САПР многополюсных рефлектометров

А.А. Львов
д.т.н., профессор
СГТУ, alvova@mail.ru, г. Саратов

В последнее время для повышения точности измерения параметров двухполюсников в коротковолновой части СВЧ диапазона и автоматизации измерительного процесса стали использоваться многополюсные рефлектометры (МР). Для обеспечения хорошей устойчивости системы уравнений многополюсника многие авторы пытаются оптимизировать конструкцию измерительного блока [1]. Но, как правило, это делается эмпирически без использования оптимальных методов обработки измерительных данных и грамотного статистического анализа получающихся ошибок измерения. Данная работа посвящена описанию процедуры оптимизации параметров многополюсного рефлектометра для работы в широком рабочем диапазоне длин волн, проводимой с помощью специально разработанной САПР, когда в качестве измерительного блока используется МР, имеющий ограниченное число измерительных датчиков.

В работе [4] автор показал, что использование методов оптимальной обработки сигналов с датчиков МР по методу максимального правдоподобия позволяют сильно упростить конструкции многополюсников. Действительно, в качестве измерительного блока можно использовать отрезок коаксиального или микрополоскового тракта с набором датчиков, причем половина датчиков имеет слабую связь с полем, а другая половина – сильную. Такая конструкция, названная комбинированным МР, позволяет проводить автоматическую калибровку последнего по набору нагрузок с неточно известными коэффициентами отражения, что сильно упрощает и значительно удешевляет всю измерительную систему в целом, делая ее доступной для широкого круга метрологов на СВЧ. Поэтому в работе рассматриваются только комбинированные МР.

1. Критерий и процедура оптимизации конструкции МР

Математическая модель многополюсника с N измерительными датчиками может быть представлена в виде [4]:

, (1)

где

u_j - напряжение на выходе детектора j-го датчика МР; a,b - неизвестные модули падающей на измеряемый двухполюсник и отраженной от него волн; g - неизвестная разность фаз между падающей и отраженной волнами; A_j, B_j - модули комплексных коэффициентов передачи j-го датчика МР; y_j = 2pd_j/l - разность фаз между коэффициентами многополюсника для j-го датчика d_j - известное расстояние от фланца измеряемого двухполюсника до j-го датчика; l - известная длина волны в тракте МР; x _j - погрешность измерения напряжения на j-м детекторе.

Про ошибки измерения x _j предполагается, что они обусловлены, в первую очередь, дробовыми шумами детекторов измерительных датчиков и тепловыми шумами согласующих усилителей на плате сбора данных, поэтому их можно считать независимыми нормально распределенными величинами с нулевыми математическими ожиданиями и неизвестными дисперсиями ,...,. Тогда, если число датчиков МИЛ будет не меньше четырех, система (1) может быть решена относительно неизвестных параметров состояния q_i по методу максимального правдоподобия [4] с помощью известной итерационной процедуры, а нулевое приближение решения выбирается по методу наименьших квадратов.

(2)

где X - матрица плана эксперимента P - диагональная матрица весов, U – вектор измерений U=(u₁, u₂,¼, u_N)^T:

, P=, p_j =. (2')

В [2] показано, что точность оценки модуля и фазы коэффициента отражения полностью определяется точностью оценки коэффициентов =(q₁,q₂,q₃,q₄)^T, которая в свою очередь, характеризуется дисперсионной матрицей оценок. При этом необходимо находить удачно нулевое приближение , чтобы оно попадало в зону притяжения истинного решения задачи оценивания. Дисперсионная матрица для нулевого приближения имеет вид [3]:

(3)

Теория предлагает [3] минимизировать объем эллипсоида рассеяния оценок относительно их математического ожидания, квадрат которого пропорционален определителю дисперсионной матрицы (3), для получения совместно эффективной оценки вектора . При этом матрица D_I = X^TPX является симметричной относительно своей главной диагонали и равной

(4)

где =4pd_j/l - фазовые расстояния.

Так как рассматриваемый измеритель проектируется для работы в широком диапазоне длин волн l, то на некоторых частотах может оказаться, что детерминант матрицы D_I (4) принимает значения, близкие к нулю, а, следовательно, обратная матрица (3) будет близка к вырожденной. Поэтому требуется так спланировать эксперимент (выбрать элементы матрицы X), чтобы детерминант матрицы D_I для всех возможных значений l из рассматриваемого диапазона был не меньше какого-то гарантированного значения. Причем чем больше будет детерминант матрицы D_I, тем меньше соответственно будет детерминант обратной ей матрицы ошибок , то есть тем точнее будет выбираться нулевое приближение. В [2] показано, что точность оценивания, получаемая в результате выполнения указанной итерационной процедуры, предписываемой методом максимального правдоподобия, оказывается еще выше, чем точность нулевого приближения (2). В этом случае последняя может быть взята за верхнюю гарантированную границу возможных ошибок измерения.

