Анализ и синтез механизмов развития отделений банка

В.В. Цыганов
в.н.с., д.т.н.,
Д.А. Бородин,

вед. спец.,

ИПУ РАН, г. Москва

Развитие банка в условиях быстрых изменений часто осуществляется за счет самоорганизации его отделений. Обеспечения благоприятных условий развития банка является задачей его правления. Для этого оно использует специальные методы и механизмы. Однако, до настоящего времени, исследования и разработки моделей и методов внутрибанковского регулирования правлением самоорганизации отделений банка отсутствуют. В работе рассмотрим модель развития банка как трехуровневой системы, включающей орган развития банка (правление), исполнительный орган, осуществляющий оперативное управление (менеджмент) и отделения банка. Целью работы является повышение обоснованности и эффективности развития отделений банка. Для ее достижения решаются следующие основные задачи:

- анализ и синтез правильных механизмов развития банка (МРБ), обеспечивающих выбор отделением банка вложений, оптимальных с точки зрения правления;

- исследование и разработка механизмов развития отделений банка, использующих полученные решения задач синтеза правильных МРБ.

Рассмотрим модели роста и развития отделений банка на основе самоорганизации. Необходимость решения задачи развития отделений банка приводит к отказу менеджмента банка от централизованного планирования развития отделений и акцента на их самоорганизацию.

Рассмотрим модель роста отделения банка за счет собственных ресурсов. Анализируется ситуация, когда потенциал отделения банка зависит от результатов его функционирования в предыдущих периодах. В модели эндогенного роста банка, потенциал отделения может характеризоваться, например, его основными фондами. Особенностью роста является зависимость потенциалов в разных периодах функционирования. Соответствующий переходный процесс описывается рекуррентным уравнением, связывающим величины этих потенциалов с интенсивностями входных воздействий (вложений):

(1)

где q_t – потенциал отделения, q¹>0, y_t - вложения, А и В – положительные коэффициенты, t – номер периода, t=1,2,… . Например, такая важная характеристика потенциала отделения банка, как стоимость основных фондов отделения банка (ОФОБ), определяется стоимостью фондов в предшествующем периоде, с учетом их амортизации, а также стоимостью вновь вводимых фондов. Прибыль отделения z_t определяется его потенциалом:

(2)

где А>0. Например, прибыль отделения банка зависят от ОФОБ, находящихся в его распоряжении.

Самоорганизация предполагает развитие потенциала отделения банка за счет собственных ресурсов. Рассмотрим механизм роста путем самоорганизации, при котором менеджмент инвестирует всю прибыль в отделение банка: y_t = z_t , t=1,2,… . Из (1) и (2) получаем:

Если С+АВ> 1, то потенциал q_t возрастает в каждом периоде, и тогда говорят о росте отделения банка. И, наоборот, при АВ+С<1 потенциал убывает, и тогда говорят об упадке отделения банка.

Рассмотрим модель самоорганизующегося банка, включающего N отделений. В процессе самоорганизации менеджмент инвестирует получаемую прибыль в отделения банка. Процесс развития отделений банка описывается системой рекуррентных уравнений, связывающих величины их потенциалов с интенсивностями входных воздействий:

q_it+1 = А_iq_it + B_iу_it , q_i1=qⁱ¹ , ί =, (3)

где q_it – потенциал i-го отделения банка, y_it - вложения, y_it³0, A_i³0, B_i³0, qⁱ¹³0, t – номер периода, t=1,2,… . Доход i-го отделения банка z_it определяется его потенциалом:

z_it = С_iq_it , C_i³0, i=. (4)

Прибыль i-го отделения банка, остающаяся в распоряжении менеджмента после налогообложения

j_it = D_iz_it , D_i³0, i=. (5)

Общая прибыль, остающаяся в распоряжении правления после налогообложения всех N отделений банка, имеет вид: F_t=. Часть этой прибыли используется на потребление, например, выплату дивидендов акционерам в периоде t. Оставшуюся прибыль правление передает менеджменту, который инвестирует её в отделения банка:

(6)

где y_it – вложения в ί-е отделение банка в периоде t, Е – доля прибыли, используемая на вложения.

