Граф отношений

Оптимизационные задачи проектирования эксплуатационной

документации промышленного продукта

И.Ю. Галин

инженер

В.П. Румянцев

зав. кафедрой, доцент, к.т.н.,

МИФИ, galin@CALS.ru, VPRumyantsev@mephi.ru, г. Москва

Будем называть изделием конечный набор деталей объединённых одним конструкторским замыслом, являющийся законченным (т.е. не требующим для работы других деталей) продуктом.

Будем называть деталью неделимый конструктивный элемент, входящий в состав изделия, не предполагающий в конкретный момент разбиения на детали.

Введем определение состава изделия. Состав может быть описан как множество обозначений деталей , составляющих изделие.

(1)

Такое определение не учитывает, что при проектировании изделия деталь может использоваться в нескольких экземплярах. Скорректируем определение следующим образом:

(2)

где для , - число раз, которое i-я деталь входит в P.

Существует стандарт на представление конструкторских данных ISO 10303 STEP и соответствующий ему ГОСТ Р ИСО 10303. Этот стандарт задаёт формат представления данных об изделии.

Для описания изделия, в контексте обслуживания в эксплуатации, такое определение не учитывает, что разные экземпляры детали могут иметь различные формы обслуживания в зависимости от места использования в изделии. Для этого необходимо ввести определение структуры изделия.

Опорным понятием в этом стандарте является изделие (product). Каждое изделие должно иметь одну или несколько версий - PRODUCT_DEFINITION_FORMATION (PDF). Соответствующие версии изделия могут одновременно описываться с различных точек зрения – контекстов. Такое контекстное описание будем называть определением изделия - PRODUCT_DEFINITION. В соответствии с ГОСТ Р 10303 требуется наличие хотя бы одного определения для каждого изделия.

Другим опорным понятием является понятие отношения. Оно задаёт пару изделий. Таким образом, отношения рассматриваются в определённом контексте, исходя из того, что они устанавливаются между объектами PRODUCT_DEFINITION. Базовым объектом всех таких отношений является объект PRODUCT_DEFINITION_RELATIONSHIP (PDR).

Таким образом, структуру изделия можно описать как множество деталей и множество отношений

(3)

где – множество всех отношений PRODUCT_DEFINITION_RELATIONSHIP на множестве деталей.

Введем отношение , которое определяет потребность предварительной работы с деталью для работы с . Отношение между всеми элементами множества можно изобразить в виде графа . Вершинами графа являются элементы множества P, а дугам соответствуют отношения предшествования, т.е. если, где - множество всех дуг в графе.

Физический смысл этого отношения можно описать термином доступность. Так, для работы с изделием , необходимо демонтировать деталь.

Граф этого отношения можно задать в виде матрицы смежности:

(4)

, где - индикатор предшествования перед .

, при этом .

Рассмотрим математические свойства отношения доступности:

- Это отношение является антирефлексивным, деталь не может предшествовать самой себе.

- Отношение не является транзитивным, т.к. из утверждения и не следует

- Отношение является антисимметричным, т.к. из утверждения следует, что не предшествует

Введем понятие ранга вершины -, как максимальный путь в графе до неё. Таким образом, все элементы множества P можно разделить на подмножества по следующему принципу:

	-Части изделия прямого доступа.
	-Части изделия, при обслуживании которых необходим демонтаж изделии из множества
…	…
	-Части изделия, при обслуживании которых необходим демонтаж изделии из множества

, где k – максимальный ранг вершины в графе .

Граф доступности отражает порядок демонтажа деталей с изделия. Такой порядок операций демонтажа будем называть процедурой разборки.

Будем различать два типа процедур разборки – процедуру полной разборки и процедура частичной разборки для получения доступа к детали .

Процедура полной разборки это последовательность операций по демонтажу деталей изделия в результате которой –

(5)

Из определения видно, что после процедуры полной разборки все детали изделия доступны. Такая процедура может применяться для обеспечения обслуживания всех деталей изделия. Однако, провести такую процедуру не всегда возможно. Например, рассматриваемое изделие установлено на более крупном изделии или входит в его состав как сборка. В силу конструкторских, геометрических, технологических или других ограничений возможным является демонтаж только части деталей или невозможность разборки как таковой.

Процедура частичной разборки для доступа к детали это последовательность операций по демонтажу деталей изделия, в результате которой

, (6)

Вновь вернёмся к рассмотрению графа. Построим квадратные матрицы- по следующим правилам:

(7)

где,, и

Т.е. элемент = 1 если из вершины в есть путь длинной в s, при этом s меняется от двойки до k - максимального ранга вершин в графе .

