Дополнительное обоснование метода пространства состояний управления химико-технологическими процессами

В.Л. Чечулин,
 матем., прогр., chechulinvl@rambler.ru
 ГОУ ВПО Пермский государственный университет, г. Пермь

Аннотация

Рассматривается метод пространства состояний управления качеством сложных химико-технологических процессов. Пространство состояний процесса 3-мерно: 1. параметр качества, 2. параметр управления, 3. экономический параметр. Оптимум управления соответствует получению продукта заданного качества при минимальных издержках. Для химико-технологических процессов с обменными реакциями (это, например, процессы хлорирования окислов в металлургии титана и некоторых редкоземельных элементов и другие) описано дополнительное обоснование метода пространства состояний. В постановке задачи управления посредством интегрального уравнения, показано, что задача управления не является полностью определённой. Однако, предположение о существовании решения этой задачи позволяет статистическим методом отыскивать решение задачи (строить псевдообратный оператор к неполно-определенному интегральному оператору).

 

Abstract

The method of the state space of a quality management of complex chemical processes was described. State space process is 3-dimensional: 1. quality setting, 2. control parameter, 3. economic option. Optimum control was corresponds to the specified product quality at minimum cost. For chemical processes with exchange reactions (that is, for example, the processes of chlorination of oxides of titanium metal and some rare earth elements and others) was described further justification for the method the state space. In the control problems through the integral equation, it was shown that the task of management was not fully defined. However, the assumption of the existence of the problem's solutions was allowed the statistical method implicating to find the solution (build a pseudo inverse operator to incompletely-defined integral operator).

1. Предисловие

Метод пространства состояний управления качеством сложных химико-технологических процессов построен на основании теоремы о не более чем 3-мерности пространства с ориентированными осями [4]. Интерпретация теоремы Мальцева об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в полугруппах на предметной области показывает, что построить адекватную модель химико-техноло­гического процесса для управления только по начальным  и граничным условиям процесса — невозможно [11]. Поэтому остаётся, при неполной информации о процессе, упорядочивать результаты измерений параметров процесса в определённом пространстве состояний, для нахождения оптимальной величины параметра управления.

Для процессов с одним главным параметром качества и одним главным параметром управления пространство состояний таково: 1. параметр качества, 2. параметр управления, 3 экономический параметр. Задача оптимизации заключается в определении статистическим методом параметра управления, соответствующего заданному качеству продукта при минимизации дополнительных издержек. Приложения этого метода к широким классам химико-технологических процессов описаны ранее [5], [6], [7], [10], [11].

Для некоторых процессов с параллельными группами реакций допускается разбиение задачи на суперпозицию параллельно решаемых подзадач [7].

Для процессов с обменными реакциями (это, например, процессы хлорирования окислов в металлургии титана и некоторых редкоземельных элементов и другие) допускается дополнительное обоснование метода пространства состояний, которое и описано ниже. В постановке задачи управления посредством интегрального уравнения, показано, что задача управления не является полностью определённой. Однако, предположение о существовании решения этой задачи позволяет статистическим методом отыскивать решение задачи (строить псевдообратный оператор к неполно-определенному интегральному оператору).

2. Общие положения метода пространства состояний

По содержанию задачи управления необходимо имеются 3 основных параметра, характеризующих в общем сложный химико-технологический процесс:

1.     параметр качества (подпространство Х),

2.     параметр управления (подпространство Y),

3.     экономический параметр (подпространство Z).

По теореме о размерности пространства с ориентированными друг относительно друга осями (описывающего пространство с качественно различными параметрами) размерность такого пространства не более чем 3 [4]. Этой теоремой показывается достаточность 3-х измерений для описания состояний процесса.

Каждое из подпространств нормируется (║∙║Х, ║∙║Y, ║∙║Z — нормы подпространств), и наблюдения за параметрами системы (результаты измерений) перенормируются соответственно вычисленных норм. По статистической обработке результатов измерений строятся функции соответствующие отображению (X®Y)®Z (оператору суперпозиции [8]). И затем, посредством регрессионных методов или метода главных компонент, обладающего свойством наименьшей ошибки в линейной модели [1], находится оптимум — неподвижная точка оператора управления соответствующая получению продукта с заданной характеристикой качества, при минимальных издержках (рис. 1).

То что, эта неподвижная точка существует, следует из существования решения задачи экономического управления, на 6-м уровне системы (неподвижной точки финансового оборота [8]). То, что эта неподвижная точка вычислима следует из интерпретации теоремы о вычислимости неподвижной точки оператора (в l-теории [2]). (Следовательно, и решения, получаемые на 5-м и 4-м уровнях, то есть интересующее нас в данном случае технологическое решение, являются также вычислимыми.)

Если в одном технологическом процессе имеются два разных параметра качества, которым соответствуют два различных параметра управления, то допускается разбиение общей задачи управления процессом на две параллельно решаемые задачи, каждая со своиv пространством состояний.

 

рис. 1 Общая статистическая диаграмма управления.

3. Обоснование при операторной постановке задачи

Об ограничения применимости функционально-дифференциальных математических моделей для описания сложных химических процессов и потребности использования статистических методов упоминалось ранее, см. [11].