Процедуры (3)-(5) характеризуются векторными параметрами

A=(A₁,…,A_N), B=(B₁,…,B_N), C=(C₁,…,C_N), D=(D₁,…,D_N) (7)

Совокупность этих параметров, определяющих динамику банка, будем называть механизмом развития банка (МРБ) и обозначать как S=[A,B,C,D].

Вектор, компонентами которого являются вложения во все отделения банка в периоде t, обозначим _t = (y_1t ,…,y_Nt). Этот вектор принадлежит множеству возможных вложений во все отделения банка в периоде t:

_t(S)={ _t = (y_1t ,…, y_Nt ) | q_it+1 = А_iq_it + B_iу_it ,

D_i С_iq_it , , q_i1=qⁱ¹, i=}, t=1,2,…

Обозначим через Т число будущих периодов времени, которое учитывает менеджмент при принятии решения. Для краткости Т будем называть дальновидностью менеджмента.

Назовем состоянием y_t совокупность векторов вложений в периодах t,…,t+T-1: y_t = [_t,…,_t+T-1] . Состояние y_t принадлежит множеству возможных состояний

Y_t(S)= (8)

Принимая решение в периоде t, менеджмент выбирает вектора вложений , , так, чтобы максимизировать общую дисконтированную прибыль (капитал)

(9)

где r - коэффициент дисконтирования. Обозначим решение задачи условной оптимизации (6)-(9) как предпочтительное состояние (выбор) менеджмента y^*_t , представляющее собой совокупность векторов вложений y^*_t = [,…,]. Множество возможных состояний (8) и целевая функция (9) зависят от параметров A,B,C,D механизма развития S. Поэтому множество выборов y^*_t также зависит от механизма S:

(10)

Вектора A,B,C,D выражаются через параметры процедур внутрибанковского регулирования финансовой деятельности отделения банка, применяемых на практике, таких как нормативы налогообложения, амортизации, ценообразования и др. Предполагается, что - стоимость ОФОБ i-го отделения, а – его прибыль в периоде t. Компоненты векторов A,B,C,D считаются линейными функциями нормативов внутрибанковского регулирования. Предполагается, что А_ί зависит от нормы амортизации a_I и коэффициента амортизации k_i; В_ί=е_i (1+ s_i), где е_i - эффективность вложений, s_i – коэффициент их централизованной поддержки. Далее, прибыльность i–го отделения банка характеризуется следующими параметрами: Р_ί - цена его услуг; h_ί - ставка налога с объема услуг; u_i – ставка сбора с услуг, оказываемых при посредстве внешних организаций; v_ί – обменный курс i-й валюты; G_ί – фондоотдача, как объем услуг на единицу ОФОБ, 3_ί - себестоимость услуг. В свою очередь, эта себестоимость зависит от тарифов естественных монополий m_il , l=, и других факторов. Доля прибыли i–го отделения (D_ί), оставляемая в распоряжении банка, зависит от амортизационной льготы a_ί и ставки налога на прибыль r_ί.

Построенная модель самоорганизующегося банка, включающая линейные уравнения (3)-(6), увязывающие потенциал, прибыль, прибыль и вложения, а также целевую функцию (9), позволяет проводить анализ и синтез механизмов развития его отделений.

Рассмотрим задачи синтеза механизмов развития банка S=[A,B,C,D], состоящие в определении совокупности параметров A,B,C,D, обеспечивающих оптимальные для банка вложения. Поставим задачу синтеза МРБ

в трехуровневой системе, на верхнем уровне которой находится правление, на среднем – менеджмент, а на нижнем – N отделений банка. Целевая функция правления имеет вид Y(,…,), где F - число будущих периодов времени, которое учитывает правление при выборе механизма S=[A,B,C,D]. Для краткости F будем называть дальновидностью правления. Предполагается, что целевая функция правления Y(,… ,) монотонно возрастает по y_it, i= t=.

