Использование графических образов-моделей в анализе поверхности аналитически заданной функции

А.В. Толок
профессор кафедры ММ,
д.т.н., доцент
Украина, Запорожье

Современные алгоритмы компьютерной графики в сочетании с развитой графической периферией организуют изобразительный комплекс, позволяющий с высоким качеством строить визуальные образы. Точность представления современных растровых изображений повышает интерес к использованию графической информации в процессе алгоритмизации исследований в системах анализа сложных функциональных зависимостей.

Рассмотрим один из поддающихся алгоритмизации методов графического исследования поверхности функции, заданной аналитическим или кусочно-аналитическим способом (R-функции) [2].

Метод заключается в разработке и использовании специальных графических образов поверхности функции, отображающих дифференциальные характеристики, необходимые для изучения рельефа этой поверхности. Такой графический образ представлен как «образ-модель» поверхности, отражающий некоторое геометрическое свойство (упрощённо «М-образ»).

М-Образ функции можно сопоставить со скалярным полем, в котором для каждой точки пространства образа определено значение скалярной величины (градация цвета). Количество точек, образующих пространство образа, зависит от «разрешения» создаваемого компьютерного изображения (количества цветовых точек на один дюйм изображения). Точность хранимой информации в таком образе зависит от заданной «палитры» [1].

На примере поверхности функции типа  рассмотрим поуровневую модель, включающую в себя двенадцать растровых М-образов, характеризующих геометрические свойства рассматриваемой поверхности.

Представим поверхность некоторой функции  нормальным векторным полем, выраженным тремя скалярными полями (1)

           (1)

и введём понятие базового визуального М-образа. Для этого, установим некоторое соответствие скалярных полей  с их растровым представлением  (2), выразив через градацию интенсивности тона монохромной палитры

.                 (2)

При этом получим три базовых М-образа как исходные массивы данных образной информации (рис. 1). Как уже отмечалось, в отличие от скалярного поля, базовый визуальный М-образ имеет целочисленную область определения в виде индексного массива с разрешением растра , а также целочисленные значения для каждого элемента массива , представленные линейной градацией целочисленной интенсивности монохромной палитры . Эти значения будут характеризовать точность растрового представления скалярного поля.


Полученные базовые М-образы, выраженные градацией тона, характеризуют углы поворота нормали в каждой точке поверхности на промежутке  вдоль трёх осей соответственно. Для наглядности результатов, в качестве примера выбрана функция , описывающая поверхность сферы с радиусом ,  при . Поскольку интенсивность тона возрастает обратно значению , то в дальнейшем условимся за максимум интенсивности принимать  (чёрный цвет), минимум – соответственно  (белый цвет).

                                                                     

рис.1 Базовые М-образы поверхности функции

 

Характерно то, что на этом этапе прекращается работа с функцией аналитического вида, и в дальнейших преобразованиях используются только образные данные полученных базовых М-образов.

Определим следующий информационный слой М-образов, характеризующий модуль изменения косинуса угла отклонения нормали от выбранной оси (3)

         (3)

 При этом следует отметить, что выбираемый угол  определяет в пространстве горизонт наблюдателя. Легко показать, что именно совпадение на всех трёх растрах скалярных полей () минимальной интенсивности тона даёт .

Традиционно, при рассмотрении поверхности функции вида предполагается совпадение направления плоскости горизонта с плоскостью , где направление оси наблюдения противоположно оси . Поэтому, в дальнейшем, полученным М-образам, выражаемым через базовые М-образы , предлагается добавить индекс .

На рис. 2 приведены М-образы, нормированные градацией тона палитры  с наблюдением вдоль оси () соответственно

 


                                                                                                                                                                                               

рис. 2  Информационный слой М-образов, характеризующий модуль изменения косинуса нормали

 

Рис. 3 демонстрирует способы синтеза дифференциальных М-образов на базе двух предыдущих подготовительных этапов (4,5):

 ,               (4)

 

,

                      (5)

Двойные скобки  означают, что рассматриваемое отношение нормируется на промежутке .


Аналогичным способом в соответствии с градацией палитры  определяется последний дифференциальный образ (6)

.                                                   (6)

                                                                            

рис. 3 М-образы частных производных

Рис. 4 отображает пример многослойной образной модели функции (7),

               (7)

определяемой до уровня получения М-образов первой производной в предложенной выше последовательности синтеза.

Особый интерес представляют способы использования М-образов при решении оптимизационных задач посредством исследования поверхности рассматриваемой функции. Примером такой задачи является определение траектории градиентного спуска.

