Метод расчёта критического коэффициента интенсивности напряжений с использованием

модифицированной формулы Мураками

С.А. Ренев,

асп., chevrole59@mail.ru,

МГТУ им. Н.Э. Баумана, г. Москва,

В.С. Прокопов,

рук. направл. прочн. анализа, vladimir.prokopov@gmail.com,

ООО НТЦ «АПМ», г. Королев,

Н.В. Шаврина,

ассист., nvshavrina@yandex.ru,

ТГУ, г. Тольятти

В данной работе рассматривается метод расчета критического значения коэффициента интенсивности напряжении (КИН) аналитическим путем для трещины I типа [1]. Критический КИН - это силовой параметр линейной упругой механики разрушения (ЛУМР), который отвечает за устойчивый рост трещины. В основе метода лежит видоизмененная формула для вычисления текущего максимального значения КИН [2] и стандарт ASTM E-399 (аналог ГОСТ 25.506 - 85), позволяющий получить критическое значение КИН экспериментальным путем.  Данный метод справедлив для квазихрупких материалов [3] (зона пластичности у вершины трещины не превышает 20%) и учитывает трещины в континуальной трехмерной среде.  В конце работы представлен ряд верификационных задач, подтверждающих работоспособность метода.

 

In this paper addresses the method of calculating the critical stress intensity factor (SIF) analytically for crack type I [1]. Critical SIF - is a force parameter of Linear Elastic Fracture Mechanics (LUMR). The method is based on a modified formula to calculate the maximum value SIF [2] and the ASTM E-399 norm (GOST 25.506 - 85). This method is valid for quasi-brittle materials [3] (plasticity zone at the crack tip is less than 20%) and accounts for a crack in the continuous three-dimensional environment. At the end of the paper presented a number of verification problems, confirming the efficiency of the method.

1. Требования к форме и размерам образца по стандарту ASTM E-399

Для получения достоверного значения критического КИН для рассматриваемого материала, форма и размеры образца должны быть выполнены согласно ASTM E-399. Форма и размеры стандартного образца (ДКБ) с трещиной на внецентренное растяжение показаны на рис. 1.

Рис. 1  Компактный образец (ДКБ) на внецентренное растяжение

Требования к общим размерам образца:

-     толщина t образца должна удовлетворять требованию:

                                                         (1)

-     отношение b/t должно удовлетворять требованию:

                                               (2)

-     отношение l0/b должно удовлетворять требованию:

                                                   (3)

Разность l0 - h размеров у вершины трещины (рис. 2) должна удовлетворять требованию:

                                             (4)

Рис. 2  Форма и размеры вершины трещины

Если условия (1) – (4) выполняются, то полученное значение КИН (KQ) (процедура получения описана в ASTM E-399) проверяется на выполнение неравенства:

                                      (5)

где t – толщина образца (мм), l0 – расстояние от вершины трещины до крепления ДКБ – образца (мм) (рис. 1), KQ – вычисленное значение КИН (МПа√мм), σ0.2 – предел текучести (МПа).

Вычисленное значение КИН (KQ), согласно стандарту ASTM E-399, справедливо для плоско-деформированного состояния. В исследовании Вейсса и Зесслера [4] показано, что в центральной части по толщине образца определяющей является плоско-деформированное состояние, если:

                                                (6)

где t – толщина образца (мм), ρ – радиус кривизны надреза (мм).

Таким образом, если неравенство (5) и условие (6) выполняются, то KQ=KIc. В противном случае нужно увеличить толщину t образца.

Согласно ГОСТ 25.506 – 85 ориентировочная толщина t плоских образцов устанавливается с использованием модуля упругости E и предела текучести σ0.2 (Таблица 1)

Таблица 1

Ориентировочная толщина t плоских образцов

2. Аналитическое вычисление критического коэффициента интенсивности напряжений

Японский ученый в области ЛУМР Мураками [2] вывел формулу вычисления КИН для произвольной формы трехмерной поверхностной трещины I типа.

                                            (7)

где σ0 – внешнее растягивающее напряжение (МПа), area – поверхность трещины в плоскости x – y (мм2) (рис. 3).

Рис. 3   Плоскость x – y в произвольной трещине

Перед выводом модифицированной формулы для вычисления критического значения КИН, основанной на (7), рассмотрим основное положение ЛУМР.

В [1] упоминается общая асимптотическая формула для вычисления значения КИН:

                                                                                                        (8)

где σ – внешнее растягивающее напряжение (МПа), r – длина трещины (мм), Y – коэффициент, зависящий от отношений длины трещины к размерам тела.

Формула (8), в несколько видоизмененном виде, используется для нахождения зоны пластичности у вершины трещины [1]:

                                                       (9)

где σТ – предел текучести (МПа).

Пользуясь данным приемом (9), заменим в формуле (7) σ0 на σТ. Это позволит учитывать опасное состояние у вершины трещины и аналитически определить KIСрасч. Модифицированная формула (7) для вычисления критического КИН имеет вид:

                       (10)

Формула (10) дает достоверные результаты с использованием трещины небольших размеров. Рекомендуемые размеры трещины удовлетворяют условию [2]:

                                     (11)

где l – расширение трещины (мм), c – длина трещины (мм) (рис. 4).

Рис. 4  Размеры трещины

Площадь трещины, с использованием (11), вычисляется следующим образом:

                                     (12)

Достоверность результатов с использованием модифицированной формулы (10) для расчета критического КИН трещин I типа показана в следующем разделе.

3. Проведение испытаний и анализ результатов

В качестве инструментов для подтверждения работоспособности формулы (10) использовались механические свойства металлов и их сплавов (стандарт ASTM E-399 справедлив для данной категории материалов). Главными механическими свойствами выступает критическое значение КИН для трещины I типа, полученное экспериментальным путем и предел текучести. Данное критическое значение КИН, полученное экспериментальным путем, будет сравниваться с критическим КИН, полученным аналитически по формуле (10).   

