Новый подход к проблеме
численного исследования алгоритмов структурной
идентификации для цели
проектирования САУ
К.С. Гинсберг,
с.н.с., к.т.н., доц., ginsberg@mail.ru
ИПУ РАН, г. Москва
Предлагаются новые подходы к проблемам численного
исследования и синтеза алгоритмов структурной идентификации технического
объекта.
New
approaches to problems of numerical research and synthesis of algorithms of
structure identification of technical object are offered.
Введение
Настоящая работа является продолжением доклада К.С.
Гинсберга [1], опубликованного в Трудах 14-й Международной
конференции CAD/CAM/PDM – 2014.
В статье [2] приведена обширная библиография научных
работ в области структурной идентификации. Анализ этих работ показывает, что в их
содержании практически полностью отсутствуют детальные численные исследования
алгоритмов структурной идентификации. Данный факт может быть объяснен только существенными
трудностями, возникающими при постановке цели численного исследования, определении
условий и требований решаемой вычислительной задачи, создании прикладной интерпретации
результатов численного исследования.
Представляется, что указанные трудности
возникают из-за того, что в традиционном содержании научных исследований по
структурной идентификации практически полностью отсутствуют описания ее системного
окружения; инженерной практики, в рамках которой она реализуется; интеллектуальной
деятельности коллектива разработчиков САУ. Иными словами, в традиционном
содержании исследований практически полностью отсутствуют конкретные
представления о реальных или возможных условиях практического применения
алгоритмов структурной идентификации, на основе которых можно разработать содержательную
и математическую постановки проблемы численного исследования и осуществить
прикладную интерпретацию полученных численных результатов.
Представляется, что включение указанных
конкретных представлений в содержание научных работ по структурной идентификации
позволит существенно уменьшить трудности организации численных исследований. Данная идея лежит в
основе предлагаемого нового подхода к проблеме численного исследования
алгоритмов структурной идентификации.
Согласно новому подходу, численные исследования
необходимо начинать с содержательной постановки, которая в наиболее полном
составе содержит (непосредственно или в виде ссылок на имеющиеся в научной
литературе нормативные модели):
·
нормативную модель структурной идентификации, в рамках которой предполагается
применение изучаемых алгоритмов структурной идентификации для цели проектирования
САУ;
·
нормативную модель системного окружения структурной идентификации;
·
нормативную модель той части инженерной практики, в рамках которой
реализуется структурная идентификация и ее системное окружение.
В качестве примера, иллюстрирующего возможности
нового подхода, в разделе 1 настоящего доклада приводится содержательная
постановка проблемы численного исследования алгоритмов выбора порядка, в
разделе 2 – прикладная интерпретация результатов численного исследования. В разделе 3 доклада предлагается
новый подход к синтезу алгоритмов выбора порядка
полиномиального описания технического объекта.
1. Содержательная постановка проблемы численного исследования
1) На текущей итерации структурной идентификации
сформулированы 6 рабочих гипотез 
, 
вида
(1),
где 
– адекватная
математическая модель технического объекта, заданная функцией 
; 
– ненаблюдаемая
выходная переменная; 
; 
– наблюдаемая входная
независимая переменная; 
(
) – заданное натуральное число; 
– заданные
конкретные числа; 
– вектор-столбец неслучайных параметров; 
– заданный многочлен 
-й степени; 
; 
– номер гипотезы.
2) Выбор «наилучшей» рабочей гипотезы 
осуществляется из заданного
набора гипотез 
, 
с помощью алгоритма
Маллоуcа 
[3], его параметризованного
варианта 
, алгоритма Вапника 
[4] и его параметризованного варианта 
.
Параметризация
классического алгоритма Маллоуса осуществляется путем введения в алгоритм
нового параметра 
. Параметризация классического алгоритма Вапника
осуществляется путем отказа от вероятностной интерпретации параметра 
как уровня надежности
минимизации риска по эмпирическим данным.
3) Алгоритмы Маллоуcа , Вапника , а также их параметризованные
варианты , применяется на предпроектных стадиях создания САУ, организованными
в соответствии с требованиями нормативной модели указанных стадий, приведенной
разделе 1.1 настоящей работы.
