Воксельное графическое 3D-моделирование

Е.А. Лоторевич,

препод. каф. ИГ,

А.В. Толок,

д.т.н., зав. каф. ИГ, МГТУ «Станкин», г. Москва

Развитие систем аналитического моделирования предполагает получение компьютерных геометрических моделей (КГМ) с наиболее точным представлением геометрических характеристик для методов инженерного расчёта. Проблема наглядности аналитического моделирования приводит к решению задач визуальной компоновки графического представления таких моделей. Наиболее удобным графическим представлением для аналитической модели, получившим широкое применение в системах аналитического моделирования является воксельное графическое представление. В работе рассматриваются основные принципы пространственной визуальной компоновки аналитических моделей, отображённых в воксельном графическом пространстве.

 

Development of systems of analytical modeling assumes offer the computer geometrical models (CGM) with the most exact submission of geometrical characteristics for methods of engineering calculation. The problem of presentation of analytical modeling leads to the solution of problems of visual configuration of graphic representation of such models. The most convenient graphic representation for the analytical model, received broad application in systems of analytical modeling is voksel graphic representation. In work the basic principles of spatial visual configuration of the analytical models displayed in voksel graphic space are considered.

Введение

Аналитическое моделирование активно развивается, но существующие методы визуализации зачастую позволяют представить лишь законченное решение, обходя возможность визуальной компоновки сложной функции, складываемой из более простых элементов. В первую очередь, это связано с тем, что аналитическое моделирование (например, RFM (R-функциональное моделирование) [1,2]) имеет предикатное представление модели типа  и наиболее информативно может быть представлено лишь растровой (воксельной) графической моделью (РГМ). Не случайно, основная часть систем аналитического моделирования базируется на воксельном представлении графических моделей. Однако, для геометрического моделирования сложного аналитического объекта РГМ, как результат отображения геометрии объекта,  должна содержать его геометрические свойства. Эти свойства должны корректно определять значение функции  в любой точке моделируемого объекта.

Наиболее полным и точным представлением геометрической модели (ГМ) является её аналитическое описание, которое зачастую является основой для получения компьютерного дискретного представления.

Научная визуализация, работая с аналитическим представлением моделей (АГМ), в большинстве базируется на применении средств растровой графики, поскольку та имеет больший набор аппаратных средств для наглядного представления математического описания в точечном пространстве. Однако, не все системы научной визуализации формируют при этом ГМ на основе РГМ (в дальнейшем предлагается обозначать как РГМ(ГМ)). Одной из таких систем является система РАНОК [3,4], задача которой заключается в формировании ГМ математического объекта, представленной РГМ(ГМ) и достаточной для выполнения основных задач геометрического моделирования на графической основе [5].

Постановка задачи

В основу организации РГМ входит главное отличие от векторной графической модели (ВГМ) - принцип 2,5D-пространства. Этот принцип широко применим в растровой графике. Он эмитирует на плоскости характеристики трёхмерного пространства. Например, функция

                                                                (1)

на рисунке 1а представлена ВГМ, а на рисунке 1б – РГМ. В обоих случаях отображается высотное отношение точек геометрической модели.

            

                  а)                                                                                                 б)

рис.1. Пример изображения инвариантов геометрической модели поверхности средствами:

а). 3D-объект ВГМ,   б). 2,5D-объект РГМ.

Процесс исследования формы геометрической модели – часто возникающая задача в геометрическом моделировании и требует перехода от высотных отметок к градиентным характеристикам. В случае ВГМ этот процесс можно представить привязкой элементов нормального поля в узлах каркасной сетки, представляющей ВГМ, а в случае с РГМ нормальное векторное поле отображается 2,5D-образной информацией по каждому компоненту нормали. На рисунке 2 представлены растровые образы нормированных величин косинусов нормального поля для рассматриваемой ранее функции (1). Совокупность этих образов составляет основу РГМ(ГМ). В работах [1-4] рассматриваются различные применения представленной РГМ(ГМ) в решении математических задач и определён класс таких образов как моделей, несущих некоторую локальную геометрическую характеристику функции (М-образы).

