О квадратичной зависимости экономических параметров при управлении технологическим процессом

В.Л. Чечулин,
ст. преп., chechulinvl@mail.ru,
ПГНИУ, Пермь

При рассмотрении общего метода управления химико-технологическими процессами, использующего суперпозицию отображений а) параметра управления в параметр качества продукта и б) указанного отображения а) в экономический параметр, показывается, что, в общем виде, зависимость экономического параметра от параметра управления является квадратичной (и приближаема параболой),— эта зависимость указывает на однозначное наличие экстремума (в отличие от линейных зависимостей) и тем самым на разрешимость задачи оптимального (по минимуму текущих издержек) управления процессом.

By consideration of a common method of the management of chemical engineering procedures using superposition of displays a) the parameter of management in the parameter of product quality and b) the specified display a) to the economic parameter, was shown that, in a general view, dependence of economic parameter on the parameter of management is square (and it was brought closer by a parabola) — this dependence specifies unambiguous availability of an extremum (unlike linear dependences) and by that on resolvability of a task optimum (on a minimum of current costs) managements of process.

Общий метод управления химико-технологическими процессами описан в [1], основанием метода является построение суперпозиции отображений

(Y → X) → Z (1),

где X — параметр качества, Y — параметр управления, Z — экономический параметр, подлежащий статистической минимизации при оптимизации в текущем времени параметра управления (и вероятностных ограничениях на качество продукта). Минимизируемая сумма текущих издержек на процесс S состоит из двух слагаемых: S₁ — избыточные затраты (затраты на параметр управления), увеличивающиеся при увеличении параметра управления, и S₂ — упущенная выгода, увеличивающаяся при уменьшении параметра управления относительно его оптимального значения.

Фрагмент диаграммы управления процессом, с одним экономическим параметром приведён на рис. 1; значение избыточных затрат S₁, соответствующее оптимуму управления, принято за единицу 1_1, при этом при увеличении y более чем y₀ качество продукта соответствует вероятностной норме качества.

Рис. 1 Фрагмент диаграммы процесса, y₀ — значение соответствующее оптимальному правлению

Если параметр управления Y – а) материальный параметр, и нет ограничений по использованию ресурсов (это достаточно произвольное предположение, например, для лабораторного эксперимента), то очевидно, что зависимость избыточных затрат от параметра управления — линейна, S₁ ~ 1₁ + k(y–y₀).

В действительности же в для производственного процесса при заданном плане производства ресурсы (в том числе производственные мощности и потоки ресурсов) ограниченны, тогда если увеличили значение параметра управления до y₀+Dy, то есть получили продукт заданного качества, но при этом растратили Dy ресурсов напрасно, оказывается, что за это же время, используя параллельные производственные мощности и Dy растраченных ресурсов (не растрачивая их) могли бы произвести некоторое количество полезного продукта, то есть избыточные издержки умножаются: с одной стороны растраты ресурса, с другой потери времени (из-за уменьшения совокупной производительности), и функция дополнительных издержек имеет квадратичный вид S₁ ~ (y/y₀)²

Для параметров управления: б) время протекания процесса и в) энергия, затрачиваемая на процесс, рассуждения аналогичны, в общем случае, для промышленных процессов функция дополнительных издержек имеет квадратичный вид S₁ ~ (y/y₀)².

Фрагмент диаграммы управления процессом, со вторым экономическим параметром приведён на рис. 2а; значение упущенной выгоды S₂, соответствующее оптимуму управления, принято за единицу 1_2, при этом при уменьшении y менее чем y₀ качество продукта не соответствует вероятностной норме качества.

Для рассуждений вводится перенормировка y*=1/y, рис. 2б, при этом при увеличении y* более чем y₀* на Dy* качество продукта падает ниже нормы (также в линейном приближении, как и в первом случае, см. []), соответственно для переработки некачественного продукта в качественный необходимо занять часть производственных мощностей что снизит общую производительность,— таким образом, перенормированная упущенная выгода S₂(y*) умножается: с одной стороны потери от некачественного продукта, с другой потери времени (из-за уменьшения совокупной производительности при доработке качества некачественного продукта), и функция перенормированной упущенной выгоды S₂(y*) имеет квадратичный вид S₂(y*) ~ (y*/y₀*)².

а) б)

Рис. 2 Фрагмент диаграммы процесса, y₀ — значение соответствующее оптимальному правлению, а) стандартный вид, б) перенормировано y*=1/y

Переходя от перенормировки параметра управления к исходным значениям, получается, что функция упущенной выгоды S₂(y) имеет обратно-квадратичный вид S₂(y) ~ 1/(y/y₀)².

Для параметров управления: б) время протекания процесса и в) энергия, затрачиваемая на процесс, рассуждения аналогичны, в общем случае, для промышленных процессов функция упущенной выгоды S₂(y) имеет обратно-квадратичный вид S₂(y) ~ 1/(y/y₀)².

Рис. 3 Фрагмент диаграммы процесса, приближение функции текущих издержек параболой, y₀ соответствует min(S₁+S₂)

Суммирование квадратичной и обратно-квадратичной функций в экономический параметр Z(y)=S=S₁+S₂ вблизи оптимума управления (минимума min(S₁+S₂) = S(y₀)) приближаемо параболической зависимостью, что позволяет достаточно просто этот оптимум управления по минимуму экономического параметра отыскивать в реализуемых алгоритмах управления.

Таким образом, показано, что с учётом наличия технологической линии с определённым планом производства, имеются следующие виды зависимостей экономических параметров S₁ и S₂ от параметра управления Y.

Зависимость дополнительных издержек S₁(y) от параметра управления Y — квадратична, S₁ ~ y²; ввиду того, что для выполнения плана (при более медленном протекании процессов) необходимо задействовать дополнительное оборудование.

Зависимость же упущенной выгоды S₂(y) от параметра управления — обратно-квадратична,S₂ ~ 1/y², ввиду необходимости задействовать дополнительно (повторно) производственные мощности для обеспечения заданного качества продукта, при допереработке полученного некачественного продукта.

Эти зависимости являются общими для широких классов технологических процессов. Наличие квадратичности (обратной квадратичности) хотя бы в одном из слагаемых S₁ и S₂ обеспечивает существование минимума параметра управления, что и необходимо для построения алгоритма оптимизации.

Литература

1. Чечулин В. Л. Метод пространства состояний управления качеством сложных химико-технологических процессов / монография, Перм. гос. нац. исслед. ун-т. Пермь, 2011.– 114 с.
http://www.psu.ru/files/docs/science/books/mono/chechulin_metod_2012.pdf

2. Чечулин В. Л., Налдаева Е. Н. О линеаризации вблизи оптимума управления качеством // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла про-мышл. Продукта, CAD/CAM/PDM, сборн. тезисов 12-й междунар. конф., ИПУ РАН, М., 2012, с. 43.