Статистический анализ основных элементов эксплуатационной логистики и их параметрическая оптимизация

С.А. Кааль
Адъюнкт ВВИА им. проф. Н.Е.Жуковского,
г.Москва

Хозяйственная деятельность невозможна без функции хранения. Данную функцию выполняет склад. Анализ [1] использования складских помещений показал, что эффективное управление функционированием складов приносит большой вклад в работу всей организации. Складирование стало интегрированным элементом производственных стратегий, основанных на принципах снабжения «точно-в-срок». В 1990-х годах главным направлением развития складского хозяйства стало повышение гибкости и эффективности использования информационных технологий. В современных условиях рыночной экономики требуется разработка хорошо продуманной концепции, а также обоснования принципов, методов и средств управления.

Проблема обеспечения предприятий и организаций обостряется жесткими финансовыми условиями, в которых осуществляется планирование поставок продукции. Таким образом, трудности в обеспечении ставят задачу специалистам в области логистики более внимательно подходить к организации обеспечения с позиции минимизации затрат, своевременности обеспечения и находить новые методы решения.

Основные условия, которым должна удовлетворять стратегия управления запасами: объем запаса должен обеспечивать непрерывное обеспечение и при этом оставаться минимальным в целях сокращения затрат на хранение продукции, на строительство складских помещений и иммобилизацию материальных ресурсов. Оптимальные параметры системы (моменты и размеры поставок, а также их общее число в течении периода T) определяется путем минимизации целевой функции: суммарных затрат по оформлению контракта, транспортировки и хранению запасов.

Внедрение современных компьютерных технологий позволяет решать задачу оптимизации  процессов управления сложными комплексными системами с использованием математических (вероятностных) моделей [4].

Рассмотрим структуру комплексной системы «техническое обслуживание – ремонт –  поставки (склад)», представленной на рис.1. По существу это – ориентированный граф, отражающий возможные состояния составной части изделия (СЧИ) - элемента поставки заданной номенклатуры  (состояния 1,2, 4, 5, 7, 8) и изделия в целом (состояния 3,6). Вершины графа состояния характеризуют следующие состояния: 1- нахождение СЧИ на складе в виде запасной части; 2 – нахождение СЧИ в составе изделия в исправном состоянии; 5 – нахождение изделия на профилактических работах; 3 – нахождение СЧИ на текущем восстановительном ремонте у Потребителя; 4 – вывод СЧИ из эксплуатации и списание; 6 – нахождение изделия на капитальном ремонте; 7 – накопление неисправных СЧИ на складе для отправки в ремонт у Поставщика; 8 – нахождение СЧИ на восстановительном ремонте у Поставщика.

Рисунок 1.  Структура комплексной системы «техническое обслуживание – ремонт –  поставки (склад)»

 

Введем обозначение yi(t), характеризующие количество СЧИ в i-ом состоянии.

Считается, что переходы от состояния к состоянию обусловлены случайными пуассоновскими потоками событий (общепринятая гипотеза применительно к системам массового обслуживания). Переходы «k-h» показывают интенсивность потока СЧИ (изделий) из состояния k в состояние h. Периодические пополнения характеризуются периодом T1 и объемом пополнения V1(tj)= V1(jT1). Периодическая передача в ремонт  к Поставщику характеризуются периодом T2 и  текущим накопленным значением y7(ti)= V2(iT2).

На основании вышеизложенного ставится задача:

1. Получить систему стохастических дифференциальных уравнений, описывающих вероятностные моменты (математические ожидания и дисперсии переменных) в соответствии с графом задачи.

2. Провести анализ влияния параметров системы на критерий эффективности.

3. Разработать и реализовать с помощью программных средств процедуру оптимизации параметров политики поставок:

- начального количества y1(0) запасных частей данной номенклатуры,

- величины пополнений V(tj) в заданные  моменты пополнений tj.

При этом необходимо учесть требования к уровню исправности парка СЧИ конкретной номенклатуры.

Для решения задачи воспользуемся уравнениями для математических ожиданий и ковариаций вектора Y(t), составляющими которого являются переменные yi(t), соответствующие вершинам графа [5]..