Алгоритмы Маллоуcа, Вапника, также
их параметризованные варианты применяются в
рамках структурной идентификации, организованной с соответствии с требованиями нормативной
модели структурной идентификации, приведенной в разделе 1 работы [1].
Считается, что структурная
идентификация является частью поиска адекватной математической модели технического
объекта для цели проектирования САУ, который организован в соответствии с нормативной
моделью этого поиска, приведенной в разделе 1 работы [1].
4) Вопрос: какое
прикладное назначение имеют алгоритмы Маллоуcа, Вапника, а также их параметризованные
варианты как процедуры выбора определенной математической
гипотезы из заданного набора математических гипотез для наилучших условий
практического применения этих алгоритмов в рамках инженерной практики создания
САУ, т.е. для ситуаций, когда наиболее общая гипотеза 
является истинной?
1.1.
Нормативная модель предпроектных стадий создания САУ
В настоящем разделе конкретизируются
представления о структурной
идентификации технического объекта, изложенные в работе [1], путем указания предпроектной стадии создания САУ, на
которой реализуется структурная идентификация.
Для осуществления этой конкретизации разрабатывается нормативная модель
предпроектных стадий создания САУ для технического объекта, идентификация которого содержит в своем составе структурную
идентификацию.
При разработке нормативной модели автор
доклада исходил из гипотезы, что трудности создания САУ для технического объекта,
который слабо изучен как объект управления, сравнимы по интеллектуальным
затратам с трудностями разработки автоматизированной системы (АС). Последнее означает,
что при выборе состава стадий и этапов интеллектуальной деятельности коллектива
разработчиков, отражаемых в нормативной модели, можно в качестве оснований для
выбора учесть определенные инженерные представления о процессе конструирования
автоматизированных систем, зафиксированные в различных нормативных документах.
Инженерные представления о процессе конструирования
АС отражены в действующих национальных стандартах РФ, нормах и рекомендациях в
области стандартизации, а также в широко используемых справочниках для инженеров.
Например, согласно рекомендациям Р 50-54-104-88 [5] процесс
создания гибкой производственной системы (ГПС) (частью которой может быть САУ)
состоит из семи стадий: предпроектная; исследование и обоснование ГПС;
техническое задание (ТЗ); технический проект; рабочая документация;
изготовление компонентов ГПС; ввод в действие ГПС. Согласно рекомендациям [5]:
1)
«На
первой стадии разрабатывается документация, позволяющая определить с позиции
заказчика целесообразность создания ГПС и ожидаемые технико-экономические
показатели, общие требования на проектирование и поставку ГПС»;
2)
«На
второй проводят научно-исследовательские работы по обоснованию возможности реализации
требований заказчика, прорабатываются варианты ГПС и выбирают оптимальный»;
3)
«На
стадии ТЗ разрабатывается и оформляется задание на создание ГПС, согласовываются
поставки оборудования» [5].
Аналогичные стадии с
точки зрения содержания работ задает ГОСТ 34.601-90 [6]: формирование
требований к автоматизированной системе (АС); разработка концепции АС;
техническое задание; эскизный проект; технический проект; рабочая документация;
ввод в действие; сопровождение АС.
В стандарте
[6] вторая стадия имеет название «Разработка концепции АС» и включает этапы:
i)
изучение объекта;
ii)
проведение необходимых
научно-исследовательских работ;
iii)
разработка вариантов концепции АС и выбор
варианта концепции АС, удовлетворяющего требованиям Заказчика;
iv)
оформление
отчета о выполненной работе.
В справочнике
для инженера по АСУТП [7] вторая стадия имеет название «Разработка концепции
АСУТП» и включает этапы:
i)
детальное обследование объекта автоматизации;
ii)
анализ и оценку адекватности требований
Заказчика;
iii)
разработку альтернативных вариантов
построения АСУТП и выбор наиболее предпочтительного варианта построения АСУТП.