Сложив матрицы получим результирующую матрицу, где для любой i-й детали из множества в i-й строке единицам соответствуют индексы тех деталей, которые должны быть демонтированы для обеспечения доступа к рассматриваемой детали.

Формализовав состав, структуру изделия и отношения между деталями перейдём к рассмотрению процесса эксплуатации изделия. Эксплуатация изделия может быть охарактеризована показателями надежности (безотказности) деталей входящих в изделие. Рассмотрим математические модели эксплуатации изделия. В процессе рассмотрения моделей, примем следующие утверждения:

Пользователь документации обращается к документации по детали в случае отказа этой детали.
Пользователь обращается к документации по в случае отказа какой-либо детали, если для доступа к отказавшей детали требуется обеспечить доступ к .

В том случае, когда изделие состоит из одной детали, при интенсивности отказа и интенсивности восстановления получим следующие показатели: МО времени одного цикла «отказ - восстановление»:

(8)

а, математическое ожидание количества отказов за время T –

(9)

Рассмотрим систему из N деталей, где время безотказной работы i-ой детали распределено экспоненциально, интенсивность отказа детали - , время восстановления i-ой детали распределено экспоненциально с интенсивностью . Отказ любой детали такой системы приводит к отказу всего изделия - остановке эксплуатации и началу восстановления отказавшей детали. За время восстановления i-ой детали не возникают отказы остальных деталей.Поток отказов деталей является ординарным.

Для рассматриваемой системы вероятность безотказной работы системы за период t и МО времени безотказной работы:

(10):

(11)

Доли отказов по каждой детали распределены пропорционально интенсивностям отказов:

(12)

Среднее время восстановления:

(13)

За интервал времени T ожидаемое количество отказов изделия:

(14)

Ожидаемое количество отказов i-ой детали :

(15)

Пусть вектор задаёт ожидаемые показатели количества отказов изделий входящих в P₍_product₎ за время Т. Число обращений к документации для детали при возникновении отказа:

, где - элемент матрицы .

Средневзвешенное количество обращений к документации по , при отказе какой-либо детали:

(16)

В общем виде, при проектировании эксплуатационной документации на изделие может решаться следующая задача: введем понятие качества эксплуатационной документации как оператор (функцию) агрегирования - :

(17)

, где - качество документационного обеспечения i-ой детали (полнота, точность, актуальность) , а - средневзвешенное количество обращений к документации по ;

Можно определить как функцию от затрат на изготовление т.е., , где - затраты на изготовление, хранение, использование и сопровождение документации на изделие c качеством .

Рассмотрим задачу максимизации качества документации:

(18)

При этом определим ограничения для этой задачи: Пусть задан общий бюджет на изготовление документации - , а также известно - минимально допустимое качество документации по изделию .

При этом - бюджет на документацию, не попадающую под отношение предшествования по всем изделиям из .

Таким образом, задача максимизации качества может быть сформулирована так:

(19)

Показатели качества документирования для детали могут быть как скалярной величиной, так и векторной.

Пусть характеристики документации на отдельное изделие задаются как вектор значений:

, где m_j – j-ая характеристика документации (полнота, время поиска, актуальность и т.п.);

Требования заказчика по документации представляются вектором такой же размерности и имеют тот же смысл и размерность что и M_i:

, где – j-е требование к документации;

Оценка удовлетворённости потребителя , то есть качество документации по d_i можно определить как:

, (20)

где: - относительная удовлетворенность потребителя i-м свойством документации; для свойств, возрастание которых приводит к увеличению удовлетворенности потребителя, а - наоборот.

В общем случае, - функция от затрат на обеспечение заданного показателя i-ой характеристики ЭД на деталь. При этом затраты на разработку документации на деталь ограничены бюджетом .

- весовой коэффициент, учитывающий значимость i-го свойства для потребителя, при этом . Будем считать, что любая ситуация, в которой интерпретируется нами как полное удовлетворение потребителя и эквивалентна ситуации .

При формировании эксплуатационной документации на деталь, производитель решает задачу максимизации качества ЭД. Эта задача может быть сформулирована следующим образом:

, (21)

Рассмотрим на примере, задачу максимизации качества документации на деталь. Пусть заданы две функции: и . Для определённости - определяет полноту документации для детали , а - доступность документации для .При этом и - затраты на обеспечение соответствующих показателей полноты и доступности. Для простоты предположим, что показатели доступности и полноты одинаково важны для потребителя, т.е. никаких дополнительных весовых коэффициентов вводить не будем.