                                                                                         (1)

                                                      (2)

где: yoη - центрированная случайная составляющая вектора Y(t); mh(t)- математическое ожидание составляющей процесса Y(t), имеющего размер n´1; Qhx(t)- элемент матрицы ковариаций составляющих процесса Y(t), имеющей размерность n´n; Skhi– элемент структурной матрицы  системы; rkh(Y,t) - интенсивность потока переходов из состояния k в состояние h; Фη(Y(t)) - составляющая вектора гладких функций Ф(Y(t)), зависящих от вектора Y(t); M[.]- знак оператора определения математического ожидания.

Интенсивность снабжения изделий исправными ЗЧ со склада – величина случайная, нелинейно зависящая от количества объектов на складе и спроса на них. Применим метод статистической линеаризации [2] с использованием двумерной плотности вероятности к выражению, определяющему данную нелинейную зависимость:

                                                          (3)

Интенсивности переходов 3-1, 5-2 и 6-2 так же величины случайные, нелинейно зависящие от интенсивности проводимых работ и количества каналов. Выражения для данных нелинейностей имеют вид:

                                                                                (4)

Далее, в соответствии с уравнениями (1), (2), получим дифференциальные уравнения вероятностных характеристик модели, в частности математическое ожидание и дисперсия первого состояния:

                                                                                   

                                                (5)

Всего система (5) включает в себя 42 дифференциальных уравнения.

В моменты пополнения Dtj происходят скачкообразные изменения в приведенных уравнениях.

Разработанная модель позволяет прогнозировать динамику изменений состояний объектов системы, т.е. количество исправных объектов на складе, объектов, находящихся в эксплуатации, в различных видах ремонта и т.д.

Рисунок 2.  Динамика изменений количества исправных СЧИ, находящихся в эксплуатации.

Компоненты критерия эффективности J(Y,L) системы [3] отражают затраты на хранение ресурсов, на пополнение, затраты на создание дополнительной системы обслуживания и ремонта и т.д. Рассмотрим решение задачи оптимизации параметров L методом градиентного спуска по критерию

                                                                          (6)

где M[J(Y,L)] – оператор математического ожидания.

В общем случае на аргумент L могут быть наложены ограничения, записываемые в виде векторного соотношения

                                                                                            (7)

Окончательное выражение для пошаговой (итеративной) процедуры поиска оптимального значения вектора параметров L:

                                                                 (8)

Вычисление градиентов J1 в точках L(i) приобретает дополнительную проблему, т.к. в данном случае критериальная (целевая) функция  вычисляется через нахождение вероятностных моментов вектора фазовых координат Y(t) системы, то есть явно не задана. Поэтому частные производные в нужных точках приходится вычислять приближенно, с использованием разностных методов, в частности алгоритма с парными пробами:

 

                       (9)

 

где gi – пробный шаг по i-й переменной, выбираемый достаточно малым для разностной оценки производной.

На каждом шаге движения к максимуму полученный критерий сравнивается с критерием, полученным на предыдущем шаге. Если J1(L)(i+1)< J1(L)(i), то  x остается прежним, в противном случае шаг x уменьшается вдвое. Следует иметь ввиду, что при вычислении частных производных каждый раз производится решение системы дифференциальных уравнений (5) на всем интервале времени функционирования системы.

Предложенный алгоритм используется для решения задачи оптимизации параметров системы – начального количества запасов СЧИ на складе, объема и периодичности его пополнения..

Рассмотренная  задача моделирования и оптимизации динамических процессов в системе объектов многоразового использования отражает общий новый подход к моделированию логистических систем и определению оптимальных параметров проектов логистики. В условиях интегрированной информационной среды такой комплекс решения логистических задач становится неоценимым элементом интеллектуальной поддержки управленческих решений, обеспечивающим высокий уровень качества логистических услуг.

Литература

1.       Бауэрсокс Доналд Дж., Клосс Дейвид Дж. Логистика: интегрированная цепь поставок. 2-е издание./Пер с англ. – М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2005. – 640с.;

2.       Пугачев В. С., Казаков И. Е., Евланов Л. Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.:  «Машиностроение», 1974;

3.       Шаламов А.С., Кааль С.А Упрощенная модель логистики многоразового использования материальных средств/Логистика сегодня.-2006-№3;

4.       Шаламов А. С. Логистика систем многоразового использования материальных ресурсов./ / Логистика и управление цепями поставок, №2, 2006г;

5.       Шаламов А. С. Теоретические основы математического моделирования процессов инженерно-авиационного обеспечения. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1992г.