 3.1. Образец №1

Образец №1 выполнен из aluminum alloy (356.0 – T7). Механические свойства 356.0 – T7 [5] и критическое значение КИН (KIС) [5] представлены в Таблица 2.

Таблица 2

Механические свойства 356.0 – T7

Размеры Образец №1, согласно [5], представлены в Таблица 3.

Таблица 3

Размеры Образец №1

Для определения площади трещины (12), параметр l=l0, а c=l0 – h. Отсюда следует, что площадь трещины Образец №1 равна:

     (13)

Подставляя (13) в (10), получим:

              (14)

3.2. Образец №2

Образец №2 выполнен из Титан (CL41 Ti). Механические свойства CL41 Ti [6] и критическое значение КИН (KIС) [7] представлены в Таблица 4.

Таблица 4

Механические свойства CL41 Ti

Для определения размеров Образец №2 (с учетом KIС) нужно выполнить ряд действии:

1.     Для KIС выполним преобразование размерности системы единиц: KIС = 90 МПа√м = 2846.05 МПа√мм;

1.     Выполним замену KIС на KQ и найдем минимальные размеры l0,t (5):

                             (15)

2.     Вычислим отношение предела текучести к модулю упругости Юнга (Таблица 1):

                         (16)

Размеры Образец №2, согласно (1) – (4), (15), (16) и Таблица 1, представлены в Таблица 5.

Таблица 5

Размеры Образец №2

Для определения площади трещины (12), параметр l=l0, а c=l0 – h. Отсюда следует, что площадь трещины Образец №2 равна:

              (17)

Подставляя (17) в (10), получим:

                 (18)

3.3. Образец №3

Образец №3 выполнен из steel alloy (4340). Механические свойства 4340 [6] и критическое значение КИН (KIС) [7] представлены в Таблица 6.

Таблица 6

Механические свойства 4340

Для определения размеров Образец №3 (с учетом KIС) нужно выполнить ряд действии:

1.     Для KIС выполним преобразование размерности системы единиц: KIС = 50 МПа√м = 1581.14 МПа√мм;

2.     Выполним замену KIС на KQ и найдем минимальные размеры l0,t (5):

                               (19)

3.     Вычислим отношение предела текучести к модулю упругости Юнга (Таблица 1):

                                   (20)

Размеры Образец №3, согласно (1) – (4), (19), (20) и Таблица 1, представлены в Таблица 7.

Таблица 7

Размеры Образец №3

Для определения площади трещины (12), параметр l=l0, а c=l0 – h. Отсюда следует, что площадь трещины Образец №3 равна:

                 (21)

Подставляя (21) в (10), получим:

                       (22)

Результаты проведенных вычислений по каждому образцу показаны в Таблица 8.

Таблица 8

Результаты вычислений

Вывод

Для подтверждения работоспособности представленного метода определения критического значения КИН аналитическим путем, было рассмотрено три материала с разными критическими значениями КИН, найденными по ASTM E-399. Данный метод поддерживает широкий диапазон материалов, обладающих различными критическими значениями КИН. Текущий вывод можно сделать исходя из результатов в Таблица 8, где Образец №1 имеет критическое значение КИН, близкое к минимальному, Образец №2 – близкое к максимальному, а Образец №3 – среднее значение.

Погрешность (δ) при нахождении критического значения КИН по ГОСТ 25.506.95 составляет порядка 9%. Относительная погрешность (Δ) Образец №1 составляет 2.78% (что значительно меньше 9%) Следует отметить, что механические свойства материалов Образец №2 и Образец №3, были взяты из справочника [6], в которых отсутствует критический КИН. Значения критического КИН для рассматриваемых образцов взяты из [7]. В связи с этим существует отдельная погрешность (λ), учитывающая расхождение свойств материала, и она, в совокупности с погрешностью по ГОСТ 25.506.95 (λ + δ), определяет качество полученных результатов. С учетом того, что относительная погрешность (Δ) близка к (δ), можно сделать вывод, что суммарная погрешность (λ + δ) покроет относительную (Δ). В связи с этим, полученные результаты принято считать достоверными.

Результаты данной работы можно использовать в САПР, в частности в CAE – системах, для моделирования распространения трещин.

Литература

1.  М. Сиратори, Т. Миеси, Х. Мацусита. Вычислительная механика разрушения. б.м. : Пер. с японск. – М.:Мир, 1986. стр. 334.

2.  Murakami, Y. Metal Fatigue: Effects of Small Defects and Nonmetallic Inclusions / Y. Murakami // Elsevier. – 2002. – P. 384

3.  Броек, Д. Основы механики разрушения. б.м. : – М.: Высшая школа, 1980. стр. 368 .

4.  Weiss, V. Evaluation of Metallic Materials in Design for Low Temperature Service / V. Weiss, J.G. Sessler // ASTM STP 302. – 1962. - P. 3.

5.  Kaufman, J. G. Aluminum Alloy Castings: Properties, Processes, and Applications / J. G. Kaufman, E. L. Rooy // ASM International. – 2004. – P. 340.

6.  Total Materia: [Электронный ресурс]. М., 1999-2016. URL: http://www.totalmateria.com. (Дата обращения: 09.08.2016). Подробнее: http://www.totalmateria.com/page.aspx?ID=Home&LN=RU

7.  Gross, D. Fracture Mechanics With an Introduction to Micromechanics / D. Gross, T. Seelig. //Springer Heidelberg Dordrecht London New York. – 2011. – P. 336.

 

 

.