Выбор оптимального состава измерений при классической постановке метода наименьших квадратов и дополнительных ограничениях, налагаемых на вектор u, рассматривается в теории оптимального планирования экспериментов. Планы эксперимента, обеспечивающие минимум детерминанта , называются D-оптимальными. Как видно из (4) элементы этой матрицы зависят от расстояний d_j от нагрузки до соответствующих датчиков, модулей коэффициентов передачи многополюсника и весовых коэффициентов p_j. На стадии проектирования МР величины A_j, B_j неизвестны, так как они определяются при калибровке. Поэтому на данном этапе оптимизация выбора состава измерений (с целью минимизации погрешностей) может проводиться только подбором параметров d_j, то есть с помощью соответствующего расположения датчиков МР внутри тракта. Иными словами, нужно так расположить датчики вдоль тракта, чтобы максимально возможное значение детерминанта матрицы ошибок (3) при изменении длины волны от l_min до l_max не превосходило некоторой фиксированной величины

Таким образом, оптимальные расстояния от исследуемой нагрузки до датчиков могут быть найдены по критерию

d = arg, (5)

где d =(d₁,...,d_N)^T, inf - точная нижняя грань множества, а минимум детерминанта матрицы ошибок ищется подбором составляющих этого вектора. Естественно, что любой выбор величин d_j должен соответствовать физически реализуемой конструкции МР (d_j ÎY).

При измерении в узком диапазоне длин волн в окрестности центральной точки l₀ расположение датчиков МР, близкое к оптимальному, может быть получено аналитически, если дополнительно предположить, что затухание в микрополосковом тракте незначительно. В этом случае эквидистантное расположение датчиков на расстояниях

,

где k - натуральное число такое, что N/2 не кратно k, друг от друга дает хорошие результаты оценивания, когда матрица D_I становится близкой к диагональной. А расстояние d₁ от исследуемой нагрузки до первого датчика может быть выбрано произвольным.

Но обычно МР используют для измерения в диапазоне длин волн, например, при определении резонансных параметров СВЧ нагрузок. Это обуславливает необходимость поиска расположения датчиков, пригодного для высокоточного измерения параметров СВЧ двухполюсников на любой фиксированной длине волны из заданного диапазона ([l_min, l_max]).

При измерениях в широком диапазоне частот критерий (5) должен быть видоизменён, поскольку невозможно добиться потенциально достижимой точности оценивания параметров состояния q на каждой длине волны из диапазона [l_min, l_max] за счет подбора оптимальных расстояний d_j. Более того, критерий (5) не отражает оптимальных свойств МИЛ в широком диапазоне длин волн, так как может быть подсчитан только для конкретной длины волны.

В этом случае теория рекомендует [3] в качестве критерия оптимальности использовать функцию эффективности оценок

F(p_j, d_j, l) = (6)

которая представляет собой отношение объёма эллипсоида рассеяния оценок для текущих значений p_j, d_j к минимальному объёму эллипсоида при оптимальных значениях на заданной длине волны l из рассматриваемого диапазона[l_min,l_max]. Очевидно, что всегда F(p_j, d_j, l) ³ 1. В случае, знака равенства объёмы этих эллипсоидов равны, и оценка q получается совместно эффективной.

Поэтому задача выбора оптимального состава измерений в данном случае заключается в минимизации функции эффективности (6) равномерно во всем заданном диапазоне частот или длин волн путем надлежащего выбора расстояний d_j. В этом случае в качестве критерия оптимальности выбирают следующий:

d = arg ,

где sup - точная верхняя грань множества. Но сложность математических выражений, получающаяся при использовании такого многопараметрического критерия, позволяет искать оптимальные расположения датчиков только численными методами.

2. САПР МР и оптимального управления процессом измерения

Под руководством автора была разработана система автоматизированного проектирования МР на основе IBM/AT-совместимого компьютера, использующая метод минимизации функции эффективности в широком диапазоне длин волн (более шести октав), основанный на применении результатов теории планирования экстремальных экспериментов [5].

Здесь последний критерий оптимизации слегка видоизменяется для удобства его практической реализации на ЭВМ:

d = arg, (7)

где H_a - некоторая гарантированная граница точности оценивания параметров q на любой произвольной фиксированной длине волны из заданного диапазона. Такой подход позволяет находить численные значения расстояний до датчиков при оптимизации параметров МР для работы в широком (до 7 октав) диапазоне длин волн.

В настоящее время он работает, взаимодействуя с табличным процессором Excel из Microsoft Office. Данный пакет может работать в трех основных режимах, соответствующих возможным постановкам задачи оптимизации состава измерений:

· Поиск расположения заданного числа N датчиков, обеспечивающего измерения в максимально широком рабочем диапазоне [l_min,l_max] с заданной точностью H_a.

· Поиск минимально необходимого числа датчиков N и их расположения для обеспечения измерений в заданном диапазоне [l_min,l_max] с требуемой точностью H_a.

· Поиск расположения датчиков, достигающего наилучшую точность измерений равномерно во всем диапазоне длин волн при заданных [l_min,l_max] и N.

В последнем режиме добавляется еще одно условие

d = .

