Бернштейна

. (7)

Изложенное иллюстрирует тот факт, что конвертация из одного сплайнового представления в другое в принципе невозможна без потерь точности геометрии конструкции, что неизбежно повлияет на моделируемые динамические свойства. Авторами было проведено исследование, включающее построение 3D модели лонжерона лопасти рулевого винта вертолета в системе SolidWorks 2007, последующее сохранение ее в форматах, специфических для Unigraphix и CATIA v.5, далее импорт этих моделей в Comsol Multiphysics 3.3 и выполнение статического и модального (рис. 5) анализа.

рис. 5 Первые 8 мод колебаний конечноэлеметной модели лонжерона, полученной импортом из формата CATIA v.5

Конечноэлементные модели содержали около 75 тысяч узлов; механические свойства материала соответствовали паспортным данным. Результаты статического анализа показали несоответствие линий прогиба (при воздействии на законцовку лопасти сосредоточенной силой 1000 Н) не более 2%. Результаты модального анализа (консольное защемление у комля), представленные в таблице 1, продемонстрировали значительно большее различие.

Таблица 1

Результаты модального анализа лонжерона

№ моды	Собственные частоты, Гц		Описание совпадающих мод
	в CATIA v.5	в IGES
1	14.77	14.57	Изгиб в плоскости тяги
2	41.8	41.7	Изгиб в плоскости вращения
3	90.2	87.1	Изгиб в плоскости тяги
4	247	229	Совместный изгиб в плоскостях вращения и тяги
5	252	249	Совместный изгиб в плоскостях вращения и тяги
6	371	360	Кручение
7	465	409	Изгиб в плоскости тяги
8	655 Изгиб в плоскости вращения	606 Изгиб в плоскости тяги

Начиная с 7–й моды, несоответствие собственных частот становится более 15%. Восьмая мода соответствует совершенно различным колебательным процессам. Моделирование в ANSYS 10 повторило полученные результаты. Таким образом, конвертация твердотельная модель в CAD-форматы CATPart и IGS, а затем их импорт в системы конечноэлементного моделирования привели к различным динамическим характеристикам детали. Между тем, из практики известно [3, 4], что движение лопасти относительно горизонтального шарнира и вращение в осевом шарнире приводят к появлению периодических сил, амплитуды которых заметны по крайне мере до гармоник десятого порядка. Следовательно, существенные различия, уже начиная с 7-й моды, являются недопустимыми. Это приводит к выводу о необходимости контролируемой конвертации CAD-модели в конечноэлементную модель.

В работе была поставлена цель разработать методику и ее программную реализацию для преобразований типа «кривые 2-го порядка – NURBS – B-сплайн», «точки теоретического контура – NURBS – B-сплайн», «кривые 2-го порядка – NURBS – рациональные кривые Безье». Такие преобразования представляют собой с математической точки зрения задачу оптимизации, где целевой функцией является норма отклонения исходного контура от преобразованного. Отклонение измеряется вдоль всего контура как длина отрезка нормали к исходному контуру, отсекаемая преобразованным контуром. В качестве нормы отклонения использовалась величина наибольшего отклонения вдоль всего контура

, (8)

которая была функцией параметров преобразованного сплайнового представления. В частности, для В-сплайна такими параметрами являлись количество и координаты точек управляющего многоугольника, степень сплайна и элементы узлового вектора.

При таком большом количестве параметров и целевой функции, не имеющей аналитического выражения, а определяемой только алгоритмом, традиционные методы оптимизации, в частности, разновидности градиентных методов, неэффективны [5]. Для достижения поставленной цели в работе использовался генетический алгоритм и его программная реализация Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox системы MATLAB 7.3. В зависимости от сложности контура и поставленной задачи конвертации количество параметров, по которым проводилась оптимизация, составляло от 40 до ~200. При этом машинное время поиска оптимума составляло соответственно 10…300 мин. В зависимости от кривизны моделируемого контура величина отклонения снижалась от 3 до 20 раз. Результатом такой управляемой конвертации теоретических контуров сечения стало полное исключение описанных выше явлений «перемешивания» мод колебаний конструкции. Разработанная методика находится в опытной эксплуатации плазового КБ ОАО «Роствертол».

Литература

1. В.В.Бабаков Проектирование поверхностей кривыми второго порядка в самолетостроении. М., Машиностроение, 1969

2. В.В.Павлов и др. Технология сборки самолетов и вертолетов. Т.1. Теоретические основы сборки. М, МАИ, 1993

3. J. Gordon Leishman Principles of Helicopter Aerodynamics//Cambridge University Press, 2000, 496 p.

4. Wayne Gohnson. Helicopter Theory//Princeton University Press, 1980, Vol.1, 502 p.

5. P.W. Gaffney & M.J.D. Powell, Optimal interpolation in Numerical Analysis, G.A. Watson ed., Lecture Notes in Mathematics, No. 506, Springer-Verlag, 1976, 420 p.

6. Mitchell M. An Introduction to Genetic Algorithms//MIT Press, 1999, 376 p.