рис.2. М-образы нормального поля поверхности функции: а) ; б) ; с) .

Рассмотрим вопрос полноты предлагаемой РГМ(ГМ). Возможны ли геометрические преобразования над объектами, представленными РГМ(ГМ)?

Булевы операции. Одной из важных функциональных операций в геометрическом моделировании являются Булевы операции. Рассмотрим возможность работы РГМ(ГМ) с математическим аппаратом R-функций для получения объединённой модели с образной информацией, соответствующей её аналитическому прототипу.

Для построения РГМ(ГМ) применим принцип аппроксимации поверхности функции касательными плоскостями. Для каждой точки пространства функции  определим тройку окрестных точек не лежащих на одной прямой , где .

Функция определения плоскости по трём точкам выражается из определителя по формуле:

                       (2)

Коэффициенты касательной плоскости, нормируем до косинусных компонентов нормали для выбранной окрестности точки нормального поля с той разницей, что в отличие от принятого способа получения трёхкомпонентного нормального поля в процессе нормирования используются все четыре коэффициента полученной касательной плоскости :

                                 (3)

Далее установим некоторое соответствие скалярных полей  с их растровым представлением , выразив через градацию интенсивности тона монохромной палитры .

.                           (4)

        

рис.3. М-образы Сх для заданных функций и их объединения.

Четыре растровых монохромных слоя представляют РГМ(ГМ) функции в евклидовом пространстве .

Пример. Рассмотрим пример пересечения функций двух окружностей, описанных соответственно:

На рисунке 3 изображены М-образы  для функций  и их объединения  с применением аппарата R-функций. Для наглядности выбрана положительная область этих функций.

 

Рассмотрим применение аппарата R-функций не непосредственно к предикатам , а новому представлению РГМ(ГМ), где уравнение предиката принимает единую структуру вида: . Коэффициенты  вычисляются для каждой точки предиката исходя из численных значений пикселя РГМ(ГМ):

В результате, для рассматриваемого случая имеем объединение двух РГМ(ГМ): , . Предикатные уравнения с применением параметров РГМ(ГМ) принимают вид:

 и , где ,

Далее применяется математический аппарат R-функций для получения нового РГМ(ГМ)3 как объединение двух РГМ(ГМ)1 и РГМ(ГМ)2 для окружностей:

.

Дальнейшее преобразование каждой тройки высотных значений  для окрестности точек математического объекта аналогично приведенным преобразованиям (2), (3) и (4) формирует данные М-образов искомой РГМ(ГМ)3. Аналогичным путем получаем пересечение двух РГМ(ГМ).

Результат получения М-образа  как объединения  представлен на рисунке 4а. Результат получения М-образа  как пересечения  представлен на рисунке 4б.

        

а)                                                            б)

рис.4. Результирующий М-образ Сх3 для РГМ(ГМ)3, полученный:

а) объединением  РГМ(ГМ)1 и РГМ(ГМ)2; б) пересечением РГМ(ГМ)1 и РГМ(ГМ)2.

Сдвиг. Для реализации динамического перемещения РГМ в растровом (воксельном) пространстве используем аналогичный расчёт смещения на целочисленный промежуток :

.

Вместо привычных координат пространства , используются индексы массива, представляющего растровое (воксельное) пространство .

Поворот. Проведённый анализ показывает, что существующие методы вращения растровых изображений в пространстве не отвечают главному требованию растрового геометрического моделирования: полное сохранение информации в ходе преобразования. Существует много способов реализации поворота растрового изображения. Чаще всего он выполняется с помощью матрицы поворота.

 

 

К недостаткам данного метода относится искажение изображения, характеризуемое смещением точек растра относительноих исходного положения при округлении значений координат и накапливаемое в процессе выполнения ряда последовательных вращений. Для улучшения качества выводимого изображения и уменьшения этих геометрических искажений используют аппроксимирующие значения яркости точек, определяемые с учетом разницы линейного шага в ортогонально расположенном к координатной оси линейном объекте и объекте, расположенном под непрямым углом (рис.5).

