Параметры математической модели
управления процессом эксплуатации технических систем с периодическим контролем
работоспособности на этапе их проектирования
В.В. Шаяхметов
доцент, кандидат технических наук,
ГОУ ВПО "Башкирский государственный университет",
vafich@mail.ru, г.Уфа
Рассмотрим систему, в которой контроль объекта
происходит через случайные промежутки времени , которые распределены одинаково по произвольному закону
.
Будем
считать, что продолжительность контроля настолько мала по сравнению с временем
ожидания обнаружения отказа, что ею можно практически пренебречь. Отказ объекта
будет обнаружен в момент очередного контроля, период которого перекрывает
момент отказа, после чего осуществляется восстановление работоспособности
объекта. Отказ объекта приводит к отказу системы, если суммарное время ожидания обнаружения
отказа
и восстановления работоспособности
превысит используемый
в системе резерв времени
. Если
, то система не реагирует на отказ объекта и продолжает
нормально функционировать. Эта особенность накладывает свой отпечаток на вид
функционалов, входящих в основные показатели технических систем [1]. В них
вероятность
определяется с помощью выражения
(1)
или
при
(2)
где
-функция распределения (ФР) суммы двух независимых случайных
величин
и
.
Однако,
в выражения для основных показателей надежности систем описанного класса входят
произвольные ФР, вид которых неизвестен, а фиксированы моменты этих ФР.
Используя
результаты [2], можно определить границы изменения вероятности при
;
,
При
распределении случайной величины по экспоненциальному
закону с параметром
выражение (2) примет
вид
(3)
В
частности, вероятность отказа системы при определяется
выражением
(4)
и изменяется в пределах , где
при любых соотношениях
, где
(5)
В
инженерной практике встречаются некоторые частные случаи соотношения средней
периодичности контроля , времени восстановления работоспособности объекта
и средней наработки на отказ объекта
:
1.
Среднее время восстановления работоспособности объекта значительно больше средней периодичности контроля
. В этом случае для
двухсторонних оценок показателей надежности систем с резервом времени при
ограниченно априорной информации о
(при фиксированных
начальных моментах m1 и m2)
справедливы формулы, приведенные в [2], т.к. приближенно можно считать
. В инженерных расчетах эти формулы можно применять при
.
2.
Среднее время восстановления работоспособности объектов значительно меньше средней
периодичности контроля работоспособности объекта
. В этом случае время пребывания объекта в
неработоспособном состоянии определяется
временем ожидания обнаружения отказа, т.е.
. В этом случае при
. При ограниченной априорной информации о ФР
случайной величины
ожидания обнаружения
отказа, когда известны только два начальных момента
и
, двухсторонние оценки вероятности
совпадают с выражениями, приведенными в [2], если в них
заменить m1 на
и m2
на
. При
погрешность этих формул
не превышает нескольких процентов.
3.
Средняя наработка на отказ значительно больше
средней периодичности контроля
. В этом случае последовательность моментов контроля до
обнаружения отказа объекта образует случайный поток, который приближенно может
быть описан стационарным процессом восстановления с характеристиками, не
зависящими от момента отказа объекта. Следовательно, для ФР времени
от момента отказа
объекта до момента его обнаружения можно определить двухсторонние оценки ее
изменения при известных начальных моментах распределения
, т.е.
(6)
(7)
Если
в рассматриваемом случае () средняя периодичность контроля
существенно больше
среднего времени восстановления
, т.е.
, тогда вероятность того, что время ожидания обнаружения
отказа
превысит резерв
времени
(8)
При
произвольных видах ФР с фиксированными начальными моментами
и
двухсторонние оценки
вероятности (1) имеют
вид:
(9)
(10)
Таким образом, полученные двухсторонние оценки вероятности того, что отказ объекта приведет
к отказу рассматриваемой системы при наличии ограниченной информации о ФР
времени восстановления и периодичности контроля могут быть использованы при
расчетах надежности систем с периодическим контролем работоспособности на этапе
проектирования.
1.
Креденцер Б.П. Прогнозирование надежности систем с временной
избыточностью /Б.П.Креденцер. -Киев: Hаукова думка, 1978.- 250c.
2.
Шаяхметов В.В. Теоретические
основы оптимизации показателей надежности радиоэлектронных средств: монография
/В.В.Шаяхметов.- С-Пб: С-ПбГПУ, 2005. – 216 с.