Алгоритм в рассматриваемом случае заключается в определении перемещения точки в одно из восьми направлений возможного смещения. Предлагается использовать образную информацию в рассматриваемой точке (пиксель), используя два слоя , представленные на рис.5. Эти слои отображают монохромную градацию отношений  и . Этой образной


                                                                               


                                                                             


                                                                                    

                                                                                   

рис. 4 М-образы, обеспечивающие информацию о форме поверхности функции

 

информации достаточно, чтобы получить однозначное значение отклонения градиента от осей  и  соответственно в плоскости, то есть проекцию его направления. Причём, градация тона в каждой точке отражает выбранное отклонение с точностью заданной палитры . Это позволяет выбрать соответствующие столбец и строку индексной таблицы (рис. 6). Пересечение найденного столбца и строки определяет ячейку таблицы с индексом смещения текущей искомой точки, принадлежащей траектории


Рис. 5 Пример М-образов , используемых в алгоритме решения задачи градиентного спуска

 

градиентного спуска. Присвоив переменным  и  соответствующие значения в выбранной точке с текущими координатами  для образов  и  (координатные индексы предлагается располагать вверху) , получим следующие выражения (8):

,     ,             (8)            

где  - множество элементов строки и столбца соответственно, а  - искомый элемент индексной таблицы, определяющий направление смещения линии градиентного спуска.

Взяв за изобразительную основу любой М-образ, удобный для визуальной оценки результата (например ), и используя для получения решения М-образы и , получаем возможность интерактивной расстановки точек на поверхности с динамическим определением траектории градиентного спуска и оценкой интенсивности градиента вдоль этой траектории (рис. 7).

2

рис. 7  Результат работы алгоритма определения градиентного спуска

 

В случае инвертирования цвета М-образов  и , не меняя алгоритма получаем траекторию градиентного подъёма (рис. 8). Основой для визуализации принят М-образ (нормированное отношение высотных значений функции).

igrad1

рис. 8  Результат работы алгоритма на инвертированных М-образах

 

Рассмотрим ещё одну кривую, наглядно характеризующую основные элементы рельефа поверхности. Она представляет собой пошаговое перемещение перпендикулярно направлению градиента, т.е. по касательной. Чтобы получить такую кривую, не меняя общего алгоритма, достаточно поменять очерёдность входных М-образов и инвертировать цвет одного из них (например ). Особый интерес вызывает поведение этой кривой, если исходная точка располагается на одном из пиков рельефа поверхности. Поскольку градиентная задача способна определить любой пик поверхности, то определить такие исходные точки не составит особого труда.

Для решения задачи получения комплексной градиентной характеристики, скомбинируем три этапа, базирующихся на едином алгоритме (8):

1.         Определение градиентного спуска с выделением отрицательных пиков рельефа поверхности;

2.         Определение градиентного подъёма с выделением положительных пиков рельефа поверхности;

3.         Определение траектории кривой по касательной с началом в отрицательных и положительных пиках рельефа поверхности.

Результат работы комбинированной задачи изображён на рис. 9. Спиралевидная кривая по касательной выделяет основные характеристики формы исследуемого выпуклого элемента рельефа поверхности.

grad3

рис. 9  Результат комбинированной задачи исследования пиков поверхности

 

Знак выпуклости определяется направлением спирали по часовой стрелке или против часовой стрелки. Траектория характеризует форму выпуклости на разных высотных уровнях. Основание выпуклости определяется завершающим изгибом траектории.  

Разработанные принципы образной оценки рельефа поверхности переносимы на многомерное пространство с применением воксельных подходов организации М-образов [3], а также многомерных структур, не поддающихся зрительному восприятию. Применение принципов образной оценки в ходе решения многомерных задач позволяет повысить качественный уровень процедуры автоматизации анализа, подкрепив его образными экспертными системами, которые базируются на выделении рельефных характеристик поверхности исследуемой функции.

 

 

Литература

 

1.     Гоменюк С.И., Толок А.В. Моделирование образной оценки градиента на рельефе поверхности. Научно-Теоретический Журнал «Искусственный Интеллект», №1, 2004, ISSN 1561-5359, Донецк, 2004, С. 113-119.

2.     Рвачёв В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. –К.: Наукова думка, 1982. – 552с.

3.     Рвачёв В.Л., Толок А.В., Уваров Р.А., Шейко Т.И. Новые подходы к решению уравнений трёхмерных локусов с помощью R-функций // вісник ЗДУ. – 2003. - №1. – С.25-28.