           

рис.5. Возникновение искажения (муара) на изображении после использований матрицы поворота

Проблему возникновения искажения можно решить, если не основываться на изменении взаимного расположения ячеек массива данных друг относительно друга, а оперировать информацией находящейся в этих ячейках. В данном конкретном случае при повороте образов-моделей необходимо оперировать изменением дифференциальных геометрических характеристик воксельного объекта. Так как формирование образ модели основано на принципе соответствия скалярных полей с их растровым представлением, выраженным через градацию интенсивности монохромной палитры P, то поворот можно описать как изменение монохромной палитры P в каждом элементе массива данных. Иными словами значение угла поворота выражается через градацию интенсивности тона монохромной палитры так же, как и при формировании базовых образов (3). Далее для получения окончательного изображения необходимо к каждому элементу графического массива данных прибавить значение угла поворота, выраженного в виде палитры P.

 

                                                                  (5)

 

На рисунке 6 изображён М-образ для функции  и результат его поворота предлагаемым способом.

           

рис.6. Поворот дифференциального образа модели

При использовании данного способа преобразования необходимо помнить, что в образ модели помимо коэффициентов A, B, C, определяющих углы наклона касательной плоскости  к осям в трехмерном пространстве, присутствует коэффициент D, дополняющий данную образ-модель до полноценной геометрической модели (РГМ). Так же, как создаются образы, показывающие изменение вектора нормали относительно одной из выбранных осей (рис. 2), формируется образ, характеризующий изменение коэффициента D (4). При повороте его тоже необходимо учитывать подобным образом. Так же нужно понимать, что монохромная палитра может как прибавляться, так и отниматься, эта особенность возникает из самого принципа формирования образ моделей, подробно рассматриваемого в работах [1, 5] и научных трудах А.В. Толока.

Поворот, осуществляемый данным методом, оставляет не тронутым структуру массива данных, формирующих образ, что в свою очередь позволяет выполнять операции алгебры логики для получения объединённой модели с образной информацией.

Заключение

Характерным является тот факт, что применение структуры РГМ в математическом моделировании позволяет приводить модели различного математического описания к единой образной структуре. Такой подход открывает возможность разработок приложений интерактивного графического пространственного моделирования математических объектов с обратной связью. Это значит, что в результате, на выходе моделируемого объекта может быть не только РГМ, но и её результирующее аналитическое описание, полученное автоматически моделируемым путём.

Литература

1.  Максименко-Шейко К.В., Толок А.В., Шейко Т.И. R-функции в аналитическом проектировании с применением системы «РАНОК» // Вестник МГТУ «Станкин». Научный рецензируемый журнал. М.: МГТУ «Станкин». №4(12). 2010. С.139-151.

2.  Лисин Д.А., Максименко-Шейко К.В., Толок А.В., Шейко Т.И. R-функции в компьютерном моделировании дизайна 3D поверхности автомобиля // Прикладная информатика № 5 (35) , 2011, “МаркетДС”, С.78-85.

3.  Толок А.В. Применение воксельных моделей в процессе автоматизации математического моделирования // Автоматика и телемеханика, №6, 2009. С. 167-180.

4.  Григорьев С.Н., Толок А.В., Силантьев Д.А., Лоторевич Е.А., Пушкарёв С.А. Вопросы развития графических способов решения математических задач на компьютерной основе // Материалы 40-й междунар. конф. «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе (IT+S&E*12)». — Приложение к журналу Открытое образование. —С.66-71.

5.  Григорьев С.Н., Толок А.В., Силантьев Д.А., Лоторевич Е.А., Пушкарёв С.А.Растровое представление геометрической модели // Материалы конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта»Труды международной конференции, 2012 с 47-50.

6.  Wolberg G. Digital Image  Warping  Los Alamitos, CA, USA: IEEE Computer Society Press, 1994.