В рекомендациях [5]
два первых этапа второй стадии соответственно названы: «Обследование (сбор и
анализ данных) автоматизированного предприятия», «Проведение НИР». В стандарте
[6] эти этапы имеют названия «Изучение объекта», «Проведение необходимых
научно-исследовательских работ».
По аналогии
с работами [5 – 7] в нормативную модель предпроектных стадий создания САУ для технического объекта, который слабо изучен как объекта
управления, включены три стадии:
1)
Формирование требований к САУ.
2)
Разработка концепции САУ.
3)
Разработка и утверждение технического задания
на создание САУ.
Первая
предпроектная стадия создания САУ содержит этапы:
i)
обследование технического объекта и
обоснование необходимости создания САУ;
ii)
формирование требований Заказчика к САУ;
iii)
оформление отчета о выполненной работе и
заявки на разработку САУ (тактико-технического задания).
Этап i) включает:
·
сбор
данных о техническом объекте как объекте управления;
·
оценку
качества функционирования технического объекта;
·
выявление
проблем, которые можно решить путем создания САУ;
·
оценку
технико-экономической целесообразности создания САУ.
На этапе ii) проводится:
·
подготовка
исходных данных для формирования требований к САУ (общая характеристика технического
объекта как объекта управления; описание требований к САУ; допустимые затраты
на разработку, ввод в действие и эксплуатацию; эффект, ожидаемый от САУ;
условия создания и функционирования САУ);
·
формулирование
и оформление требований Заказчика к САУ.
Вторая
предпроекная стадия создания САУ включает этапы:
i)
детальное
изучение технического объекта как объекта управления;
ii) проведение
научно-исследовательских работ (НИР) по поиску базовых средств реализации
требований Заказчика и достоверной оценки возможности коллектива разработчиков
выполнить эти требования;
iii) разработка
предварительного (базового) проекта создания САУ.
В рамках изложенной
нормативной модели структурная идентификация реализуется на первом и втором
этапах второй предпроектной стадии создания САУ, названной «Разработка
концепции САУ». Именно основные проблемы структурной идентификации являются
главными проблемами второй предпроектной стадии создания САУ для технического объекта, который слабо изучен как объекта
управления.
Основным результатом
первых двух этапов второй предпроектной стадии должно быть приемлемое, с точки
зрения коллектива разработчиков, приближение к адекватной математической модели
технического объекта для цели проектирования САУ, необходимое для реализации
проектных стадий создания САУ. Считается, что САУ, сконструированная на основе
данного приближения, будет удовлетворять ключевым требованиям Заказчика в условиях
опытной эксплуатации.
2.
Интерпретация результатов численного исследования
На основе содержательной постановки, изложенной в
разделе 1 настоящего доклада, разработана окончательная математическая
постановка проблемы численного исследования алгоритмов структурной идентификации.
Эта постановка создана на основе предварительной математической постановки, изложенной
в работе [8]. В настоящем разделе приводится окончательная интерпретация
результатов численных исследований алгоритмов Маллоуcа, Вапника, также
их параметризованных вариантов.
Из анализа результатов численного исследования следует,
что применение классических алгоритмов выбора порядка (т.е. алгоритмов Маллоуcа
и Вапника) и их параметризованных вариантов не
гарантирует повышения точности оценивания выходной переменной технического
объекта. На основе анализа можно вывести
только общую тенденцию:
·
при малых отношениях сигнал/шум применение классических алгоритмов и их
параметризованных вариантов существенно увеличивает точность оценивания выходной
переменной технического объекта;
·
с увеличением отношения сигнал/шум в рамках определенного диапазона значений
сигнал/шум применение классических алгоритмов и их параметризованных вариантов
существенно уменьшает точность оценивания выходной переменной.
Содержательно результаты численного исследования иллюстрируют
катастрофические прикладные последствия для точности оценивания выходной переменной,
вызванные полным доверием коллектива разработчиков к алгоритму выбора порядка и
включением этого алгоритма в состав автоматической процедуры окончательного
оценивания выходной переменной. Коллектив разработчиков рискует в этом случае получить
полиномиальное описание технического объекта, использование которого приведет к
построению процедуры оценивания, которая будет значительно хуже оценивать
выходную переменную, чем процедура оценивания, построенная на основе имеющегося
до выбора полиномиального описания 5-го порядка. Такая ситуация, по-видимому,
может возникнуть при любом конечном числе измерений, используемых алгоритмом
выбора порядка, и любом ненулевом значении дисперсии помехи измерения.
