Воксельное представление образов-моделей в системе «РАНОК»

А.М.Мыльцев,

В.Л.Корогод,

ЗНУ г. Запорожье,

А.В. Толок,
д.т.н., профессор, г.Москва

Работа является продолжением развития принципов построения специальных образов, предлагаемых в работах [1,2]. Теперь речь пойдёт о специальных графических воксельных образах пространственной функции, отображающих её локальные дифференциальные характеристики. Эти образы позволяют наглядно отображать рельефные свойства, возникающие на области определения исследуемой пространственной функции. Такой графический образ представлен в работах [1,2] как «образ-модель» поверхности, отражающий некоторое геометрическое свойство (упрощённо «М-образ»).

Для работы с представлением М-образов используется система РАНОК, созданная для построения и визуализации трехмерных воксельных изображений сложных функций трех переменных, заданных аналитическим или кусочно-аналитическим способом (R-функции) [3]. Процесс построения воксельного массива графических данных в системе РАНОК основан на рекурсивном алгоритме разбиения прямоугольной габаритной призмы, описывающей рассматриваемый аналитический объект. Рекурсивный подход раскрывает дополнительные возможности в процессе исследований, поскольку представляют динамически уточняющую процедуру с выходом по заданному условию. В связи с этим разработана оригинальная структура динамического трёхмерного массива [4], позволяющая формировать воксельные данные в процессе «рекурсивного погружения». Несмотря на приличные размеры памяти, выделяемой при таком подходе, этот массив позволяет, как восстанавливать сценарий рекурсивного процесса в случае аппаратного сбоя и других причин, так и использовать различные методы интерполяции, ускоряющие процедуру уточнения аналитического объекта. Разово и с необходимой точностью обработав аналитический объект можно, приемлемо быстро, получать различные изображения объекта в различном ракурсе и сечениях (рис.1).

Характерно и то, что получаемый воксельный массив функции в системе РАНОК представляет собой основу для построения М-образов, отражающих локальные геометрические характеристики на области определения функции.

В работах [1,2] указывается, что принципы М-образной оценки рельефа поверхности функции переносимы на многомерное пространство с применением воксельных подходов организации М-образов, а также многомерных структур, не поддающихся зрительному восприятию.

Попробуем перенести рассматриваемый в работах [1,2] двумерный случай на трёхмерное скалярное поле, где значения исследуемой функции являются четвёртым измерением.

Тело некоторой функции в этом случае предлагается представить как четыре скалярных поля (1)

. (1)

Установим соответствие пространственных скалярных полей , ,,с их воксельным представлением ,,, (2), выражая через интенсивность тона монохромной палитры

, ,,. (2)

В результате имеем четыре базовых образа как целочисленные области значений изображённых таблице 1.

Таблица 1

	Плоскости сечения
	XOY	YOZ	ZOX

Каждый из полученных образов несёт информацию о поведении каждой из четырёх проекций нормального вектора в выбранной точке исследуемой функции, т.е. значение угла поворота от каждой оси на промежутке . Для наглядности результатов для рассмотрения выбрана функция , где , , , , . В отличие от двумерного случая, для большей наглядности можно использовать свойство прозрачности цвета. В таком случае, максимум будет изображаться максимальной плотностью цвета. Для изобразительной аналогии (учитывая свойство симметрии рассматриваемой функции) предлагается сохранить принцип изображений, используемый в работах [1,2] с применением сечений по рассматриваемым трём осям .

Полученный воксельный массив, содержащий данные четыре характеристики, позволяет отказаться от дальнейшего использования аналитического вида функции в последующих преобразованиях для получения необходимого количества М-образов.

Определим набор М-образов, характеризующий модуль изменения косинуса для угла отклонения нормали от осей соответственно (3):

, , , . (3)

Угол определяет горизонт наблюдателя для четырёхмерного пространства.

Индексный символ оставлен умышленно по аналогии с двумерным пространством. Это лишь говорит о том, что ось наблюдения противоположна оси (таб. 2).

Таблица 2

	Плоскости сечения
	XOY	YOZ	ZOX

По аналогии с двумерным случаем определим М-образы частных производных (4):

,

, (4)

аналогично определяются , и т.п..

В таблице 3 изображены результаты предложенных преобразований для получения дифференциальных воксельных М-образов.

Таблица 3

	Плоскости сечения
	XOY	YOZ	ZOX

Результатом последовательных преобразований воксельных массивов, хранящих М-образы, является образная модель функции, позволяющая исследовать пространственный градиент в каждой точке с использованием алгоритма, представленного в работах [1,2]. При этом становится доступна автоматизация процесса выявления на области определения пространственной функции концентраторов разного знака.

Всё это позволяет направить дальнейшее развитие системы на автоматизацию процесса анализа геометрических характеристик многомерного объекта. На данном этапе система РАНОК позволяет проводить визуальный анализ исследуемой функции с использованием эффекта прозрачности и осевых сечений, основанный на зрительной оценке.

Список литературы

1. Толок А.В. Использование графических образов-моделей в анализе поверхности аналитически заданной функции //СИСТЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ, ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ПРОИЗВОДСТВА И УПРАВЛЕНИЯ ЭТАПАМИ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОМЫШЛЕННОГО ПРОДУКТА (CAD/CAM/PDM - 2005). Тезисы 5-й международной конференции. Под ред. Е.И. Артамонова. М.: Институт проблем управления РАН. – 2005. C. 46. ISBN 5-201-14982-0

2. Толок А.В. Синтез компьютерных образов геометрических характеристик для оценки рельефа поверхности функции двух переменных //Збірник доповідей НАН України. Математика, природознавство, технічні науки: №4, 2004р. – С.63-69.

3. Рвачев В.Л., Толок А.В., Уваров Р.А., Шейко Т.И. Новые Подходы к построению уравнений трехмерных локусов с помощью R-функций, Фізико-матем. науки, Біологічні науки. Вісник Запорізького Державного університету: збірник наукових статей. Запоріжжя: ЗДУ, N2, 2000 -С.119-131.

4. Мыльцев А.М., Толок А.В. Математическая модель визуализации динамического массива данных при построении трехмерных сцен // Вісник Запорізького державного університету: Фізико-математичні науки. – 2002. – N3. – С.76-82.