Адаптивные механизмы интеграции производственных систем

В.В. Цыганов,
ведущий научный сотрудник, д.т.н. проф.,

ИПУ им.В.А. Трапезникова, г. Москва

Организационно интеграцию производственной системы обеспечивают механизмы взаимодействия ее элементов – работников, участков, цехов и других подразделений. Развиваемый подход к повышению эффективности этой интеграции включает три этапа: 1) разбиение интегрированной производственной системы (кратко - ИПС) на пары взаимодействующих подразделений «производитель-потребитель», в каждой из которых одно из подразделений (для краткости называемое «производителем») изготавливает продукцию или оказывает услуги другому подразделению (для краткости называемому «потребителем»); 2) построение эффективных механизмов функционирования пар «производитель-потребитель»; 3) композиция этих механизмов для обеспечения согласованного функционирования ИПС в целом.

Механизм функционирования пары «производитель-потребитель» (кратко - МФП) – это совокупность процедур, устанавливаемых руководством ИПС и регламентирующих взаимодействие производителя и потребителя. МФП включает процедуру формирования поставок продукции потребителю и процедуру компенсации производителем возможных потерь ИПС. В свою очередь, потребитель отчисляет производителю необходимые финансовые средства, используя процедуру формирования отчислений. На практике, условия такого взаимодействия (объем поставок продукции, компенсаций, отчислений и др.) регулярно пересматриваются. Например, при увеличении потерь, отчисления на следующий период могут увеличиваться, а компенсация – уменьшаться и т.д. Поэтому МФП должен быть адаптивным. Дальновидный потребитель, зная о возможности пересмотра вышеупомянутых условий, выбирает свое текущее состояние так, чтобы обеспечить максимум собственной прибыли, с учетом перспективы. Необходимо построить прогрессивный МФП, заинтересовывающий потребителя в снижении потерь ИПС.

Обозначим через y_t величину, характеризующую состояние (потери) ИПС в периоде t, y_tÎ[b_t,], где b_t и – соответственно, минимальная и максимальная их величина, b_t≥0, t= 0,1,.... До начала периода t, потребителю и производителю известно лишь множество B_t возможных значений минимальных потерь: b_tÎB_t. В периоде t потребителю становится известна величина b_t, после чего он выбирает свое состояние y_t, y_tÎ[b_t,]. При этом он несет убытки z_t, которые являются линейной функцией величины потерь ИПС y_t: z_t=zy_t, где z - норматив убытков, z≥0. Убытки потребителя, как элемента ИПС, не могут, естественно, превышать потерь всей ИПС, поэтому z£1

Рассмотрим линейный МФП, процедуры которого являются линейными функциями потерь y_t. Производитель, зная y_t, определяет прогноз минимальных потерь a_t+1 в периоде t+1 по формуле:

a_t+1= I_с(a_t,y_t)= d y_t +c(a_t), d≥0, a₀=a⁰ , (1)

где d - темп роста прогноза a_t+1 по убыткам y_t (коэффициент регрессии), c(a_t) - монотонно возрастающая функция a_t: c(a_t)a_t. Прогноз a_t используется для формирования норм взаимодействия: нормы компенсации потребителю и нормы отчислений потребителя производителю .

Поставки продукции производителем также зависят от прогноза a_t и определяются по формуле:

u_t =U^l(a_t+1)= u^o-ιa_t+1 , ι≥0, u^o=const, (2)

где ι – норматив поставок продукции, u^o – постоянная величина.

На основе сопоставления l_t и y_t, производитель определяет величину x_t отчислений в периоде t. Процедура формирования отчислений имеет вид:

x_t =X_c(l_t,y_t)=w y_t +u(l_t), w≥0, (3)

где w - норматив отчислений, u(l_t) - монотонно возрастающая функция l_t: u(l_t)l_t.

На основе сопоставления x_t и y_t, производитель определяет величину компенсации d_t. Процедура формирования компенсаций имеет вид:

d_t = D_c(e_t,y_t) =qy_t +, q≥0, (4)

где q - норматив компенсации, - монотонно убывающая функция: .

Предполагается, что от величины потерь линейно зависят также доход потребителя от хозяйственной деятельности и его затраты на нее:

g_t =gy_t+g⁰, g⁰=const, r_t=r⁰+ry_t , r⁰=const, (5)

где g - норматив дохода, g≥0, g⁰–постоянная дохода; r - норматив затрат, r≥0, r⁰ – постоянная затрат. Тогда выигрыш потребителя в периоде t имеет вид:

g_t-r_t +u_t+d_t-z_t-x_t . (6)

Полезность потребителя в периоде t имеет вид:

^-, (7)

где r - коэффициент дисконтирования, используемый для приведения будущих выигрышей к периоду t, , T - дальновидность потребителя, исчисляемая в периодах времени.

Введем математический оператор (кратко – матоператор) максимизации на множестве возможных состояний в периоде , а также оператор устранения неопределенности относительно величины b_τ в периоде τ. При вероятностном подходе к построению прогноза полезности потребителя, - это оператор усреднения (математического ожидания). При гарантирующем подходе, - это оператор минимизации на множестве B_τ возможных значений величины b_τ в периоде τ: . Положим . Тогда ожидаемая полезность потребителя при состоянии y_t :

v_t(l_t,y_t)=. (8)

Выигрыш потребителя (6) и его полезности (7) и (8) зависят от процедур и норм взаимодействия, отчислений и компенсации, в совокупности формирующих МФП . Поэтому множество оптимальных состояний потребителя в периоде t, при котором достигается максимум ожидаемой полезности (8), также зависит от МФП .