Рассмотрим вначале задачи синтеза правильного МРБ, при условии, что дальновидности правления и менеджмента одинаковы: F=T. Тогда целевая функция правления зависит от выбора менеджмента в первом периоде. Соответственно, множество выборов менеджмента равно R₁(S). Задача оптимального синтеза МРБ заключается в построении механизма S, обеспечивающего максимум целевой функции правления Y(,…,) на множестве R₁(S):

(11)

Множество оптимальных для правления вложений имеет вид:

X={=[₁, …, _F]}= Y(,… ,) (12)

где _t=(х_1t,…,х_Nt) - вектор оптимальных вложений в периоде t, , =[₁,…, _F] - оптимальное состояние в первом периоде. Решение задачи (11), при заданном Х, ищется на множестве механизмов

G^Х={ S^Х=[Х,A,B,C,D] | A_i³0, B_i³0, C_i³0, D_i³0, i= }

где A_i, B_i, C_i, D_i определяются согласно (7). Содержательно это означает, что правление определяет коэффициенты в уравнениях (3)-(5), например, устанавливает параметры внутрибанковского регулирования: внутренние налоги, тарифы, курсы обмена валют и др.

Правильным МРБ при F=T называется механизм å^XÎG^Х, при котором выбор менеджмента y^*₁ =[,…,]ÎR₁(S) совпадает с каким-либо оптимальным состоянием =[₁,…, _F]ÎХ:

=_t , t= (13)

При этом целевая функция правления достигает максимума, что обеспечивает решение задачи оптимального синтеза (11).

Предположим, что пересечение множеств выборов менеджмента и оптимальных состояний непусто: R₁(S)ÇХ¹Æ . Далее будем говорить, что справедлива гипотеза благожелательности менеджмента по отношению к правлению, если при этом менеджмент выбирает состояние из множества оптимальных состояний:

R₁(S)ÇХ¹Æ Þ $_tÎХ, такой что =_t , t= (14)

Рассмотрим задачу синтеза правильного МРБ, обеспечивающего развитие всех без исключения отделений банка. Предполагается, что оптимальные, с точки зрения правления, вложения, определяемые согласно (12), положительны для каждого отделения банка в любом периоде: . Содержательно это означает, что правление заинтересовано в постоянном развитии всех N отделений банка. Механизм S, обеспечивающий выполнение условий, назовем правильным развивающим. Введем матрицу финансовой привлекательности

(15)

Теорема 1. Если справедлива гипотеза благожелательности (14), то S^Х=[Х,A,B,C,D] – правильный развивающий, если и только если

Содержательно, эта теорема означает, что равные условия для всех отделений банка, при гипотезе благожелательности, необходимы и достаточны для всестороннего развития банка.

Рассмотрим задачу синтеза правильного МРБ, обеспечивающего развитие приоритетных отделений банка. Предполагается, что оптимальные вложения, определяемые согласно (12), имеют вид:

. Содержательно это означает, что правление заинтересовано в развитии лишь первых n отделений банка. Механизм, при котором развитие первых n отделений банка производится за счет остальных N-n отделений банка: ,

назовем правильным n-эволюционным.

Теорема 2. Если справедлива гипотеза благожелательности (14), то S^Х=[Х,A,B,C,D] - правильный n-эволюционный, если и только если

Это означает, что для развития приоритетных отделений банка необходимо и достаточно создать для них одинаковые условия, которые должны быть лучше (не хуже), чем условия для остальных.

Рассмотрим задачу синтеза механизма развития определенного отделения банка. Предполагается, что оптимальные вложения, определяемые согласно (12), имеют вид. Это означает, что правление заинтересовано в развитии лишь первого отделения банка. Механизм, при котором развитие первого отделения банка проводится за счет остальных N-1 отделений: - назовем правильным механизмом развития отделения банка.

Следствие 1. Если справедлива гипотеза благожелательности (14), то S^Х=[Х,A,B,C,D] – правильный механизм развития отделения банка, если и только если

Механизм развития отделения банка «разворачивает» банк в пространстве состояний в направлении, которое выгодно правлению. Первое отделение банка развивается, другие отделения теряют капитал и т.д.