Как правило, во всех рассматриваемых задачах параметр H_a£1,5. Выходная информация разработанного пакета прикладных программ содержит найденные расстояния от фланца исследуемой нагрузки до датчиков d^* и зависимость функции эффективности F(, d_i, l) от частоты измерений w =2·p·v/l (v - скорость распространения волн в СВЧ тракте) для наилучшего расположения датчиков.

Для упрощения работы программного обеспечения и ускорения счета используется начальное приближение расположения датчиков, найденное в [3]. После чего проводится автоматическая минимизация функции эффективности в диапазоне длин волн, определяемом пользователем. На первом этапе минимизации система осуществляет крутое восхождение по поверхности отклика, когда на каждом шаге оптимальным образом оцениваются составляющие градиента функции эффективности с помощью дробных реплик от полного факторного эксперимента. На втором этапе проводится исследование почти стационарной области с помощью центральных композиционных планов эксперимента, и окончательно находятся расстояния d_j от датчиков до плоскости подсоединения нагрузки.

Данная система позволяет эффективно в интерактивном режиме отыскивать оптимальные расположения датчиков МР на стадии ее проектирования. С ее помощью были получены расположения различного количества датчиков МР (от четырех до десяти) позволяющие с хорошей точностью проводить измерения в широких диапазонах длин волн. В частности четырехзондовый МР может работать в диапазоне до трех октав, а десятизондовый – в семиоктавном диапазоне.

Очевидно, что расположения датчиков МР, удовлетворяющие (6) не будут обращать в ноль внедиагональные компоненты матрицы D_I на практике, когда коэффициенты передачи многополюсника примут какие-то реальные значения с учетом коэффициентов передачи квадратичных детекторов. Другими словами, после калибровки рефлектометра указанные расположения датчиков могут не удовлетворять выбранному критерию оптимизации из-за «паразитного» влияния коэффициентов A_i и B_i. Но в этом случае на помощь приходит процедура оптимального управления процессом измерения. В случае МР оптимальное управление процессом измерения заключается в перераспределении времен съема сигналов с датчиков рефлектометра (установлении весов измерений p_j) таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

P = arg

То есть необходимо так подобрать значения весов p_i, чтобы они доставляли максимум детерминанту матрицы D_I при одновременном выполнении указанных выше линейных ограничений, когда все величины A_i, B_i и y_i считаются заданными.

С этой целью был создан пакет программ математического обеспечения для IBM-совместимого персонального компьютера, реализующий автоматическую систему управления временами съема информации с измерительных датчиков МР и работающий в составе комплекса программ измерения у анализатора цепей на основе многополюсника. По заданным значениям d_j, A_i, B_i, и длине волны l, программ рассчитывают времена съема измерительного сигнала с каждого датчика, обеспечивая тем самым ортогональность матрицы плана эксперимента в соответствии с теорией D-оптимального планирования за счет подбора соответствующих весов измерения. При переходе к другой частоте измерения (или длине волны l) производится перерасчет времен и выдается соответствующая команда коммутатору, производящему опрос датчиков МР.

Таким образом, достигается оптимальное оценивание неизвестных параметров измеряемых СВЧ-нагрузок, но для каждой длины волны из требуемого диапазона измерений должен быть выбран свой набор величин весовых коэффициентов p_j.

Проведенное статистическое моделирование работы МР показало высокую эффективность работы разработанной автоматической системы управления процессом измерения многополюсником без дополнительного увеличения времени измерения.

Исследования позволили сделать вывод о целесообразности использования подобной системы в сочетании с системой автоматизированного проектирования расположения датчиков МИЛ.

Резюмирую вышеизложенное, можно заключить, что предлагаемая САПР, позволяющая находить удобные с точки зрения технической реализации расположения датчиков внутри тракта МР, в сочетании с процедурой оптимального управления процессом измерения дают возможность существенно повысить точность измерения параметров цепей, приблизив ее к потенциально достижимой, с одновременным упрощением конструкции многополюсника и снижением его себестоимости.

Литература:

1. G. Madonna, A. Ferrero, and M. Pirola. Design of a Broadband Multi-probe Reflectometer // IEEE Trans. Instrum. Meas. – Vol. IM-48, pp. 622-625, Apr. 1999.

2. A.A. L'vov and A.A. Morzhakov. Statistical Estimation of the Complex Reflection Coefficient of Microwave Loads Using a Multiport Reflectometer // Proceedings of 1995 SBMO/IEEE MTT-S International Microwave and Optoelectronics Conference, July, 1995, Rio-de-Janeiro, Brazil, pp. 235-239.

3. A.A. L'vov and A.S. Moutchkaev. Optimization of a Multiprobe Transmission Line Reflectometer and Optimal Control of Measurement Process // "Computer Systems and Computer-Aided Applications" – Proceedings of the 10th International conference "Systems for Automation of Engineering and Research", September 27- 29, 1996, St. Konstantin, Bulgaria, pp. 33-37.

4. Львов А.А. Автоматический измеритель параметров СВЧ двухполюсников на основе многополюсника // Измерительная техника, 1996 г., №2, С.10-12.

5. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. – М.: Наука, 1971. – 312 с.