Только опытные испытания параметрической
математической модели, выбранной с помощью алгоритма выбора порядка, с участием
коллектива разработчиков в этих испытаниях в качестве ЛПР, эксперта и интерпретатора
результатов испытаний позволяют исключить из дальнейшего рассмотрения и использования
математическую модель, которую неудачно выбрал алгоритм выбора порядка.
Алгоритмы выбора порядка являются
частью процесса порождения нового знания об адекватной модели технического
объекта для цели проектирования САУ. Субъектом
данного процесса является коллектив разработчиков, который руководствуется
установками гипотетико-дедуктивного метода познания. Алгоритмы выбора порядка используются
на самом начальном этапе порождения нового знания, когда из заданного набора
математических гипотез с помощью этих алгоритмов выбирается определенная
математическая гипотеза. Однако гипотеза, как ее не называть («наилучшей» или
по-другому), есть только обоснованное предположение. А каждое предположение
может быть верным или не верным.
Классические алгоритмы выбора порядка и их
параметризованные варианты следует интерпретировать как процедуры предварительного
выбора порядка. Их можно в указанном качестве рекомендовать к использованию в
итерационных процедурах структурной идентификации. Они позволяют выбрать пробный
порядок математической модели, которую коллектив разработчиков должен теоретически
и экспериментально исследовать с целью определения ее полезности для проектирования
САУ.
На основе результатов численного исследования можно
также сделать вывод, что классические алгоритмы выбора порядка не являются
наилучшими в параметрических семействах алгоритмов, которые в настоящей работе
созданы путем параметризации классических алгоритмов. Например, классический
алгоритм Маллоуса не является наилучшим в параметрическом семействе алгоритмов,
которое создано путем введения в указанный алгоритм нового параметра . Аналогично классический алгоритм Вапника не является
наилучшим в параметрическом семействе алгоритмов, которое создано на его основе
путем отказа от вероятностной интерпретации параметра как уровня надежности
минимизации риска по эмпирическим данным.
На основе численных экспериментов можно сделать
вывод, что классические алгоритмы где-то выбирают порядок лучше, а где-то хуже,
чем другие алгоритмы из созданного на их основе параметрического семейства
алгоритмов, если оценивать качество полученных после параметрической идентификации
эмпирических моделей по критерию среднего квадрата ошибки оценивания выходной
переменной технического объекта. Поэтому нельзя полагать, что только
классические алгоритмы выбора порядка должны использоваться в инженерной
практике создания САУ.
Проблема состоит в том, какой алгоритм выбора
порядка из указанных параметрических семейств алгоритмов коллектив разработчиков
должен выбрать на текущей итерации структурной идентификации? Один из возможных
подходов к решению этой проблемы обсудим в разделе 3.
3. Новый
подход к проблеме синтеза олтимального алгоритма выбора порядка
В настоящее время имеется большое число научных
исследований (см. библиографию по структурной идентификации,
приведенную в работе [2]), в которых приведено описание существующих методов
синтеза алгоритма структурной идентификации. На основе этих исследований можно
сделать вывод, что одним из основных направлений научных исследований является
поиск теоретического критерия, характеризующего
качество построенной математической модели технического объекта.
Обзор предложенных теоретических критериев, на
основе которых, в идеале, должен выбираться алгоритм структурной идентификации
при построении регрессионной модели технического объекта, приведен в работе
И.И. Перельмана [9]. Относительно предложенных теоретических критериев в этой
работе отмечается: «Хотя критерии типа (31) и (32) весьма привлекательны, в
смысле полноты отражения качества конструируемого ОПВР, возможности их
непосредственного применения ограничены тем, что для их вычисления требуется
задание неизвестных характеристик объекта и характеристик ненаблюдаемых возмущений.