Другие ограничения в использовании математических моделей связаны с недостаточной определённостью задачи измеримыми параметрами, а именно, сложности решения задач означенного типа таковы, что известные методы теории интегральных операторов (даже при попытках регуляризации [3]) не подходят для решения означенного класса задач управления химико-технологическими процессами.

Попытаемся описать задачу управления химико-технологическим процессом посредством интегрального оператора:

                                                                                (1),

где t — текущее время,

s — "внутренняя" переменная по времени, для учёта прошлых состояний процесса,

u(s) — соотношение дозировки 2-х компонент B и C относительно стехиометрии,

f(t) — заданная функция качества (состояния расплава, содержания в нём вещества B)

К(t, s) — ядро оператора, преобразующего соотношение дозировки в состояние расплава (для означенной выше задачи) (система кинетических уравнений реакций).

Однако, ввиду наличия многих веществ в дозируемых компонентах, оператор будет содержать дополнительные параметры:

                                                                                                 (2),

где V — дополнительные параметры процесса (неизмеряемые, алгоритмически невычислимые и т. п.) обусловленные сложным химизмом процесса (наличием невыявляемых циклов реакций и т. п.). Таким образом, функция оператора К(t, s, V) не может быть точно определена, что делает постановку задачи в интегральной форме мало определённой.

Решим задачу (в терминологии операторных уравнений) следующим образом. Предположим, что есть решение операторного уравнения:

                                                                                                       (3),

где  — отношение дозировки компонент по стехиометрии процесса. И при этом наблюдается (вероятностное) распределение двух величин:

1.   ξ1 — параметра управления в подпространстве Х, и

2.   — параметра управления в подпространстве Y.

Методом главных компонент, или приближённо по регрессии regr(ξ1 | ξ2), определяются параметры распределения невязки относительно гипотетического решения, см. рис. 1. Определяется решение (соотношение дозировки) u0 = u0 (fзаданное). Задача решается на 4-м уровне АСУТП,— неподвижная точка — k4.

Таким образом, вероятностным методом, строится псевдообратный оператор , к формально неопределимому оператору А.

Заключение

Описанное обоснование метода применимо к широкому классу химико-технологических процессов с обменными реакциями, вне зависимости от конкретной специфики процесса. Это позволяет обоснованно строить для множества этих процессов информационные системы управления качеством, учитывая при необходимости представление задачи управления процессами с параллельно текущими группами реакций в виде суперпозиции 2-х и более простых задач, соответствующих этим относительно независимым группам реакций. Распространение описанного обоснования метода пространства состояний в операторной постановке задачи управления на химико-технологические процессы иных классов (флотационного обогащения, синтеза и т. п.) подлежит дальнейшему рассмотрению.

Литература

1.    Айвазян  С. А., Мхтитарян  В. С., Основы эконометрики, М.: "Юнити", 2001.— 656 с.

2.    Барендрегт Х., Лямбда-исчисление, его синтаксис и семантика, пер с. англ. Минц Г. Е., М.:"Мир", 1985.— 606 с.

3.    Лаврентьев М. И., Савельев Л. Я., Теория операторов и некорректные задачи, Новосибирск: "Изд-во ин-та математики РАН", 1999.— 702 с.

4.    Чечулин В. Л., Об упорядоченных множествах с самопринадлежностью // Вестник Пермского университета, сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 4 (20), 2008, сс. 37–45.

5.    Чечулин В. Л., Об информатизации процесса плавки титановых концентратов в рудно-термических печах // Цветная металлургия, 2009, №3, сс. 37-40.

6.    Чечулин В. Л., К информатизации процесса флотации / Чечулин В. Л., Волчугова Е. В., Зайнуллина А. Ш. // Химическая промышленность, т. 83, 2006, №7, сс. 351–354.

7.    Чечулин В. Л., К информатизации процесса хлорирования титаносодержащих шлаков / Чечулин В. Л., Чечулин Л. П. // Вестник Пермского университета, сер. «Информационные системы и технологии», 2007, вып 10, сс. 94-98/

8.    Чечулин В. Л., Анализ стационарного оборота общественно-необходимого времени, определяющего меру инфляции / Чечулин В. Л., Мясникова С. А. // Журнал экономической теории (РАН, секция экономики. УрО РАН, Екатеринбург), №2, 2008 сс. 240–245.

9.    Шрагин И. В., Условия измеримости суперпозиций // Доклады Академии Наук СССР, 1971 г., т. 197, сс. 295–298.

10. Chechulin V. L., About informatization of distillation process for providing required quality of product / Chechulin V. L., Pavelkin V. N., Kirin Yu. P., Masitova Yu. F., Grigalashvili V. K., Tankeev A. B. // Russian Journal of Applied Chemistry, MAIK Nauka/ Interperiodica, 2008, vol. 81, no. 3 (март), pp. 558-564.

11. Chechulin V. L., Informatization of the process of producing formalin / Chechulin V. L., Ardavichus V. G., Kolbasina O. V. // Russian Journal of Applied Chemistry, MAIK Nauka/ Interperiodica, 2008, vol. 81, no. 6 (июнь), рр. 1112-1116.