Рассмотрим задачу синтеза правильного механизма развития определенной группы отделений. Предположим, что оптимальные вложения, определяемые согласно (12), имеют вид: . Содержательно, это означает, что правление заинтересовано в развитии группы отделений, состоящей из первых N-1 отделений банка. Правильный механизм обеспечивает развитие группы N-1 отделений

Следствие 2. Если справедлива гипотеза благожелательности (14), то S^Х=[Х,A,B,C,D] – правильный механизм развития группы N-1 отделений банка, если и только если .

Полученные решения задач синтеза МРБ можно обобщить на случай, если дальновидность менеджмента больше, чем дальновидность правления: T>F. Предполагается, что менеджмент экстраполирует устанавливаемый правлением механизм S на весь период своей дальновидности. При T>F целевая функция правления зависит от решения о состоянии, принимаемого менеджментом в периоде t=1. Соответственно, множество состояний, предпочтительных для менеджмента, равно R₁(S). Поэтому задача оптимального синтеза МРБ имеет вид (11). Правильным МРБ при T>F называется механизм å^X, при котором совокупность выбранных менеджментом векторов вложений [,…,], являющихся элементами предпочтительного состояния y^*₁=[,…,,…,]ÎR₁(S), совпадает с каким-либо оптимальным состоянием х=[₁,…, _F]ÎХ: =_t , t=. Это выражение совпадает с (13). Обозначим R_1F(S)={[,…,]} - множество возможных совокупностей векторов вложений, являющихся элементами предпочтительного для менеджмента состояния y^*₁= [,…,,…,]ÎR₁(S). Будем говорить, что справедлива гипотеза благожелательности при T>F, если из R_1F(S)ÇX¹Æ следует, что менеджмент выбирает состояние =_t , t=. Теоремы 1,2 и следствия 1,2 остаются справедливы, если в качестве y^*₁ рассматривать совокупность выбранных менеджментом векторов вложений [,…,], являющихся элементами предпочтительного состояния [,…,,…,]ÎR₁(S), а в качестве R₁(S) - R_1F(S).

Полученные решения задачи синтеза правильного МРБ можно также обобщить на случай, если правление более дальновидно, чем менеджмент: F>T. Обозначим через m целую часть F/T. Тогда целевая функция правления Y(,… ,) зависит от выбранных менеджментом векторов вложений [,…,], являющихся элементами предпочтительных состояний [, ,…,]ÎR₁(S),…[ ,…,]ÎR_m(S), [,…,]ÎR_m+1(S). Если дальновидность менеджмента превышает дальновидность правления, предполагается, что менеджмент экстраполирует действующий механизм S на весь период своей дальновидности Т. Обозначим через X_k, k=, подмножества оптимальных для правления состояний, определяемые следующим образом: X_k=, где [ ,…,] - оптимальное состояние в периоде k, k=. Обозначим X_m+1={[,…,]} - множество возможных совокупностей векторов оптимальных вложений в периодах m(T+1),…,F. Тогда . Правильным МРБ при F>T называется механизм å^X, при котором совокупность выборов векторов вложений [,…,], являющихся элементами предпочтительных для менеджмента состояний [,…,]ÎR_k(S), k=, совпадает с какой-либо совокупностью векторов оптимальных вложений [₁,…, _F], являющихся элементами оптимальных состояний [ ,…,]ÎХ_k , k=, а также элементами совокупности векторов оптимальных для периодов m(T+1),…,F вложений [ ,…,]ÎX_m+1 : =_t , t=. Это выражение совпадает с (13). Обозначим R_m+1F(S)={[ ,…,]} - множество возможных совокупностей векторов вложений, являющихся элементами предпочтительного состояния y^*_m+1=[,…,]ÎR_m+1(S). Будем говорить, что справедлива гипотеза благожелательности при F>T, если из R_k(S)ÇX_k¹Æ, при k=, и R_m+1F(S)ÇX_m+1¹Æ следует, что менеджмент выбирает =_t , t=. Теоремы 1,2 и следствия 1,2 справедливы и в этом случае. Проектирование МРБ и их процедур, направленных на формирование финансово привлекательных отделений банка, базируется на описании самоорганизующегося банка, а также на полученных решениях задач синтеза МРБ.