Многокритериальная оптимизация в задачах предварительного аэродинамического

проектирования в условиях неопределённости

Г.С. Вересников,
с.н.с., к.т.н., veresnikov@mail.ru,
Л.А. Панкова,
с.н.с., к.т.н., ludmila_pankova @bk.ru,
В.А. Пронина,
с.н.с., к.т.н., pron@ipu.ru,
ИПУ РАН, г. Москва 

В статье рассматривается подход к решению задач предварительного аэродинамического проектирования с помощью методов многокритериальной оптимизации в сочетании с теорией неопределенности китайского математика Баодина Лю. В статье описывается методика решения задач предварительного аэродинамического проектирования и в качестве примера предлагается постановка задачи проектирования весовой сводки летательных аппаратов как задачи многокритериального неопределенного программирования. Результатом применения предложенных методов является Парето оптимальное множество решений, состоящее из значений целевых функций и соответствующих им значений входных переменных.

The paper presents an approach to solving problems prior aerodynamic design using multi-criteria optimization methods in combination with the theory of uncertainty of Chinese mathematician Baoding Liu. This article describes how to solve problems and preliminary aerodynamic design as an example proposed formulation of the problem of designing a summary of aircraft weight as the problem of multi-criteria indefinite programming. The result of applying the proposed method is Pareto optimal set of solutions consisting of the objective function and the corresponding values of the input variables.

Постановка и решение задачи предварительного аэродинамического проектирования весовой сводки летательных аппаратов

Схема нахождения решения с помощью многокритериальной оптимизации в задачах предварительного аэродинамического проектирования в условиях неопределенности представлена на рис. 1. Предлагаемая схема разработана на основе теории неопределенности китайского математика Баодина Лю [2-5].

рис. 1 Схема решения задачи аэродинамического проектирования

Для постановки задачи предварительного аэродинамического проектирования весовой сводки летательных аппаратов как задачи многокритериального неопределенного программирования на базе экспертных оценок входных неопределенных параметров, используются расчетные формулы из [1]. В таблице 1 представлены проектируемые параметры, в таблице 2 ─ входные неопределенные параметры, в таблице 3 ─ целевые функции.

Таблица 1

Вектор решений

x1	S [m^2]	Площадь омываемой поверхности
x2	V [m^3]	Объем самолета
x3	g [kg/m^3]	Средняя плотность
x4	M01 [kg]	Масса авионики-экипажа-доп. оборудования
x5	M02 [kg]	Масса экипажа
x6	Mv [kg]	Масса доп. оборудования
x7	P [kg]	Форсажная тяга на H = 0, M = 0
x8	g2(Vc)	Относительный вес

Таблица 2

Вектор неопределённых параметров

ξ1	Km	Коэффициент использования композитов
ξ2	Keq	Коэффициент технологии
ξ3	Kf	Коэффициент фирмы

Таблица 3

Целевые функции

f1	Mtoff [kg]	Взлетный вес
f2	Memp [kg]	Масса пустого самолета
f3	Mk [kg]	Масса корпуса
f4	Mt [kg]	Масса топлива

Целевые функции в имеют вид [1]:

,

,

,

,

.

Пусть неопределенные входные параметры , , имеют линейные функции распределения неопределенности L(a,b) и соответствующие им обратные функции распределения, причем a_i, b_i, i = 1, 2, 3, задаются экспертами: L(-0.12,-0.08), L(0.5,0.9), L(0.7,1.3). В общем виде, кроме линейной могут использоваться другие типы функций распределения неопределенной переменной: зигзагообразная, нормальная, логнормальная и др.

Взлетный вес, масса пустого самолета и масса корпуса должны быть минимизированы, а масса топлива − максимизирована. Для единообразия вводится функция.

Постановка задачи предварительного аэродинамического проектирования весовой сводки летательных аппаратов как задачи многокритериального неопределенного программирования имеет вид:

при ограничениях на входные переменные: 259≤x₁≤319, 55≤x₂≤95, 380≤x₃≤580, 3000≤x₄≤5000, 550≤x₅≤850,1000≤x₆≤1800, 30400≤x₇≤42400, 0,07≤x₈≤0,13.

Так как функции ,,, ─ строго возрастающие по , , , то по теореме 4 [2-5] получаем математические ожидания целевых функций:

,

,

.

Для решения поставленной задачи использовался многокритериальный генетический алгоритм пакета Матлаб 2012 (solver Multiobjective optimization using Genetic Algorithm). В результате его применения получено Парето оптимальное множество решений (фрагмент дан в таблице 4) и соответствующие им Парето-решения (таблица 5), которые используются для выбора решения наиболее подходящего под условия проектирования.

Таблица 4

Множество Парето (фрагмент)

№	E[f1]	E[f2]	E[f3]	|E[f4^’]|
1	21193.41	12305.90	6504.28	7337.51
2	21902.98	11967.42	6525.38	8004.99
3	47429.98	13275.65	7058.01	32346.96
4	50942.89	13224.75	7106.33	35701.56
5	51087.27	13215.89	7101.43	35852.36
6	22611.83	12231.82	6533.04	8550.87
7	50604.15	13269.40	7091.79	35383.40

Таблица 5

Парето-решения (Фрагмент)

№	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
1	259.00	55.00	380.00	3000.0	550.00	1000.0	30400	0.070
2	259.80	55.04	386.29	3001.4	582.57	1348.0	30530	0.070
3	260.92	89.34	525.92	3267.1	601.32	1206.0	31518	0.074
4	261.83	91.35	550.98	3343.3	637.88	1378.7	31618	0.074
5	261.61	91.43	552.09	3341.7	638.95	1380.0	31644	0.074
6	259.87	55.36	398.74	3109.9	585.60	1243.5	30566	0.071
7	261.57	90.71	551.84	3340.7	636.86	1314.4	31618	0.074

Заключение

В статье предложена схема нахождения решения с помощью многокритериальной оптимизации в задачах предварительного аэродинамического проектирования в условиях неопределенности. Поставлена и решена задача предварительного аэродинамического проектирования весовой сводки летательных аппаратов как задача многокритериального неопределенного программирования, сведенная к четкой постановке.

Литература

1. L.G. Kolokolova. Metod obobshchёnnyh modelej svojstv samolёta dlja ètapa rannego proektirovahija. TVF. № 5-6, 1995.

2. Liu B, Uncertainty Theory, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2007.

3. Liu B, Theory and Practice of Uncertain Programming, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2009.

4. Liu B, Why is there a need for uncertainty theory? Journal of Uncertain Systems, Vol.6, No.1, 3-10, 2012.

5. Liu B., Uncertainty Theory: A Branch of Mathematics for Modeling Human Uncertainty, Springer-Verlag, 2011.