Известен ряд подходов, направленных на обход указанных трудностей» ([9] , с.
17).
Все известные в настоящее время подходы,
направленные на обход указанных И.И. Перельманом трудностей, по сути дела,
предлагают одно и то же: заменить непосредственно не вычисляемый теоретический
критерий его эмпирической оценкой. Различие в подходах состоит только в том,
как конструируется эмпирическая оценка. Например, в классическом алгоритме
Маллоуса [3] пробный порядок полиномиального описания находится путем минимизации
эмпирической оценки, которая является несмещенной оценкой определенного
теоретического критерия. В классическом алгоритме Вапника [4] пробный порядок
находится путем минимизации эмпирической оценки, которая является правым концом
доверительного интервала другого теоретического критерия.
Эмпирическая оценка теоретического критерия
конструируется таким образом, чтобы ее значение зависело от параметрической
математической модели, используемой при построении математической модели
технического объекта. Поэтому желательная параметрическая математическая модель
традиционно находится путем минимизации или максимизации эмпирической оценки
как ее определенная точка экстремума.
На основе идеи перехода от непосредственно не
вычисляемого теоретического критерия к его эмпирической оценке разработано
большое число алгоритмов структурной идентификации. Если к этим алгоритмам
добавить алгоритмы, созданные на основе применения методов теории проверки
гипотез, идеи перепроверки, эмпирических критериев качества математической
модели, то трудно представить, какое число алгоритмов структурной идентификации
накоплено в научных исследованиях по структурной идентификации. К сожалению,
относительно свойств разработанных алгоритмов в реальных и модельных ситуациях
мало что известно из-за практически полного отсутствия их аналитических и
численных исследований. Более того, в настоящее время отсутствует теоретический
критерий, характеризующий качество алгоритма структурной идентификации, с
помощью которого можно сравнить разработанные алгоритмы и выбрать наилучший.
С точки зрения автора, ключевую теоретическую
характеристику алгоритма выбора порядка можно сконструировать, руководствуясь
примерно той же идеей, на основе которой в математической статистике [10]
введено понятие об эффективности статистической оценки неизвестного
неслучайного скалярного параметра. Согласно этой идее, эффективностью
несмещенной статистической оценки названо отношение, числителям которой
является нижняя граница неравенства Рао-Крамера для дисперсий статистических
несмещенных оценок, а знаменателем дисперсия статистической оценки, эффективность
которой вычисляется [10]. Считается, что указанное отношение можно интерпретировать
как эффективность статистической оценки даже если не существует несмещенная
статистическая оценка, дисперсия которой равна нижней границе неравенства
Рао-Крамера.
Обобщая вышеизложенную идею, введем понятие об
эффективности алгоритма выбора порядка. Эффективностью алгоритма выбора порядка
назовем отношение двух средних квадратов ошибки оценивания выходной переменной
технического объекта для разных алгоритмов выбора порядка. Числителем отношения
является средний квадрат ошибки оценивания 
, вычисленный для автоматической процедуры оценивания
выходной переменной, построенной с использованием эталонного алгоритма 
выбора порядка,
который интерпретируется как эталон алгоритма выбора порядка. Знаменатель
отношения – средний квадрат ошибки оценивания 
, вычисленный для автоматической процедуры оценивания
выходной переменной, построенной с использованием алгоритма выбора порядка 
, эффективность которого определяется. 
- вектор
неслучайных неизвестных параметров параметрической математической модели,
которая на текущей итерации структурной идентификации интерпретируется как адекватная
параметрическая математическая модель технического объекта.
В качестве эталонного алгоритма выбора порядка предлагается
взять теоретически возможный, но физически нереализуемый алгоритм, который
способен оптимально выбрать порядок, но при условии наличия в составе возможных
для данного алгоритма исходных данных значения вектора параметров .
Поэтому
средний квадрат ошибки оценивания , который является числителем эффективности, можно
интерпретировать как величину, характеризующую предельные возможности физически
реализуемых алгоритмов выбора порядка.