Множество оптимальных состояний потребителя в периоде t, при котором достигается максимум ожидаемой полезности (8), имеет вид:

Рассмотрим задачу синтеза прогрессивного линейного МФП , при котором потребитель минимизирует потери ИПС.

Теорема. Если выполняются условия (5)-(4) и

ιd+w-q>g-r-z, (9)

то линейный по убыткам МФП - прогрессивный.

Рассмотрим линейный МФП, все процедуры которого являются линейными функциями своих аргументов. Именно, процедура прогнозирования a_t+1=I^l(a_t,y_t)=dy_t+ca_t, c - темп роста прогноза a_t+1 по прогнозу a_t+1 (коэффициент авторегрессии), процедура формирования поставок продукции имеют вид (2), норма отчислений l_t=L^l(a_t)=ka_t, где k - предельная норма отчислений, k>0, норма потерь e_t=E^l(a_t)=ea_t, где ε - предельная норма потерь, ε>0. Процедура отчислений имеет вид:

x_t=X^l(l_t,y_t)=w y_t ++x^o, w ≥0 , x^o=const, (10)

где w - норматив отчислений, u - эластичность отчислений, x^o -постоянная отчислений. Процедура формирования компенсаций d_t имеет вид:

d_t = D^l(e_t,y_t)=q y_t ++d^o, q≥0, d^o=const, (11)

где q - норматив компенсации, λ - эластичность компенсации, d^o - постоянная компенсации.

Следствие 1. Если выполняются условия (5), (9), (10), (11) и неравенства

u≥0, λ£0, (12)

то линейный МФП - прогрессивный.

Ограничения, накладываемые условиями следствия 1 на параметры процедур прогрессивных МФП, можно ослабить при взаимности потребителя.

Следствие 2. Если справедлива гипотеза взаимности потребителя, выполняются равенства (5), неравенства (12) и

g+q£r+ιd +w+z, (13)

то линейный МФП - прогрессивный.

Теорема и ее следствия позволяют балансировать рост поставок продукции, их компенсаций и отчислений, за счет подбора нормативов процедур МФП. В частности, за счет снижения поставок продукции и роста отчислений потребителя с потерями, можно обеспечить уменьшение ожидаемой полезности (8), даже при росте компенсации с потерями. Содержательно, неравенства (9), (12), (13) гарантируют строгую монотонность роста полезности потребителя с уменьшением потерь ИПС.

Из неравенств (9) и (13) вытекает, что для минимизации потерь, необходимы определенные соотношения между коэффициентом регрессии и нормативами дохода, затрат, потерь, поставок продукции, отчислений и компенсаций. Нарушение этого соотношения может привести к росту потерь ИПС. Например, чтобы обеспечить выполнение неравенства (9) при низком темпе роста прогноза d или нормативе поставок продукции ι, нужны большие нормативы отчислений w или малые нормативы компенсации q. И наоборот, чтобы обеспечить (9) при высоком коэффициенте регрессии d или нормативе поставок продукции ι, достаточно небольших нормативов отчислений w. С другой стороны, при использовании принципа «планирования от достигнутого» с высоким темпом d роста прогноза, заинтересованность потребителя в снижении потерь сохраняется даже при больших нормативах компенсаций q.

Полученные результаты можно обобщить на случай линейных МФП с нестационарными параметрами (кратко – нестационарных МФП). В этих МФП отчисления в периоде t имеют вид: ++x^o, а нестационарная процедура отчислений . Компенсация в периоде t: d_t=+ ++g^o, а нестационарная процедура компенсации .

Рассмотрим, нестационарный МФП с идентификацией минимальных потерь. Классическая задача идентификации заключается в создании модели процесса по наблюдениям его входа и выхода. Принципиальное отличие идентификации в ИПС - возможность превышения потребителем минимальных потерь. При прогрессивном МФП, выбор потребителя соответствует минимальным потерям, чем обеспечивается возможность их оценки, при использовании адекватного алгоритма идентификации. К таким алгоритмам относятся полиномиальные моделями Брауна, Тейла-Вейджа и др. Проиллюстрируем развиваемый подход на примере модели Брауна. Рассмотрим задачу идентификации минимальных потерь вида , где - независимая гауссова помеха. Настраиваемая модель минимальных потерь: , где - скалярная оценка. Критерий качества идентификации - квадратичный. При известных минимальных убытках , абсолютно оптимальный алгоритм идентификации, обеспечивающий максимальную скорость сходимости оценок к оптимальной (), имеет вид:

. (14)

Однако производителю (как и Центру) величины минимальных потерь неизвестны. Рассмотрим линейный МФП, в котором идентификации проводится по алгоритму (14), но основана на фактических величинах потерь , наблюдаемых производителем:

-(-)/(t+1), t=, . (15)

Обозначим нестационарную процедуру идентификации (15) через и рассмотрим нестационарный линейный МФП . Предположим, что в периоде t потребитель экстраполирует текущие алгоритмы , и на весь горизонт его дальновидности:

, , .

Следствие 3. Если выполняются условия (5) и неравенства u_t≥0, λ_t£0, g+q_t<r+w_t+z , то нестационарный линейный механизм взаимодействия с идентификацией - прогрессивный.

Теорема и ее следствия позволяют решать задачи синтеза эффективных адаптивных МФП. Они дают достаточные условия прогрессивности линейных адаптивных МФП, в виде ограничений на параметры процедур формирования поставок продукции, компенсаций и отчислений. Теорема и ее следствия позволяют балансировать потери ИПС и их компенсации, за счет подбора параметров процедур МФП. Дальнейшая композиция прогрессивных линейных адаптивных МФП обеспечивает согласованное функционирование ИПС в целом. Результаты проведенных теоретических исследований внедрены в ИПС экспериментального завода научного приборостроения со Специальным конструкторским бюро Российской Академии наук.