Элементы математического анализа на основе воксельных отображений

А.М. Мыльцев,

cоискатель,

ЗНУ, г. Запорожье,

А.В. Толок,
в.н.с., д.т.н., профессор,
ИПУ РАН, г. Москва

Переход принципов дифференциального исчисления на компьютерную основу способствовал развитию численных методов, где дискретизация окрестности позволяет автоматизировать расчёт дифференцирования в рассматриваемой точке. Сложность применения этих методов возникает при повышении дифференцируемого пространства. Существует геометрический подход к решению задачи с определением компонентов нормали по близлежащим точкам в пространстве. При этом количество исходных точек зависит от размерности дифференцируемой функции. Этот подход позволяет работать с многомерным пространством и просто поддаётся алгоритмизации. Как приложение такого подхода получило развитие построение и применение М-образов (образов-моделей) как результат дифференцирования исследуемой функциональной четырёхмерной зависимости с отображением в воксельном представлении [1]. Информационной основой такого подхода служат данные о компонентах нормального векторного поля, представленные целочисленным значением цветовой градации, что сближает процесс моделирования дифференциального анализа со зрительным восприятием.

На рисунке 1 демонстрируется модель М-образов в пространстве для 4-х мерного аналитического объекта рассчитываемого в пространстве . Для простоты восприятия модели примером выбрана функция сферы: , где . При этом характерно концентрическое поведение вектора нормали выбранной модели.

Рисунок 1 наглядно демонстрирует отклонение косинусов нормали от осей , представленное образами соответственно и характерные осевые вращения нормали в плоских проекциях , представленные образами .

Вращение представлено аналогично отклонению нормали от светового луча. Световой луч направлен вдоль выбранной оси. Удваивая угол распределения тона от «» до «» избегаем потери информации отклонения на всём участке исследуемой модели.

Полученные М-образы могут быть информационной основой алгоритмизации движения по градиенту для плоской задачи на развёрнутой поверхности в плоскостях , и [2]. Например, для плоского пространства алгоритм заключается в определении перемещения точки в одно из восьми направлений, с использованием образной информации (рис.2 а,б).

Градация в точке отражает выбранное отклонение с точностью заданной палитры , что позволяет выбрать один из трёх столбцов индексной таблицы (рис.3) в двух ортогональных направлениях, определяемых как

(2)

Ортогональные направления двух М-образов для плоской задачи позволяют получить однозначное решение.

Взяв в качестве основы любой другой М-образ, удобный для визуальной оценки результата (например, М-образ градации тона по высотным отметкам), с использованием для получения решения М-образов и , получаем возможность интерактивной расстановки точек на изображении поверхности с динамическим определением траектории градиентного спуска (рис.4).

Двумерное представление образной информации предполагает также развитие принципов анализа пространственных структур с применением воксельных подходов организации образов, а также многомерных структур, не поддающихся зрительному восприятию. Применение принципов зрительной оценки в ходе решения многомерных задач позволяет повысить уровень процедуры анализа за счет развития образных экспертных систем, базирующихся на выделении рельефных характеристик поверхности результатов.

Для того, чтобы перейти к определению пространственного движения градиента в области значений четырёхмерной функции рассмотрим пространственную модель вектора исходящего из точки начала координат, заданного двумя углами (рис. 5): плоский поворот в плоскости и пространственное отклонение от оси . Т.е. плоское вращение первого поворота является осевым вокруг оси , а вот вращение нормали в плоскостях и - проекциями угла вращения в плоскости , где осевое вращение осуществляется вокруг оси .

Использовать в решении пространственной постановки образы или (рис.2) не достаточно корректно, хотя возможен приближённый результат.

Рассмотрим модель 4-х мерного представления М-образов сферы во всех её проекциях (рис.6).

Проекция сферы в пространстве (центр композиции рисунка), в М-образном представлении, имеет необходимую и достаточную информацию о поведении (пространственного угла отклонения нормали от оси на рисунке 2).

Таким образом, алгоритм пространственного движения по градиенту можно сформулировать на базе трёх М-образов с применением повышенного пространства нормального векторного поля. М-образ (пространство , освещение вдоль оси ) определяет вертикальный уровень движения по градиенту.

Разработанные принципы построения и синтеза компьютерных графических М-образов, а также разработанные алгоритмы анализа локальных геометрических характеристик поверхности, легли в основу создания системы РАНОК (рекурсивный анализ образных компонентов), активно используемой для отображения М-образов исследуемых R-функций [3].

Полученная при этом воксельная модель позволяет алгоритмизировать основные процедуры математического анализа, такие как:

1. Определение частных производных по выбранным осям, возрастание и убывание функции на выбранном направлении.

Получение М-образов частных производных подробно представлено в работе [1] и не нуждается в подробном изложении, а определение области возрастания и убывания пространственной функции в выбранном направлении разделяется чёрным и белым цветом на образе , где - направление светового луча (например, на рис.6 М-образ показывает области возрастания и убывания функции вдоль оси ).

2. Определение критических точек, линий и областей на выпуклых зонах разного знака.

Применение алгоритма движения по градиенту позволяет с определённым приближением решать задачи такого рода. На рисунках 7-10 приводятся примеры градиентного подъёма в теле функции, описывающей некоторую механическую деталь. Рисунок 11 демонстрирует критические точки (концентраторы функции), полученные предлагаемым способом.

3. Определение корней уравнения , области положительных и отрицательных значений. Задача решается на основе принципов, изложенных в пункте 2. Дополнительно рассматривается модуль функции и определяются минимальные значения. Результат сравнивается с точками минимальных значений и отбрасываются совпадающие точки. Рисунок 12 демонстрирует покрытие минимальными точками поверхности сферы для функции, являющимися корнями уравнения вида .

Очевидно, что данный «инструментарий» позволяет ставить и решать различные постановки задач, возникающих в математическом моделировании для различных областей науки.

Предлагаемый аппарат с применением «М-образного анализа» характерен своей универсальностью в приложениях и обеспечивает сходимость точности результата в зависимости от заданной глубины рекурсивного разбиения исследуемой области определения функции.

Литература

1. Мыльцев А.М., Корогод В.Л., Толок А.В. Воксельное представление образов-моделей в системе «РАНОК» // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/CAM/PDM - 2006). Материалы 6-й международной конференции. Под ред. Е.И. Артамонова. М.: Институт проблем управления РАН. – 2006. ISBN 5-201-14995-2. – С.21-26

2. Толок А.В. Синтез компьютерных образов геометрических характеристик для оценки рельефа поверхности функции двух переменных // Доповіді Національної академії наук України, №4. – 2004. ISSN 1025-6415. - С. 63-69

3. Максименко –Шейко К.В., Мацевитый А.М., Толок А.В., Шейко Т.И. Конструктивные средства метода R-функций для автоматизации построения уравнений сложных геометрических объектов // Фізико-математ. науки, Біологічні науки. Вісник Запорізького Державного Університету: Збірник наукових статей, Запоріжжя: ЗДУ, №2, 2004- С. 66-76.