Учитывая
данную интерпретацию, а также интерпретацию эффективности 
как характеристику
способности алгоритма осуществить выбор порядка
аналогично алгоритму , зависимость от значений вектора 
будем рассматривать
как ключевую теоретическую характеристику алгоритма выбора порядка.
Иными
словами, в качестве ключевой теоретической характеристики алгоритма выбора
порядка будем рассматривать функцию
, 
, 
(2),
в
которой вектор интерпретируется как
вектор независимых переменных.
На основе 
(2) можно задать
различные интегральные характеристики алгоритма выбора порядка , которые характеризуют свойства этого алгоритма в целом. В качестве
одной из таких характеристик возьмем наименьшее значение эффективности
алгоритма на множестве допустимых
значений вектора параметров 
:
(3),
где 
– заданное множество.
В
настоящей работе интегральная характеристика (3) рассматривается как теоретический
критерий качества алгоритма выбора порядка и интерпретируется
как теоретическая оценка полезности этого алгоритма на текущей итерации
структурной идентификации.
На
основе использования теоретического критерия (3) можно сформулировать новый
подход к синтезу алгоритмов выбора порядка. Согласно этому подходу, на текущей
итерации структурной идентификации в качестве оптимального алгоритма выбора
порядка следует выбрать алгоритм, который обеспечивает наибольшее значение интегральной
характеристике (3) на заданном семействе физически реализуемых алгоритмов
выбора порядка.
Оптимальный
алгоритм выбора порядка так же, как классические алгоритмы выбора порядка и их параметрические
варианты, является процедурой предварительного выбора порядка. По этому
свойству он не отличаются от классических алгоритмов. Его принципиальное
отличие состоит в том, что он способен обеспечить максимально возможное
значение эффективности при самом неблагоприятном для алгоритма выбора порядка значении
вектора . Иными словами, его существенные свойства, насколько это
возможно для заданного семейства алгоритмов, в котором этот алгоритм является
наилучшим, подобны базовым свойствам эталонного алгоритма .
Содержание
настоящего раздела хорошо иллюстрирует особенности нового подхода к проблеме
синтеза оптимальных алгоритмов выбора порядка. Суть нового подхода – в
разработке методов статистического синтеза оптимального
алгоритма выбора порядка на основе постановки
и решения максиминных задач.
Литература
1.
Гинсберг К.С. О существенных признаках структурной
идентификации технического объекта для цели проектирования системы
автоматического управления // Системы проектирования, технологической подготовки
производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/CAM/PDM – 2014).
Труды 14 -й Международной конференции. 2014.
2.
Гинсберг К.С. Концепция
научного проектирования инженерного моделирования для слабо изученных объектов
управления: новый подход к проблемам структурной идентификации // Труды IX Международной конференции «Идентификация систем и задачи
управления» SICPRO ‘12. Москва, 30 января - 2
февраля
3.
Mallows C.L. Some comments
of 
// Technometrics. 1973. Vol. 15. № 4.
P. 661-675.
4.
Вапник В.Н, Глазкова Т.Г. и др. Алгоритмы и программы
восстановления зависимостей. М: Наука, 1984. 816 с.
5.
Р
50-54-104-88. Системы производственные гибкие. Состав работ и документация. –
М.: ВНИИНМАШ, 1989.
6.
ГОСТ 34.601-90. Информационные технологии.
Комплекс стандартов на автоматизированные системы. Автоматизированные системы.
Стадии создания.
7.
Федоров Ю.Н. Справочник инженера по
АСУТП: Проектирование и разработка. Учебно-практическое пособие. М.: Инфра-Инженерия, 2008. 928 с.
8.
Гинсберг К.С. О структурной идентификации слабо изученного
объекта управления на предпроектных стадиях создания САУ // Труды 13-й международной
конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и
управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD/CAM/PDM
–2013). М.: ООО «Аналитик», 2013. С. 46-50.
9.
Перельман И.И. Методология выбора структуры
модели при идентификации объектов управления // АиТ.
1983. № 11. С. 5-29.
10.
Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир,
1975. 648 с.